扭结的故事
鞋带为什么老开？
“五一”暴走十万八千里，相信你总会遇到过走着走着，鞋带突然就开了，不得不重新系的情况，但有的人鞋带却怎么也甩不开，这是为什么呢？
一
鞋带？纽结？代数拓扑！
几种不同的结
纽结理论是数学学科代数拓扑的一个分支，按照数学上的术语来说，是研究如何把若干个圆环嵌入到三维实欧氏空间中去的数学分支。纽结理论的特别之处是它研究的对象必须是三维空间中的曲线。在两维空间中，由于没有足够的维数，我们不可能把让一根曲线自己和自己缠绕在一起打成结；而在四维或以上的空间中，由于维数太多，无论怎么样的纽结都能够很方便地被解开成没有结的曲线。
为什么研究纽结？
纽结理论的基本问题是:怎样区分不等价的纽结(或链环)？它是三维拓扑学的一部分,因为曲线打结与链锁是三维空间所特有的现象（平面上、四维以上的空间里曲线都不会打结），而且它所研究的是闭曲线在三维空间中安放方式的差异，并不是闭曲线本身（它们都与圆周同胚，因而彼此都同胚）。
而为了方便讲解，这里我们只考虑三维情况。简单来说，如果不破坏纽结的结构，只做扭转、平移、交叉变换，我们能将两个“看起来”毫不相关的纽结变成同一个，那么就说这两个纽结是等价的。
你能找到和中国结等价的纽结吗？
因此我们要解决的的问题从“怎么样系鞋带才能不散开”转变成“什么样的纽结能让摩擦力最大化”。
二
纽结的研究简史
C.F.高斯在1833年研究电动力学时引进了闭曲线之间的环绕数，这是纽结理论的基本工具之一。1880年左右出现了最早的纽结表。纽结理论后来随着代数拓扑学的发展而前进，也反过来刺激了代数拓扑学的发展。1910年M.W.德恩引进纽结的群的概念，1928年J.W.亚历山大引进了纽结的多项式这个更易处理的不变量，都是重要的进步。
纽结的的亚历山大多项式
现在，牛津大学的数学家Marc Lackenby找到了一种算法，能比以往任何算法都更快判断一个纽结是否为“平凡纽结”。这种算法可以在所谓的“准多项式时间（quasi-polynomial time）”，判断出一个交叉数为n的纽结图所代表的的纽结是否是平凡纽结。
纽结理论是拓扑学的一个引人入胜的领域，一方面因为它研究的是看得见摸得着的丰富多彩的几何现象，有着许多问题等待人们去解决，另一方面也因为它相当奥妙,需要动用各种各样的方法,成了诸如群论、矩阵论、数论、代数几何、微分几何等众多学科与拓扑学交汇的地方。
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三
什么！鞋带的两种系法？
回归正题，那么怎么样系鞋带才是最牢固的的呢？
事实上，我们通常系鞋带都是以两个“三叶结”互相堆叠形成的纽结。
三叶结
穿鞋带图解
而在第二步穿鞋带时，若从逆时针方向缠绕鞋带，你就会得到一种以两种相同三叶结堆叠的“祖母结”：若从顺时针方向缠绕则得到一种以镜像对称的两个三叶结堆叠的“平结”，与前者呈非对映异构体。
两钟堆叠方式
图片来源：J. Am. Chem. Soc.
而经过实验表明，第二种打结方式具有更大的扭转力，也就是更大的摩擦力，这也使得它不容易散开。事实上，很多攀岩选手会将平结误打成祖母结，导致危险的发生。
编辑 | 郭 杰
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