数学考古：自然数的再认识

自然数对古人通常有非同寻常的意义，图为呼和浩特五塔寺的五塔，墙外拍摄。

前言

学数学不仅是学知识，更是学习其思维方式。在知识变得廉价的时代，思维方式的潜能远没有被挖掘。数学知识是数学思维的凝结，最闪耀的数学智慧体现在数学知识的形成过程中。离开数学知识空谈数学思维，通常和玄学区别不大，还原数学知识形成的过程对培养数学思维无疑是有益的。题目命名为《数学考古》，正是基于此理念。

数学是一门极为细微的学科，不仅要学习计算和推理，更要体会其细致入微的思考方式，提升对信息的敏感性，增强洞察力。

数学是一种文化，这种文化如果停留在死的文本层面毫无意义，唯有通过身心投入的活动使其复活方能绽放异彩。我无意于灌输什么知识，更多是想提供一个可以让数学知识再生的模拟游戏。在游戏中，让数学文化与生活经验相互照亮。

正文

对简单的追求，是数学早期发展的基本动力。神奇的是，虽然其形式越来越简化，但其功能却越来越强大。

回顾自然数的历史，可把零碎的知识整合为一体，在知其然的基础上知其所以然。进一步，在回望历史的过程中体会数学发展的背后动力，感受简化的必要性。

1. 识数是为了生存

自然界中的羊是一个一个的，斑鸠是一个一个的，花朵也是一个一个的（当然，你也可以说它是一朵一朵的），在具体情景中要知道它们有多少“个”，就需要用到计数。

计数对人无疑是重要的。

在豫东农村，对一个人智商的侮辱莫过于说他“连仨数都不识”，形容一个人头脑清楚也可以说他“心中有数”。

大自然不做无用功，人类通常也不喜欢无用的能力。人类要生存，需要很多看不见的魔力，识数是其中的一个。要知道猎物的多少，敌人的多少，都得识数才行。

为了生存，甚至连一些动物都得识数，比如乌鸦和黑猩猩。

开放性问题：你还知道人类普遍具有哪些隐形的生存技能？你还知道有哪些动物识数？动物识数和人类识数有哪些区别？

2. 计数的符号

人们最早认识的数是自然数。自然数和表示自然数的方式是有区别的。

开放性问题：当我们说“一”的时候，它可能包含哪些含义呢？

当我们说“一”的时候，它至少有三层含义：一个音节，一个字符，一个数。敏锐的头脑通常能把一个事物的不同含义区分出来。

我猜测，人们最早应该是用一个或几个音节表示一个数，就像我们现在说“一”这个音节的时候，大家通常都知道指的是数“1”。但音节会随着声音的消失而消失，要想记录一个数，就需要用持续存在的事物（或符号）表示。

人类早期的思维方式，大概和我们童年的思维方式有相似之处。你小时候是如何表示数的？

开放性问题：你觉得早期人类可能会有哪些表示数的方式呢？这样有什么好处，又有什么不足？你觉得这些符号表示需要遵循什么原则？

不同的文化，创造出了数的不同表示方式。早期人们大概可以用手指、小石子、小木棒等实物表示数，也可以通过画线、画圈、画点、画三角形等符号表示。当然，也可以结绳计数。

从实用的角度，数的表示应该遵循简单、方便的原则。

开放性问题：这些方式看起来形式各异，但既然都可以表示数，就应该有共性。它们有什么共性呢？

不难看出来，它们都可以与所描述的对象建立一一对应的关系。

要想说明有3个敌人来袭，不一定要等这3个敌人到眼前才能说清楚其数目，只需要向自己的首领伸出3个手指，或者摆出3个小石子，首领就知道敌人有多少了。这些场景下的数有点类似于万能替身，或者也可以看作是影子。

把数和所描述的对象分开，这大概是最聪明的猴子也难以做到的。

开放性问题：早期人类有哪些场景需要用到数？数是如何帮助早期人类生存下来的？

3. 生活中的单位

如果你生活在古代，或许可以用3个手指头向族人报告来偷袭的敌人一共有3个。但如果敌人比较多，十个手指头就不够用了。石子、木棒的数量通常够用，但当敌人成百上千时，还用对应的石子或木棒计数，就有点憨态可掬了。

得找新的办法。

如果妈妈让你去买鸡蛋，通常会让买多少个呢？大概很少有人能说清楚，因为鸡蛋通常不是按“个”，而是按“盘”买的。承载鸡蛋的托盘，自然成了一个计数单位——怎么方便怎么来。

如果你是做鸡蛋批发生意的，“盘”这个单位可能就会显得有点小了，可能会用到“筐”或“箱”，甚至会用到“车”。

开放性问题：生活中的计数单位，你还知道多少？你能猜出它背后的原因吗？

4. 通行计数单位

开放性问题；用盘、筐、车表示鸡蛋的数量很方便，但它也有局限。你认为它们会有什么局限？

用这些单位表示鸡蛋的数量起码有三个局限。第一个局限是：盘、筐、车都有大有小，并不统一。第二个局限是：不同单位的换算不太方便。第三个局限是：这些单位很难推广到其他情景。

不同的领域，习惯用不同的计数单位。

数学常常需要把不同情景的应用问题，用一种方式统一解决。不管是描述敌人多少，还是描述鸡蛋多少，还是别的什么情景，都可用一种方式计数。学会了这一种计数方式，就可以应用到众多的情景，聪慧的头脑总喜欢化繁为简。

开放性问题：如果你生活在远古时期，你会创造出什么样的计数单位？

你开始学数的时候，是不是用手指计数的？手指计数太方便了，“一把手”（豫东习惯说法）就是一个天然的计数单位。大多数人都是有10个手指头，或许就是因为这个原因，“十”成了一个很方便的计数单位。当然，不同的文化用来表示“十”这个计数单位的字符并不相同，但它不是本文关注的重点。

和用画几条线表示“几个”类似，画几个“十”就表示“几十”。要表示21，只需写“十十一”即可，只跟每个单位的个数有关，和书写顺序无关。

单位“十”可以把数的形式更加简化，但表示更大的数，“十”就又不够用了。随着数的增大，人们需要越来越多的计数单位，我国古代的计数单位非常的丰富，除了“个、十、百、千”，还有：

万：代表的是10⁴（4个10相乘，即10000，以下类推）；

亿：代表的是10⁸ .

兆：代表的是10¹².

京：代表的是10¹⁶.

垓：代表的是10²⁰.

秭：代表的是10²⁴.

穰：代表的是10²⁸.

沟：代表的是10³².

涧：代表的是10³⁶.

正：代表的是10⁴⁰.

载：代表的是10⁴⁴.

极：代表的是10⁴⁸.

恒河沙：代表的是10⁵².

阿僧祇：代表的是10⁵⁶.

那由它：代表的是10⁶⁰.

不可思议：代表的是10⁶⁴.

无量：代表的是10⁶⁸.

大数：代表的是10⁷².

或许你已经看出来了，有些单位明显带有印度或佛教的特征，好东西无国界。

庄子《逍遥游》中讲：“北冥有鱼，其名为鲲，鲲之大，不知其几千里也”，其想象力令人印象深刻。但与之相比，这些单位之大，之丰富，有过之而无不及。大胆想象的能力，古人或许遥遥领先于我们。

5.不同的进制

为了避免混乱，单位与单位之间也要满足一定的规则。

问题：你认为计数单位之间应满足什么样的规则？

计数单位之间通常要有整数倍的关系，大小相邻计数单位之间的倍数如果是统一的，会更方便。

如果大小相邻的两个计数单位有整数倍的关系，且这个倍数关系是一个固定的数，那么这个倍数是“几”，我们就称这种单位体系为“几进制”，这个固定的倍数通常被我们称为“进率”。

我们目前通常使用的单位制是“十进制”，也就是说满十进一。这样，任意两个计数单位的转换就比较容易。

早期人们发明出了各种进制。我们常用半斤八两（通常有贬义）来形容二者“不分伯仲”，其背后的原理是1斤等于16两，也就是说用的是“十六进制”。

我们知道1小时等于60分钟，1分钟等于60秒，用的是“六十进制”。

而计算机使用的，主要是“二进制”。

当然，还有其他进制，不同的进制起源于不同的背景，大概都是为了方便。古人发明这些进制的历史或许很难还原，但这并不妨碍我们的大胆猜测——猜测也是一种能力。在信息不充分的情况下，我们需要依靠猜测做出判断。

开放性问题：在古代，相比十进制，十六进制、六十进制可能会有哪些优势？

均分物品在古代是比较经常发生的活动，16可以多次被均分，而60可以被多个数均分。或许这也是古人偏爱它们的原因吧。

问题：16可以被均分几次? 60可以被哪些数均分？

但最终胜出的还是十进制。

开放性问题：十进制胜出，成为最通用的单位制，有哪些可能的原因？

我们不妨做一点思想实验，把问题极端化或许会看出一点端倪：如果使用二进制，随着数的增大，它的数位就会急剧增长；如果使用六十进制，就需要更多不同的数字表示每一个数位的数。二者对我们都不友好。而十进制，或许是缩短数位和减少字符之间矛盾的一个平衡点。当然，用十个手指计数的普遍习惯也功不可没。

6.位值制

有了丰富的计数单位，计数方式变得更加的简化，比如表示321，只需要用“一十十百百百”表示，与单位的书写顺序无关。但如果某个单位比较多的时候，它也不简便，比如表示789这个数，就需要7个“百”，8个“十”，9个“一”合在一起来表示，头都要大两圈半。

为了更加简便，人们就发明了各种数字系统。

注意：这里说的“数字”是字符，而“数”就是通常我们所说的数，二者有区分。

我国古代发明的独立数字体系，用数字“零、一、二、三、四、五、六、七、八、九”，加上单位，就可以表示各种数。比如789就可以用“七百八十九”来表示。这比单纯使用计数单位表示数要简化得多。

我们现在知道，这种方式依然不是最简的，因为我们早就习惯了更为先进的位值制，也就是用“位置”表示单位。有了这样的约定，单位就隐藏在了位置中，789的书写方式要比“七百八十九”简单多了。

这种简化看起来可能并没有那么让人惊叹，但它的确是历史的一大飞跃。或许正是因为不起眼，它的发明才会那么困难。就像核能那样，细微的东西会释放出巨大的能量，无视细微区别空谈洞察力，无异于缘木求鱼。

中国古代习惯用“算筹”或者“算盘”表示数，也是用位置表示计数单位。用算筹表示数的时候，用空位表示0。但如果出现连续空位，就不容易区分空了几位。而印度人发明的位值制，用0占位，更为方便。

（中国古代的算筹计数）

7. 阿拉伯数字

印度人发明了阿拉伯数字，这或许听起来有些奇怪。欧洲人从阿拉伯人那里引入了阿拉伯数字，把它当成了阿拉伯人的发明。或许发明阿拉伯数字的人也没有觉得这套符号的神奇之处，以至于连署名权都没有保留，我们现在只知道它是由印度的无名氏发明的。

开放性问题：或许很少有现代人怀疑阿拉伯数字的发明是一个巨大的成就，它有何优势？如此伟大的发明，为何连署名都没有留下呢？

或许阿拉伯数字的优势主要在于它足够的简单。这种优势初看起来可能并没有那么显著，以至于历史上的埃及人、罗马人都未必意识到自己的数字系统需要简化。

8.“0”的发明

“0”是一个神奇的数，但直到公元6世纪才被印度数学家婆罗摩笈多明确纳入计算体系。直到17世纪微积分发展后，0的地位才在欧洲完全确立。

我们现在的公元纪年，也没有公元0年，就是这个原因。

顺便说一句，“0”这个字符也是印度人发明的。

开放性问题：“0”为何在人类历史上出现得比较晚呢？人们拒绝把“0”接纳为一个数有什么可能的原因？

有数学家说，学习数学就是学习如何面对未知问题。要面对我们自己的未知问题，或许从古人那里获取一点经验会更有裨益。猜想古人所面临的困难和解决办法，或许对我们会有所启发。面对未知问题，古人并不比我们表现得差。

最初，自然数的出现是为了满足计数的需要，而计数总得要有计数的对象，无论是牛还是羊，至少得有1个。按照巴门尼德的说法，谈论一个东西，它必须存在才行。什么都没有，计什么的数？

1楼往下是-1楼，0层楼却很少见，或许也是这个原因。

开放性问题：“0”为何是一个数，它在现实中有哪些意义？

不分语境讨论问题通常会让人莫名其妙。讨论存在与不存在的时候，通常还得有个主语。小兔子把1根胡萝卜吃完了，胡萝卜的个数就从“1”变成了“0”，“0”代表胡萝卜没了，而“胡萝卜没了”是一个真实存在的状态——不存在也是存在的一种。

后语：

1.简化的必要性

按照密勒定律，人类的短时记忆容量约为7±2个信息组块（座机电话号码的长度）。也就是说，大脑的cpu容量并没有那么大，这或许就决定信息要以更为简洁的形式呈现，才方便人的识别和加工。

从以上内容不难看出，自然数的历史更多是其表示形式简化的历史。对数学来说，形式通常和内容一样重要，甚至可以说数学是一门有关形式的学科。数学原本被书写在自然这部大书里，自然这部大书既没有阿拉伯数字，也没有十进制，要把它从这部大书中翻译出来，要用人们方便理解的形式表示才行。

2.数学的约定

通过以上内容也不难发现，数学知识并不完全像我们想象中的那样客观，其中掺杂了很多人为的约定。我们通常可以这样约定，也可以那样约定，但之所以会选择A而不是B，背后通常有一些经验和直觉的支持。

在以后的学习和工作中，我们可能也需要做各种约定，了解前人的工作对我们或许有一定的参考意义。

附：

罗马数字（钟表盘上可见）：

I（1）、V（5）、X（10）、L（50）、C（100）、D（500）、M（1000）

埃及的计数方式：

巴比伦的计数方式：

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