平移问题中的常见题型



类型1：明确平移方向和平移距离

如：①抛物线向上平移3个单位，抛物线向右平移4个单位；②抛物线平移后过点(2,3)、(4,5)。对于此类问题，结合平移距离和平移方向以及平移前的顶点式即可得出平移后的解析式或根据平移前后a不变，代入点求解解析式。

类型2：明确平移方向，未明确平移距离

如：抛物线向上平移m个单位，抛物线向右平移n个单位。但是此类问题，都会有一个特殊点落在特殊位置，比如该点落在原抛物线上，或该点与已知点所在直线平行于另一条已知直线。对于此类问题，先设出平移后的解析式，再根据点的特殊位置进一步求解。

类型3：未明确平移方向，未明确平移距离

如：2023上海中考24第(3)问。

对于此类问题，同类型2，平移后的点会落在特殊位置，结合平移前后点的位置关系，利用代数推理进行进一步计算。

类型4：将抛物线沿着射线平移

对于沿着某条射线平移的问题，可以得到平移方向与x轴的夹角，进而联想构造一线三直角基本图形。如果是与面积相关的问题，可以根据平移前后对应点的距离相等进行求解。



类型1题型汇总

类型1-1：明确平移方向和平移距离

解法分析：根据具体平移方向和距离用含a的代数式表示C2的解析式，利用A、D、E在同一直线上，利用直线AD和直线DE斜率相等求解a的值。

2025二模函数综合题——平移问题

类型1-2：平移后的抛物线过定点
解法分析：根据平移后过定点，平移前后a不变，设出平移后的解析式，再代入两定点求解。

类型2题型汇总

解法分析：本题是新定义背景下的二次函数综合题。第(1)问根据“优雅”抛物线的定义，先用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标，继而根据定义可以求出m的值。

第(2)问的②可以先根据定义求出抛物线C3的解析式，根据抛物线C2是由抛物线C1向下平移所得，因此可以设出抛物线C2的解析式，表示出点B、C后，根据AM//BC，且AM过点A，得出AM的解析式。由于点M既在抛物线C3上又在直线AM上，因此通过交轨法求出点M的坐标，代入抛物线C2后确定抛物线C2的解析式。


解法分析：2025奉贤二模24题是与平移直线和平移抛物线相关的函数综合问题。本题第(1)问中根据抛物线过点A，将抛物线解析式用含b的代数式表示，用含b的代数式表示抛物线的顶点代入直线，即可求出b的值。
本题的第(2)问根据CD=OP，构造全等三角形。先设出点C的坐标，再根据全等三角形对应边相等表示出点D的坐标，再代入抛物线中求解。
本题的第(3)问根据对称性可知MP=MN，如图，再利用△MPG和△PFG相似，用含m的代数式表示点M的坐标，再代入抛物线中求解m的值。

解法分析：2025浦东二模24题是平移背景下与几何计算相关的综合问题。本题的第(1)问利用顶点式及抛物线过原点求出抛物线C1的表达式；第(2)问给出了平移方向，根据平移后顶点落在原抛物线上，可以得出m和n之间的数量关系。
第①问利用AD=AB，及勾股定理求解n的值，进而求出sin∠DAE的值。
第②问根据三角形相似，找出等角，利用等角的三角比相等求解。

类型3题型汇总

解法分析：根据题意可知，平移后AP//MN，AM//PN，即点M在直线AB上。根据PM//AO，可知M的纵坐标与点P相同。从而根据M的坐标确定平移方向，从而确定平移后抛物线L2的表达式。

同类题链接：2023上海中考24题

类型4题型汇总

解法分析：本题是二次函数背景下与求函数表达式，平移背景下求新抛物线表达式、及等角背景下求点坐标的综合问题。

本题的第(1)问利用待定系数法可以求出抛物线的表达式。
本题的第(2)问先求出△ABC的面积，再求出△A’BB’的面积，根据平移的性质，可知A’B’//AB，且A’B’=AB，进而求出△A’BB’中边A’B’的高，从而确定点B’的坐标，再求出点A’坐标，确定新抛物线的对称轴。
本题的第(3)问中可以发现∠ACB是由一个45°角和一个正切值为1/2的角组成，同时可以发现∠PB’B中也有一个45°角，进而得到另一个角的正切值为1/2，从而构造直角三角形求解。

解法分析：根据题意，先用含m的式子表示点A，在表示出点B和点C，由于抛物线验证射线CA方向平移，大致确定点A’、B’、C’的位置。同时可以确定△ADC’和△ABC相似，根据面积比等于相似比的平方，得出C’D和BC的数量关系。再根据tan∠A’DB’=4得出线段间的数量关系，进而求出m的值，确定点A的坐标。

同类题链接：2025普陀一模24题


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