微积分与分析
微积分,旧称”无穷小微积分”(infinitesimal calculus),由17世纪的数学家牛顿和莱布尼茨各自独立且同时创立。它本质上是研究彼此依赖的变量之间关系的数学。18世纪,欧拉引入了函数的概念,并推动了该理论的进一步发展。
如今,”微积分”通常指该理论的基础部分,而数学分析(analysis)则被用来指代更高级的内容。
数学分析进一步细分为:
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实分析(Real analysis):研究实数变量的性质 -
复分析(Complex analysis):研究复数变量的性质
此外,分析还包含许多与其他数学领域交叉的子领域,包括:
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多变量微积分(Multivariable calculus) -
泛函分析(Functional analysis):研究函数空间及其变换 -
积分、测度论(Measure theory)与位势论(Potential theory):与连续概率论密切相关 -
常微分方程(Ordinary differential equations) -
偏微分方程(Partial differential equations) -
数值分析(Numerical analysis):主要研究如何在计算机上求解常微分或偏微分方程等应用问题中的数值解
离散数学(Discrete mathematics)
离散数学广义上是研究离散的、可数的数学对象。例如,全体整数集合就是一个典型例子。由于研究对象是离散的,微积分和数学分析的方法通常不适用。
算法(Algorithms),特别是它们的实现方式和计算复杂性,在离散数学中具有重要地位。
20世纪下半叶,四色定理(Four color theorem)和开普勒猜想(Kepler conjecture,最优球堆积问题/Optimal sphere packing)是两个被解决的重要离散数学难题。P vs NP 问题至今未解,它的答案可能对大量计算复杂的问题产生深远影响。
离散数学的主要领域包括:
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组合数学(Combinatorics):研究如何在特定限制条件下计数各种数学对象。最初这些对象是集合的元素或子集,后来扩展到更广泛的结构,从而与其他离散数学分支建立了密切联系。例如,离散几何(Discrete geometry)研究几何图形的组合配置。 -
图论(Graph theory)与超图(Hypergraphs) -
编码理论(Coding theory):包括纠错码和部分密码学内容 -
拟阵理论(Matroid theory) -
离散几何(Discrete geometry) -
离散概率分布(Discrete probability distributions) -
博弈论(Game theory):虽然也研究连续博弈,但大多数常见游戏如国际象棋和扑克都是离散的 -
离散优化(Discrete optimization):包括组合优化、整数规划和约束规划
数学逻辑与集合论
数学逻辑和集合论自19世纪末起成为数学的正式分支。在此之前,集合尚未被视为数学对象,而逻辑虽然用于证明,但仍属于哲学范畴,并非数学家专门研究的领域。
在康托尔研究无穷集合之前,数学家普遍避免使用”实际无穷”的概念,只将无穷视为永无止境的过程。康托尔提出了实际无穷集合的概念,并通过对角论证法(Cantor’s diagonal argument)说明无穷集合之间可以有不同的”大小”,这在当时引起了巨大的争议。
同时,多个数学分支开始意识到,旧有关于基本数学对象的直觉定义不足以维持数学的严密性,这引发了所谓的”数学基础危机”(foundational crisis)。
这一危机最终通过在形式化集合论中系统化公理化方法而得到主流解决。粗略地说,每一个数学对象都通过描述它所属的一类对象及其所满足的性质来定义。例如,在皮亚诺公理(Peano axioms)中,自然数通过如下公理定义(大致):

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“0 是一个数” -
“每个数都有唯一的后继” -
“除 0 外,每个数都有唯一的前驱” -
加上一些推理规则
这种将数学从现实中抽象出来的方式,体现在由希尔伯特于约1910年提出的形式主义哲学之中。
这种方法也使得逻辑系统(即推理规则的集合)、定理、证明等可以作为数学对象加以研究。例如,哥德尔不完全性定理(Gödel’s incompleteness theorems)大致指出:在任何包含自然数的自洽形式系统中,必然存在一些命题,它们虽然在该系统中无法被证明,但在添加更多公理或更强表达能力的系统中可以被证明为真。
这一基础方法在20世纪上半叶遭遇挑战,尤其是由布劳威尔(L.E.J. Brouwer)领导的数学家群体推广的直觉主义逻辑(intuitionistic logic),其显著特征是不承认排中律(law of excluded middle)。
这些问题和争论推动了数学逻辑的广泛发展,形成了如下子领域:
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模型论(Model theory):研究如何在一个理论中对另一个理论进行建模 -
证明论(Proof theory) -
类型论(Type theory) -
可计算性理论(Computability theory) -
计算复杂性理论(Computational complexity theory)
尽管这些逻辑理论在计算机发明之前就已建立,但它们在编译器设计、形式验证、程序分析、证明助理等计算机科学领域的应用,进一步推动了逻辑理论的发展。
统计学与其他决策科学
统计学是一门数学应用学科,主要用于数据样本的收集和处理,其方法基础是概率论。统计学家通过随机抽样或随机实验生成数据。
统计理论研究各种决策问题,例如如何将统计行为(如参数估计、假设检验或模型选择)的期望损失(风险)最小化。在传统的数理统计领域中,这类问题通常通过在特定约束下最小化目标函数(如期望损失或成本)来建模。例如,设计一个调查时,往往要在控制误差置信度的前提下最小化成本。
由于涉及优化问题,统计学的数学理论与其他决策科学高度交叉,例如运筹学(Operations research)、控制理论(Control theory)和数理经济学(Mathematical economics)。
计算数学
计算数学(Computational mathematics)研究那些过于庞大、超出人类手动计算能力的数学问题。
数值分析(Numerical analysis)是该领域的重要分支,研究如何利用泛函分析(Functional analysis)和逼近理论(Approximation theory)等工具求解分析问题。其重点包括逼近、离散化以及舍入误差等问题。
广义上,数值分析与科学计算(Scientific computing)还涉及非解析性质的问题,尤其是算法、矩阵理论和图论等数学内容。
计算数学的其他重要分支还包括:
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计算代数(Computer algebra) -
符号计算(Symbolic computation)
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原文:en.wikipedia.org/wiki/Mathematics#Areas_of_mathematics
翻译:【遇见数学】并补充部分图片)