折纸与数学（Ｉ）——基本操作与三等分线段
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　　本文的关键内容不是我的原创，但是图和文字都是我重新制作的。本系列约定如下：黑线为纸张边界，红线为已知部分，深绿色线为折痕，蓝色线为辅助线，折痕不区分峰谷，仅以箭头示意正折反折，以线段的实虚示意上层下层，纸张正面为白色，背面为灰色。
一、折纸基本操作（1-4）
　　折纸一共有七种基本操作，其中操作1-6最早由Justin Jacques（贾斯汀·雅克）和藤田文章分别于1989和1991年提出，最后一条操作由羽鳥公士郎于2001年提出，后经Robert J.Lang（罗伯特·J·朗）证明，这七项已经包括了折纸的全部基本操作。这七项基本操作也看做是折纸的七条“公理”，即藤田-羽鳥公理。本节介绍前四种。
　1.已知A、B两点，可以折出一条经过A、B的折痕。此即相当于过A、B作直线。
　2.已知A、B两点，可以折出一条经过A、B的折痕。此即相当于作A、B连线的垂直平分线。
 　3.已知a、b两条直线，可以把直线 a 折到直线b上去。此即相当于作a、b夹角的平分线。
 　4.已知点A和直线a ，可以沿着一条过A点的折痕，把a折到自身上。此即相当于过A作a的垂直线。
思考：
　　已知点A和不过该点的直线a，怎样过点A作直线a的平行线？
　　已知点Ａ和不过该点的直线a、b，怎样过点A作一条直线，使折叠后的直线b经过A且与a平行？
二、三等分线段方法之一（只适用于正方形纸张）
　1.将正方形纸张对折，即将A点折到B点处，再打开；
　2.将点A折到F点处，此时原AB边与原BC边交点H即为三等分点。
证明要点：
　　可设正方形纸张的边长为1，AF=x，DG=y，则CF=1-x，GF=1-y，
　　此三者满足勾股定理，可列出x、y关系式。
　　又DFG与CHF相似，根据DF/DG=CH/CF可得CH表达式。
三、三等分线段方法之二（适用于任何比例的矩形纸张）
　1.将AC对折，BD对折，折痕交于点E；
　2.过E将AB边折到自身，折痕与AB、CD边分别交于点F、G；
　3.过C、F两点进行折叠，与BD交于点H；
　4.过H将AB折到自身，折痕与AB折于点I。点I即为所求。
说明：
　　经过CI两点折叠，折痕与BD交于K点，然后过K将AB折到自身上，折痕与AB交于L点，则L点是AB边的四等分点。继续以上过程可得到五等分、六等分……点。