今天我们说做辅助线
回应标题，这几个字是：取中、作平、连对角、延一倍。
- 取中，找边的中点、找中线、中位线；
- 作平，作平行线；
- 连对角，连对角线；
- 延一倍，把中线延长一倍。
记住这十个字，理解透彻，应付中考时的几何题，基本没问题——中考还是简单的。
当然，有人说还有“截长补短”“对称”这两种辅助线作法——这两种属于特定类型。
- 截长补短用来构造全等三角形；
- 对称用来解决最值问题。
特定类型不具有通性，我们不把它们编进口诀。
不过，我也写过相应文章，感兴趣可以去我的GZH找链接做拓展阅读。
话说回来，下面我们一一举例和解释这十个字。
01
底层逻辑
之前我写过文章，说初中几何就记8个字，专治学生几何头痛症。
这8个字是：位置关系、数量关系。
- 无论在输入端——学习时，我们学的定理、结论都可以分为位置关系和数量关系。
- 还是在输出端——考察、考试时，所有几何题都在考察位置关系和数量关系。
你看，到处都是这8个字“位置关系，数量关系”。
那么，中点、平行线、对角线、延长的对角线本身就很特殊，含有诸多位置关系和数量关系，为什么不找一找、作一作？
当你取中、作平……做出辅助线后，很多关系就出来了，题目更明朗，你需要的条件也会显现。
这样，一条辅助你目的的辅助线就出现了。
这就是“十字辅助线”的底层逻辑——说明白，你心里也有底。（下面链接是拓展阅读）
初中生必看：送你8字真言，专治几何“头痛症”
02
解释
- 取中
取中、找到边的中点、作中线或者连一连找到中位线。
中线和中位线都有很多几何关系，当你需要某些条件时，你就找一找它们。
这一找你就会发现好处太多了。
首先，取中可以简化问题。
- 中点把边分成相等的两份，把三角形面积分成相等的两份；
- 在特殊的三角形、四边形中，中线又可以当对称轴用；
- 中位线能够把原本很多的变量集中到自己身上。
相等、对称、集中，都可以将图形简化、问题简化或转化。
其次，取中可以构造特殊图形或者关系。
- 在普通三角形中【取中】构造中位线、中线，中位线意味着平行关系，中线意味着面积关系和线段关系；
- 在特殊三角形、四边形、圆中，构【取中】可以造垂线，垂直又引出很多关系；
- 【取中】还可以构造相似或者全等三角形，而相似和全等能解决很多问题。
这么多关系，总会将你的问题向前推进。
最后，取中普适性强。
无论是三角形还是四边形和圆，都可以【取中】来构造辅助线。
我们通常遇到的图形都比较特殊，特殊三角形、四边形的中点、中线能够集中许多优质关系，这样其实就把问题简化了。
即便【取中】不能完全解决问题，但做了这个操作还可以跟其他方式结合，毫不违和，也不影响思路。
好，以上我们说了为什么【取中】，至于当你遇到中点，具体如何在题目中操作，我写过文章，大家可以看下方链接，这里不再赘述了。（可以去gzh找文章链接）
- 作平
作平行线。
平行是位置关系，可它也携带了诸多数量关系。
有了平行就有：内错角、同位角、同旁内角，还有线段的比例——位置和数量都有。
如果平行集中在四边形里，就更有意思了，我们便可结合平行和四边形的性质，得出诸多关系，来推进我们的解题目标。
因此，常见的做辅助线方式是：
通过作平行线构造一个平行四边形、做垂线构造矩形，利用它们的性质来等价、证明。
比如下面这道几何 压轴题。
牵扯到线段问题，直接解不好解，我们可以利用平行等价线段，或者是利用平行的关系，找到全等关系来等价。
第一问就是利用了平行所带的关系，我们知道了全等，从而可以替换线段。
第二问条件变了，我们作平行线来等价线段+利用平行得出全等。
第三问，沿用了第二问的思路。
第四问则是利用平行和三角形的各种性质，进一步得出数量关系。
另外，我们还可以通过构造平行，将一些线段和角度平移，从而简化问题。
比如经典的模型将军饮马中模型中的求最值。
下面这一题，求三角形周长最值。
周长最小，也就是MN➕A N➕AM最小，MN已知，等价于AN➕A M最小。
- 直觉上要让这些点在一条线上才最短。
- 我们先把AM用对称等价代换，作A的对称点A’，连接A’M。
- 为了让它们共线，我们得让N跟M接在一起。于是我们把AN平移过去到M点，形成平行四边形。
- 这样DM就等价于AN了。
- 连接A’D，交BC于M点，DM=AN，A’M=AM,A’D即为所求。
这里需要等价两条线段，对称等价一条，用平移来等价另一条——作平，是常用的等价线段的方式。
其他还有什么？你自己想想呗。或者你可以给AI下个指令，让它告诉你，然后你再记一记。
关于将军饮马我也写过相应文章，感兴趣可以点下方链接。
对称是思维，将军饮马是技巧：要抓思维，而不是沉迷于技巧
- 连对角
这里主要指的就是连四边形的对角线。
- 对角线天生带有很多关系，尤其是特殊四边形的对角线：互相平分、相等、垂直、平分角……
- 对角线还可以把四边形分成更小的块——三角形，所有的几何问题的最后都要来到三角形中执行，连对角线就能让你看到三角形的关系。
如此，能够把问题集中和简化。
所以，咱看到四边形，没有思路先把对角线连一连。
往往一连，关系就出来了，即便解决不了问题，也能推进问题解决。
延伸一步：
- 三角形、四边形遇到对边上有两个点，你也可以试试把点连一连；
- 遇到圆可以把圆心跟弦上的点、弧上的点连一连。
大多数题目我们都不是一下子就有思路，都要尝试的。
但尝试要有方向，咱们说的这些作辅助线的方式，都是大概率上正确的方向。
人生也一样，小步不断试，幸运更容易降临。
好话说回来，咱举些简单的例子。
这些题目不就是连一连点，连一连对角关系就明朗了嘛。
- 延一倍
主要是倍长中线问题。
有人说是延长对角线，其实三角形顶点到对边中点之间的连线——中线也说是对角线。
因为再来一个三角形，就成四边形了，我们从下图可以很明显地看到一条对角线。
把三角形中线延长一倍，会得到全等三角形。
而全等三角形是很多问题的中转站。
具体的举例我不说了，以前讲遇到中点如何做辅助线讲过。
好，到这里我们总结一下：
- 作辅助线没有灵感就记十个字：取中、作平、连对角、延一倍；
- 我们对这十个字挨着做了解释也举了例子，还说了底层逻辑。
希望您认真琢磨，这样才能带来更大的启发。
有想说的，欢迎在评论区留言。
本文结束，谢谢阅读。
