小乐数学科普：Tony Phillips教授的数学读报评论2025-05

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本月主题：

1. 玫瑰花瓣微分几何

2. 卡拉比-丘流形和黑洞动力学

3. “数学家解决了代数最古老的问题”

作者：Tony Phillips（石溪大学数学教授）2025-7-30

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-7-31

1. 玫瑰花瓣微分几何

玫瑰花瓣具有独特的形状：它们的边缘折叠，形成尖角，如下图所示。

一朵成熟的栽培玫瑰花。请注意外层花瓣边缘的尖瓣。

图源：维基百科 CC BY-SA 3.0

5月1日发表在《科学》杂志上的一篇论文 https://www./doi/10.1126/science.adt0672 试图解释玫瑰花瓣为何会如此折叠。作者们研究了玫瑰花瓣如何沿两个不同的方向弯曲，并发现了一种不相容性，导致花瓣边缘出现“独特的尖角”。

为了解释这一发现的意义，我们需要区分曲面可能具有的两种曲率。一种是高斯曲率（Gaussian curvature），它是曲面的内禀性质，也就是说，一只几何倾斜的蚂蚁无需离开曲面就能测量到它。如果该曲率在某一点为正，则附近的曲面呈圆顶状；如果为负，则该曲面呈马鞍状。

迄今为止，对叶片形状不规则性的研究已经指向高斯曲率相关的问题。具体而言，由于负高斯曲率的曲面随着生长占据的空间越来越大，羽衣甘蓝、宽叶莴苣和相关植物的叶片边缘会出现越来越多的褶皱形状。

羽衣甘蓝叶片呈现出负高斯曲率曲面特有的强烈褶皱边缘。

图源：维基百科 CC BY-SA 3.0

玫瑰花瓣的高斯曲率并不显著，因此它类似于一张平整的纸张。零高斯曲率曲面可以以某些方式弯曲，而无需拉伸或压缩，例如弯曲成圆锥或圆柱。这不会改变高斯曲率，但可以改变曲面上直线的曲率。

从一组称为Peterson-Mainardi-Codazzi（彼得森-马纳迪-科达齐）方程 https://mathworld./Peterson-Mainardi-CodazziEquations.html 的技术性方程式中，可以推导出曲面如何弯曲并保持光滑的限制条件。其中一个限制条件蕴含着，在极坐标系中描述的光滑平面上的某个区域不能沿r-方向均匀弯曲。

当你把床单铺在床上时，你会看到这种情况。床单具有平坦的内禀几何形状（高斯曲率为零）。沿着床垫的直边，床单可以弯曲，同时保持光滑。但在床垫边缘弯曲的角落处，存在几何不相容性。必须引入折痕，当床单被塞进去时，折痕会变成锋利的褶线：它不再是一个光滑的曲面。

一个接地气的Peterson-Mainardi-Codazzi不相容性的例子。

床单是平的。在床垫边缘，床单必然沿红色方向弯曲。

高斯曲率为零，蕴含着它在绿色方向上不会弯曲。

沿着直边，这些条件不会造成问题；

但在拐角区域，

它们违背了关于光滑曲面的

Peterson-Mainardi-Codazzi方程的要求。

实际上，床单在拐角处会起皱。

图源：Tony Phillips

玫瑰花瓣也发生了非常类似的情况。据作者称，它们原本希望在θ-方向上保持平坦。但随着它们的生长，它们在r-方向上变得越来越弯曲。起初，玫瑰花瓣组织的弹性可以吸收由这种“Peterson-Mainardi-Codazzi不相容性”引起的部分应变，但最终这种几何矛盾变得难以承受。花瓣不再能够光滑地在空间中伸展：边缘形成了尖锐的尖角。

Davide Castelvecchi在《自然》杂志（2025年5月1日）上发表了关于这项研究的论文 https://www./articles/d41586-025-01394-4 ，副标题是“花瓣的尖角依赖于一种自然界中从未见过的几何反馈”，强调了这种现象与之前研究过的由高斯曲率引起的褶皱之间的区别。

Castelvecchi还想知道花瓣的形状是否有某种功能性原因。事实上，尖角并非自然进化的产物。野玫瑰（植物学上称为“原生种玫瑰”）的花瓣数量从不超过五片。
https://www./content/wildflower-gardening/the-wild-roses ，而且似乎不会遇到Peterson-Mainardi-Codazzi不相容性问题。

2. 卡拉比-丘流形和黑洞动力学

物理学家利用最近发现的数学对象来计算黑洞的细节。这一发现于2025年5月14日发表在《自然》杂志 https://www./articles/s41586-025-08984-2 上。东南大学（中国江苏南京）的刘正文在同一期《自然》杂志 https://www./articles/d41586-025-01339-x 的评论文章中写道，这“呼应了伽利略在其著作《试金者》（The Assayer，1623年）中提出的洞见，即宇宙'是用数学语言书写的’”。

该论文研究了黑洞散射，即两个黑洞近距离接触引起的引力波扰动。此类信号如今已被常规探测到。理论上，人们可以利用散射信号，通过一组称为爱因斯坦场方程的方程式来计算黑洞的质量和速度。实际上，这些方程是高度非线性的，因此难以模拟。

该文章的作者是由柏林洪堡大学的古斯塔夫·莫古尔（Gustav Mogull）和扬·普莱夫卡（Jan Plefka）领导的八人团队，他们采取了另一项研究方向，即通过采用高能物理（HEP）的尖端技术来构建高精度散射模型。

高能物理研究的是极小的粒子。那么，它为什么要告诉我们关于巨大天体在太空中穿梭的任何信息呢？答案是，正如作者所说，黑洞和基本粒子都完全由三个基本属性来表征：质量、自旋和电荷。

作者使用了HEP的微扰理论技术：“选取一个或多个小参数，然后以级数展开的方式逐级求解方程”。早期的工作已经引入了2维和4维卡拉比-丘流形 http://www./article/Calabi-Yau_manifold#Moduli_of_K3_surfaces 。这些是复流形，因此是偶数维实空间，可以作为爱因斯坦时空曲率方程的解。

2维和4维流形有早期名称（椭圆曲线和K3曲面），但从它们的6维表亲——由Eugenio Calabi（尤金尼奥·卡拉比，1923 - 2023）于1954年发现——那里继承了新名称。这些是代数曲面（即多复变量多项式方程的解集），他推测它们可能具有一种特殊的几何结构。他的猜想一直持续到1976年丘成桐的证明。

六维“卡拉比-丘流形”（Calabi-Yau manifolds）后来声名鹊起，因为正是弦论学家们 https://www.maths./outreach/oxford-mathematics-alphabet/c-calabi-yau-manifolds 所需要的，将我们的四维时空提升到弦理论所需的十维。（它们在微扰理论中的出现似乎与此无关）。

我们的作者指出，这是六维卡拉比-丘流形首次用于预测可观测的物理现象，并指出这一创新可能“对粒子物理学的高精度预测也具有重大意义”。

高精度黑洞散射中出现的三个卡拉比-丘流形及其复维数。

最上面的一个是椭圆曲面，拓扑上是一个环面。

四维K3曲面和六维CY3曲面用二维切片表示。

红线和蓝线分别对应与散射计算相关的实子流形。

图源：《自然》杂志641期，603–607页，CC BY 4.0许可

3. “数学家解决了代数最古老的问题。”

这条新闻来自2025年5月1日的《新闻周刊》 https://www./mathematician-solves-algebra-oldest-problem-2066711 ，只是上个月关于例如 c₀ + c₁x + c₂ x² + ⋯ +c_nxⁿ = 0 多项式方程解的新研究的惊人头条新闻之一。

其他标题包括“随着200年历史的多项式规则因晶洞数的发现而崩溃，数学受到震动” https:///science/math-200-year-old-algebra-rule-falls （Interesting Engineering）和“数学家认为这个代数问题是不可能的。两个天才可能已经找到了解决方案” https://www./science/math/a64729418/polynomial-solution/ （Popular Mechanics）。

这两位天才是诺曼·怀尔德伯格（Norman Wildberger）和迪安·鲁宾（Dean Rubine）。他们的论文《多项式方程的超卡塔兰级数解与晶洞》A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode https://www./doi/full/10.1080/00029890.2025.2460966#abstract 于4月8日发表在《美国数学月刊》上。

要理解这其中的奥秘，我们需要快速回顾一下多项式方程及其解法的历史。求解一般次数为n的多项式方程，意味着找到一种算法，输入系数，输出方程的解。

正如Wildberger和Rubine提醒我们的那样，二次方程（对应n=2）的解法可以追溯到巴比伦人。巴比伦人的方法，使用了我们现在所说的“配方法”（completing the square），演变成了二次公式 x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)，给出了ax²+bx+c=0的两个解。这个公式成为了n次多项式通解的模型。人们认为，这种解法将运用算术运算，以及幂和开根，从多项式的系数中得出x。

16世纪，意大利代数学家已经按照这种方法找到了3次和4次多项式方程的解。但在1826年，尼尔斯·阿贝尔（Niels Abel，1802 - 1829）写下了“4次以上代数方程没有一般形式代数解的证明”，这关上了寻找仅使用算术、幂和开根的算法的大门。

Wildberger和Rubine提出了一种不同的算法。他们定义了一组幂级数，每个n对应一个。n次幂级数有n+1个变量。要解n次多项式方程，可以将其系数代入n次幂级数中。这与之前的数学思想并不矛盾，该领域依然稳固。（作者指出，虽然n次多项式方程一般有n个解，但他们的算法只产生一个解）。

另一方面，这些幂级数的细节极其有趣。这些系数是卡塔兰（Catalan）数，以及卡塔兰数的推广，称为超卡塔兰（hyper-Catalan）数。这些数在组合数学中随处可见。假设有n个左括号和n个右括号，那么第n个卡塔兰数C_n，表示将它们合法串在一起的方法数量。对于n=3，则有C₃=5种方法：()()()、(())()、()(())、(()())和((()))。同样地，第n个卡塔兰数C_n，表示将n+2边形分割为n个三角形的方法数量。

C₄=14给出了将六边形分割为4个三角形的方法数。

图源：Tony Phillips

有关这些数字的更多信息请参见此处 https://mathworld./CatalanNumber.html 和此处 https://mathshistory./Extras/Catalan/ 。

可以使用公式C_n = (2n)!/(n!(n+1)!) 来计算卡塔兰数，前几个卡塔兰数是 1、2、5、14、42和142。

Wildberger和Rubine通过计算二次方程tx²-x+1=0的一个解为x=∑_{n≥0}C_ntⁿ ，让我们一窥该方法。他们从二次方程求根公式入手，得到解 x=(1±√(1-4t))/(2t)。

对√(1-a) = (1-a)^½ 进行牛顿二项式展开为

对于a=4t，得出

取二次公式中带负号符号的根，得出

模式很明显： tⁿ的系数是前n个奇数乘以2ⁿ再除以(n+1)! 。将这个分数上下同时乘以n!，得出

这是因为分子里面2ⁿ·n! 包含了(2n)!的所有偶因数，而奇因数也已存在，正好相乘得到(2n)!。真是太神奇了！

具体来说，卡塔兰数幂级数∑_{n≥0}C_nzⁿ在z=t处赋值，给出了方程 tx²-x+1=0 的解。需要注意的是，一般二次方程c₂x²+c₁x+c₀=0 可以通过代入y=(-c₁/c₀)x 变成该形式；在这种情况下，就是 t=c₀c₂/c₁² 。

高次多项式方程的级数解的系数来自超卡塔兰数。这些系数统计了分割n边形的方法数，但此时分割的区域可以是任意多边形的组合。例如， C[2,0,1] 表示7边形可以分割成2个三角形、0个四边形和1个五边形的方法数。（通过计算自由边的数量 7 = 2·3 +0·4 + 1·5 - 4 可以知道它一定是7边形。）

将七边形分割成两个三角形和一个五边形的C[2,0,1]=28种方法。

每张图片代表七种不同的分割方法，旋转角度为2π/7 。

图源：Tony Phillips

卡塔兰数和超卡塔兰数均可以放入一个无限维数组（称为“晶洞”Geode）中，其元素为 G[m₁,m₂,m₃,⋯] ，其中G[m,0,0,...]是第m个卡塔兰数C_m，而G[m₁,m₂,0,0,⋯]是超卡塔兰数C[m₁,m₂]，等等。

晶洞（Geode）的前两维。第一列包含卡塔兰数。

作者指出了一个“令人惊讶的性质”：

沿反对角线的交错和（例如 5-21+28-12 ）均为零。

这些发现的实用后果尚不明确。作者使用了牛顿（Newton，1643 - 1727）和约翰·沃利斯（John Wallis，1616 - 1703）著作中的一个例子：计算x³-2x-5=0的实数解。这个解现在被称为“沃利斯数”，其数字列于OEIS整数数列在线百科全书 https:///A007493 中。

Wildberger和Rubine从初始猜测x=2开始；对于三次方程，只需要第一代C[m₁,m₂]超卡塔兰数。他们只使用那些能给出3次项的数。第一次运行给出了x=2.0945345708 ，与精确到小数点后四位的OEIS数列一致。

使用第一个答案作为新的初始猜测，他们重复该过程并得到x=2.0945514815423265098，从而有16个正确的小数位。

另一方面，应用非常基本的牛顿法 https://web.ma./users/m408n/CurrentWeb/LM4-8-2.php 和初始猜测x=2（借助“全精度计算器” https://www./calculator-precision.html ）第一次给出近似值2.1 ，第二次给出近似值2.094568，第三次给出近似值2.094551481542326591496382 。最后的近似值有十九位小数，与OEIS数列相匹配。