我们习惯于把数学看作计算数字、解方程的工具。但真正改变世界的,是另一种数学:它关心的不是数的大小,而是结构的相似;不是具体的解,而是隐藏在变换背后的对称。这种思想的核心,就凝聚在一个看似简单的概念里——群。
如何变换一个等边三角形,使其形状和方向保持不变?换句话说,如果你从纸上剪下一个等边三角形,你能以怎样的方式移动它,使它仍然能完美嵌回原先留下的空洞?
稍加尝试,你会发现有六种这样的变换方式。
显然,你可以选择什么都不做(我们称之为恒等变换);
你可以交换任意两个顶点(三种变换,等价于沿对称轴的反射);
你还可以顺时针或逆时针旋转顶点(另外两种变换)。以下是一张有助于理解的图示:
现在,我们不从几何角度思考,而是换个视角。假设三角形的三个顶点分别标记为1、2、3,来看这些数字在每次变换下的排列。
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在图的下行中,每种翻转/反射变换都会固定一个数字,而另外两个数字互换。我们可以将这三种翻转记为(23)、(13)和(12)。这种记法表明了每个顶点移动到的位置。例如,在(23)中,2移动到3的位置,3移动到2的位置,而1保持不动。
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在上行的第一次旋转中,每个顶点顺时针移动一个位置,可记为(123)——1移动到2的位置,2移动到3的位置,3移动到1的位置。同样,第二次旋转可记为(132),每个顶点顺时针移动两个位置。
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如果我们将恒等排列记为e,那么共有六种排列:e, (12), (23), (13), (123), (132)。这些是数字1、2、3的所有可能排列。
n个对象的对称群
从这个角度看,等边三角形的对称集合在代数上等价于三个不同对象上的排列集合。为了方便表示,我们通常将这些对象记为1、2、3,称这个集合为S₃。
推广到一般情况,将n个对象的所有排列集合记为Sₙ。我们可以在这个集合上定义一种从右到左的组合运算。也就是说,对于两个排列ρ和σ,组合排列ρσ的执行顺序是先按σ进行排列,再按ρ进行排列。例如,若取(12)和(23),则(12)(23)先交换2和3,再交换1和2。仔细检查会发现(12)(23) = (123)。
[注:我们也可以定义从左到右的组合方式,这在数学上等价。若采用此方式,(12)(23) = (132)。但从右到左的组合是专业数学家更常用的方式。]
在代数上,Sₙ在上述组合运算下是一个群,满足定义群的四条规则:
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封闭性:Sₙ中任意排列的组合仍产生Sₙ中的另一个排列。
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结合律:对于三个排列ρ、σ和τ,(ρσ)τ = ρ(στ)。例如,(12)(13)(23) = (132)(23) = (12)(132) = (13)。
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单位元的存在:e是恒等排列。
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逆元的存在:显然,对于任一排列,存在另一个排列能将所有对象恢复到原始位置。例如,(123)(132) = e,因此(132)是(123)的逆,反之亦然。
需要注意的是,当n ≥ 3时,Sₙ不是交换群。也就是说,排列组合的顺序会影响结果。例如,(12)(23) = (123),但(23)(12) = (132)。这也是为什么我们需要仔细定义从右到左的组合运算。
对称群的几何应用
从前述内容可见,S₃整体在结构上等价于等边三角形的对称群。在数学中,我们说这两个群是同构的。同构群本质上相同,只是描述方式不同。
因此,可能容易误以为S₄同构于等边矩形(通常称为正方形)的对称集合。但仔细检查会发现,正方形有8种对称变换,而4个对象的排列数为4! = 24。因此,这两个群不可能同构。实际上,正方形的对称群同构于S₄的一个子群。而S₄本身同构于正四面体的对称群。
随着对称群的阶数增加,其元素数量迅速增长,例如S₁₀有10! = 3,628,800个元素。这些完整的对称群通常不直接用于描述对象的对称性,但其中的子群极为有用——例如,在对称群中总能找到柏拉图立体的对称性。
这引出了对称群的一个重要定理——凯莱定理。该定理指出,任何有限群都同构于Sₙ的某个子群。通俗来说,通过如上所述的排列方式思考问题,为我们提供了一种理解整个有限群论的技术——这是一个庞大且应用广泛的数学领域。这真是令人惊叹!
线性代数及其他领域的应用
对称群的一个极为有用的性质是,任何排列都可以分解为“交换”的组合。例如,(123) = (23)(13),或(1234) = (12)(23)(34)。因此,我们可以定义“奇排列”和“偶排列”:
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奇排列:分解中最短路径包含奇数个交换的排列(如(1234)是奇排列)。
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偶排列:分解中最短路径包含偶数个交换的排列(如(123)是偶排列)。
现在考虑一个2×2矩阵的行列式:
我们在高中学过:
仔细观察这些项,你会发现正项对应于恒等元素,负项对应于排列(12)。同时,恒等元素是偶排列,(12)是奇排列。因此,我们定义一个关于S₂排列的符号函数sgn(),当σ为偶排列时sgn(σ) = 1,当σ为奇排列时sgn(σ) = -1。于是,行列式可表示为:
再看一个3×3矩阵:
你可能在高中学过,3×3矩阵的行列式可以通过某些“2×2子行列式”的线性组合计算:
展开后,我们得到六个项,对应于S₃中的六个排列,且符号与排列的奇偶性一致。因此,如前所述:
你可能已经猜到我的结论。对于一个n×n矩阵A,其行列式可表示为:
这是一个强大的抽象工具,便于计算大型矩阵的行列式。它还推广到更广义的矩阵函数概念:对于作用于Sₙ的任意函数f,以及n×n矩阵A:
当我们使用恒等函数f(σ) = 1时,这个矩阵函数称为永久(permanent)。它表示矩阵元素所有排列的直接和。在粒子物理学中,永久在处理量子场论中的玻色子格林函数、确定玻色子采样系统的状态概率以及量子计算的其他重要课题中非常关键。
对于熟悉这一领域的读者,这里介绍一个稍高级的内容:如果函数f(σ)是Sₙ的不可约特征,则这些矩阵函数称为不变量(immanant)。由于恒等函数和符号函数都是Sₙ的不可约特征,矩阵的永久和行列式是不变量的特殊情况。不变量在组合化学和线性光学网络研究中扮演重要角色。