每年的1月4日是联合国确立的世界盲文日（World Braille Day），现行盲文系统由六个凸点排列组合构成触觉符号，可表示字母、数字及科学符号，该文字系统由法国教师路易·布莱尔（Louis Braille）于1829年发明，“六点制”设计成为国际通行标准。而说起盲人数学家，大数学家欧拉赫然在列，翻译一篇Allyn Jackson写的旧文（发表于《美国数学会通告》），以飨读者。
作者：Allyn Jackson，AMS Notices（美国数学会通告）原副主编 2002-11 译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-1-4 |
|---|
造访盲人几何学家伯纳德・莫兰（Bernard Morin）位于巴黎的公寓，会有不少新奇发现。走廊的墙上挂着一幅电脑生成的海报，由莫兰的学生弗朗索瓦・阿佩里（François Apéry）创作，展示的是博伊曲面（Boy’s surface）—— 射影平面在三维空间中的一种浸入。
图源：Wikipedia
该曲面在莫兰最著名的研究中扮演着重要角色，这项研究是他对如何将球面内外翻转的可视化探索。尽管莫兰无法看见这幅海报，却依然兴致勃勃地为访客指出画面中不容错过的细节。回到客厅，他搬来一把椅子站上去，摸索着书架顶层的一个盒子，稳稳拿起后安全走下 —— 这让一旁的访客松了口气。
盒子里装着莫兰在1960 至 1970 年代制作的黏土模型，描绘的是球面翻转过程中中间阶段出现的各种形状。这些模型曾帮助视力正常的同事在黑板上绘图。其中一个可以握在掌心的模型正是博伊曲面，它不仅制作精确，其坚固优雅的比例更堪称一件艺术品。很难想象这样一个精准对称的模型竟完全是靠触觉制作而成，而它的用途，是向视力正常的人传达伯纳德・莫兰在脑海中清晰 “看见” 的景象。
视力正常的数学家通常是坐在那里随手在纸上写写画画：有个传说称，当一位著名数学家的女佣被问及雇主整天在做什么时，她回答说，他在纸上写字，揉成团，然后扔进废纸篓。那么盲人数学家是如何工作的呢？他们无法依赖随手演算、在餐厅餐巾纸上草草记下的不成熟想法，也无法进行那些 “这个连着那个、那个与这个相交” 的模糊论证。尽管如此，在很多方面，盲人数学家的工作方式与视力正常的同行并无太大差异。
当被问及如何在无法借助纸笔的情况下，在脑海中处理复杂公式时，科罗拉多大学的盲人数学家劳伦斯・W・巴格特（Lawrence W. Baggett）谦逊地说：“嗯，这对任何人来说都不容易。” 不过，盲人数学家对自己研究领域的感知似乎确实有所不同。莫兰回忆说，有一次视力正常的同事为他审阅论文时，不得不通过冗长的行列式计算来核对一个符号。同事问他是如何算出这个符号的，莫兰回答：“我不知道 —— 靠感受它的'分量’，靠反复思索。”
历史上的盲人数学家
莱昂哈德・欧拉（Leonhard Euler，1707 – 1783）
图源：Wikipedia
数学史上有不少盲人数学家。历史上最伟大的数学家之一莱昂哈德・欧拉（Leonhard Euler，1707 – 1783），在生命的最后 17 年里完全失明。他的视力问题源于担任圣彼得堡科学院地理部主任期间从事制图工作导致的严重眼疲劳。31 岁时，他的右眼开始出现问题，59 岁时几乎完全失明。欧拉是历史上最多产的数学家之一，一生创作了约 850 部著作。令人惊叹的是，其中一半作品是在他失明后完成的。他凭借惊人的记忆力，以及两个儿子和圣彼得堡科学院其他成员的协助，得以继续科研工作。
尼古拉斯・桑德森（Nicholas Saunderson，1682 – 1739）
图源：Wikipedia
英国数学家尼古拉斯・桑德森（Nicholas Saunderson，1682 – 1739）在出生第一年就因天花失明。尽管如此，他精通法语、希腊语和拉丁语，并投身数学研究。他曾被剑桥大学拒绝录取，从未获得过学术学位，但在 1728 年，乔治二世国王授予他法学博士学位。作为牛顿哲学的追随者，桑德森成为剑桥大学的卢卡斯数学教授 —— 这一职位曾由牛顿本人担任，如今由物理学家斯蒂芬・霍金（Stephen Hawking）执掌。
桑德森发明了一种进行算术和代数运算的方法，他称之为 “可触摸算术”（palpable arithmetic）。这种方法依赖一种装置，既类似于算盘，也与如今数学教学中使用的 “几何板”（geoboard）有相似之处。他的可触摸算术方法在其教科书《代数学基础》（Elements of Algebra，1740 年）中有详细描述。桑德森可能还涉足过概率论领域：统计史学家斯蒂芬・斯蒂格勒（Stephen Stigler）认为，贝叶斯统计的思想实际上可能源于桑德森，而非托马斯・贝叶斯（Thomas Bayes）[St]。
有几位著名的盲人数学家来自俄罗斯。其中最知名的是列夫・谢苗诺维奇・庞特里亚金（Lev Semenovich Pontryagin，1908 – 1988），他 14 岁时因一场事故失明。母亲承担起教育他的责任，尽管她没有任何数学知识或训练背景，却能为儿子朗读科学著作。他们共同创造了一套描述她遇到的数学符号的方法。例如，集合交集符号被称为 “尾巴向下”，子集符号被称为 “尾巴向右”，诸如此类。
列夫・谢苗诺维奇・庞特里亚金（Lev Semenovich Pontryagin，1908 – 1988）
图源：nekropole.info
1925年，17岁的庞特里亚金进入莫斯科大学后，他的数学天赋便展露无遗，人们尤其惊叹于他无需依赖笔记就能记住复杂表达式的能力。他成为莫斯科拓扑学派的杰出成员之一，该学派在苏联时期与西方保持着联系。他最具影响力的研究集中在拓扑学和同伦论领域，但也在应用数学（包括控制论）方面做出了重要贡献。如今至少有一位健在的俄罗斯盲人数学家 —— 莫斯科斯捷克洛夫研究所（Steklov Institute）的 A・G・维图什金（A. G. Vitushkin，1931 - 2004），他主要研究复分析。
路易・安托万（Louis Antoine，1888 – 1971）
图源：MacTutor mathshistory.st-andrews.ac.uk
法国也诞生了杰出的盲人数学家。其中最著名的是路易・安托万（Louis Antoine，1888 – 1971），他在29岁时因第一次世界大战失明。根据 [Ju] 的记载，是勒贝格（Lebesgue）建议安托万研究二维和三维拓扑学，部分原因是当时该领域的论文并不多，另一部分原因是 “在这样的研究中，心灵之眼和专注的习惯将取代失去的视觉”（dans une telle étude, les yeux de l’esprit et l’habitude de la concentration remplaceront la vision perdue）。
莫兰在1960年代中期与安托万相识，安托万向这位年轻的盲人同行数学家讲述了自己最著名成果的诞生过程。安托万曾试图证明若尔当 - 熊夫利定理（Jordan-Schönflies theorem）在三维空间中的类似结论 —— 该定理指出，平面上的简单闭曲线存在一个平面同胚，可将其映射为标准圆。安托万试图证明的是，三维空间中二维球面的嵌入存在一个三维空间同胚，能将其映射为标准球面。
最终，安托万意识到这个定理并不成立。他构造出了三维空间中第一个 “野嵌入”（wild embedding）集合，即如今所说的安托万项链（Antoine’s necklace）—— 这是一个补集非单连通的康托尔集。利用安托万的思想，J・W・亚历山大（J. W. Alexander）构造出了著名的亚历山大角球（horned sphere），这是二维球面在三维空间中的一个野嵌入，为安托万试图证明的定理提供了反例。安托万证明了可以从项链构造出球面嵌入，但当莫兰问他这个球面嵌入是什么样子时，安托万表示自己无法可视化它。
球面翻转
莫兰自己的人生故事极具传奇色彩。他于1931年出生在中国上海，父亲当时在一家银行工作。莫兰早年患上青光眼，被送往法国接受治疗。他曾回到上海，但后来视网膜脱落，6 岁时完全失明。尽管如此，他仍保留着视力正常时期的一些影像记忆，记得小时候对光学现象有着浓厚的兴趣。他回忆起自己曾被万花筒深深吸引，还有一本关于色彩的书，书中展示了例如红色和黄色混合如何产生橙色。另一个记忆是一幅风景画，他记得看着这幅画，疑惑为什么平面的画作却能让他看到三维效果。由于成长过程中没有新的影像来替代，他早年的视觉记忆尤为清晰。
失明后，莫兰离开上海，永久定居法国。他在盲人学校接受教育，直到15岁进入一所普通高中。他对数学和哲学都很感兴趣，但父亲认为儿子在数学方面不会有太大发展，便引导他学习哲学。在高等师范学校（École Normale Supérieure）学习几年后，莫兰对哲学感到失望，转而投身数学。
他师从亨利・嘉当（Henri Cartan），并于1957年加入法国国家科学研究中心（Centre National de la Recherche Scientifique）担任研究员。在1972年师从勒内・托姆（René Thom）完成奇点理论博士论文之前，莫兰就已因球面翻转研究而闻名，并曾在普林斯顿高等研究院（IAS）深造两年。莫兰的职业生涯大部分时间在斯特拉斯堡大学任教，1999年退休。
1959年，斯蒂芬・斯梅尔（Stephen Smale）证明了一个令人震惊的定理：n维球面到欧几里得空间的所有浸入都是正则同伦的。他的结果表明，二维球面到三维空间的标准嵌入与对径嵌入是正则同伦的，这等价于说球面可以被翻转（everted），即内外翻转。然而，根据斯梅尔论文中的论证来构造球面翻转过程似乎过于复杂。
1960年代初，阿诺德・夏皮罗（Arnold Shapiro）想出了一种翻转球面的方法，但从未发表。他将自己的方法告诉了莫兰，而莫兰当时也在独立发展类似的想法。物理学家马塞尔・弗罗伊萨尔（Marcel Froissart）也对这个问题感兴趣，并向莫兰提出了一个关键的简化建议 —— 正是为了与弗罗伊萨尔合作，莫兰制作了那些黏土模型。1967年，莫兰首次展示了实现球面翻转的同伦过程。
伯纳德·莫林（Bernard Morin）与斯图尔特·迪克森（Stewart Dickson）的一件模型合影，摄于2000年9月在法国莫伯日举行的国际艺术与数学研讨会。
照片由伊利诺伊大学的约翰・M・沙利文（John M. Sullivan）提供
加州大学伯克利分校的查尔斯・普格（Charles Pugh）利用莫兰黏土模型的照片，制作了翻转过程不同阶段的铁丝网模型。根据普格模型的测量数据，诞生了1976年著名的电影《球面内外翻转》（Turning a Sphere Inside Out）。这部电影由如今任职于劳伦斯利弗莫尔国家实验室（Lawrence Livermore National Laboratory）的数学家纳尔逊・马克斯（Nelson Max）创作，是当时计算机图形学的杰作。莫兰实际上有两种不同的球面翻转方案，起初他并不确定电影中呈现的是哪一种。他询问了一些看过电影的同事，但 “没人能回答，” 他回忆道。
自马克斯的电影问世以来，人们又开发出了其他球面翻转方案，并制作了新的演示影片。威廉・瑟斯顿（William Thurston）提出了一种方案，将斯梅尔最初的证明转化为构造性方法，这一过程被收录在几何中心（Geometry Center）制作的电影《由外而内》Outside In 中 [OI]。
另一套方案源于马萨诸塞大学阿默斯特分校的罗布・库斯纳（Rob Kusner），他提出可以用能量最小化方法生成莫兰的翻转过程。库斯纳的想法被伊利诺伊大学的数学家约翰・M・沙利文（John M. Sullivan）、乔治・弗朗西斯（George Francis）和斯图尔特・利维（Stuart Levy）收录在1998年制作的电影《最优宇宙》The Optiverse 中 [O]。
雕塑家兼图形动画师斯图尔特・迪克森利用《最优宇宙》的数值数据，为一个名为 “触觉数学”（Tactile Mathematics）的项目制作了翻转过程不同阶段的模型 —— 该项目的目标之一是为盲人创造几何物体模型。2000年9月，在法国莫伯日举行的国际艺术与数学研讨会上，这些最优宇宙模型中的一部分被赠予莫兰，如今陈列在他的客厅里。
莫兰的失明非但没有削弱他非凡的可视化能力，反而可能有所增强。他指出，失明等残疾会强化人的天赋和缺陷，因此 “残疾人身上的反差会更加鲜明”。莫兰认为数学想象力有两种类型：一种是他所说的 “时间型”（time-like），通过一系列步骤处理信息，这种想象力使人能够进行冗长的计算。“我从来都不擅长计算，” 莫兰说，而失明加剧了这一短板。他擅长的是另一种 “空间型”（space-like）想象力，能够一次性理解所有信息。
可视化几何物体的难点之一在于，人们往往只能看到物体的外部，而内部可能非常复杂。通过同时仔细思考两个方面，莫兰练就了从外部切换到内部、或从一个 “空间” 进入另一个 “空间” 的能力。这种空间想象力似乎更少依赖视觉体验，更多依赖触觉感受。“我们的空间想象力是通过操控物体形成的，” 莫兰说，“你用手去作用于物体，而不是用眼睛。因此，在物体的外部还是内部，实际上与你对物体的操作有关。” 由于习惯了触觉信息，莫兰在把玩一个手持模型几个小时后，能在多年后依然记得它的形状。
几何学：纯粹的思维活动
2001年7月，在奥伯沃尔夫冈数学研究所（Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach）的一次会议上，埃马纽埃尔・吉鲁（Emmanuel Giroux）发表了题为《切触结构与开书分解》（Contact structures and open book decompositions）的演讲，介绍自己的最新研究。尽管吉鲁失明了 —— 或许正因为如此 —— 他的演讲可能是为期一周的会议中最清晰、最有条理的。
他坐在投影仪旁，一张接一张地展示幻灯片，显然对每张幻灯片上的内容了如指掌。他用手示意性地演示了如何将一个几何物体附着到另一个物体的边界上，描述精准入微。事后，一些听众回忆起吉鲁的其他演讲，他总能极其清晰地将某些数学现象描述为像电影镜头一样演变。“在某种程度上，这是我的做事方式和风格 —— 尽量做到清晰易懂，” 吉鲁说，“但同时，我常常感到非常沮丧，因为其他数学家在黑板上讲解时，既不说明自己在做什么，也不解释写下的内容。” 因此，他的演讲之所以清晰，部分是对视力正常的同事那些难以理解、缺乏条理的演讲的一种回应 —— 那些同事凭借视觉优势，可以敷衍了事。
吉鲁11岁时失明。他注意到大多数盲人数学家都在或曾在几何学领域工作。但为什么是几何学 —— 这个最依赖视觉的数学分支？“因为它是纯粹的思维活动，” 吉鲁回答。他解释说，例如在分析学中，人们必须进行计算，逐行跟踪进度。这在盲文里很难实现：书写时需要在纸上打孔，阅读时则要翻转纸张触摸孔洞。因此，冗长的计算序列很难跟踪记录（不过，随着可刷新盲文显示器等 “无纸书写” 工具的发展，这种负担未来可能会减轻）。相比之下，“在几何学中，信息非常集中，是可以记在脑子里的，” 吉鲁说。他脑海中记住的东西相当神秘 —— 不一定是图像，他说图像只是表示数学物体的一种方式，而非思考它们的方式。
在 [So] 中，阿列克谢・索辛斯基（Alexei Sossinski）指出，许多盲人数学家从事几何学研究并不奇怪。视力正常人的空间能力基于大脑分析视网膜上投射的三维世界的二维影像，而盲人的空间能力则基于大脑分析通过触觉和听觉获得的信息。在这两种情况下，大脑都会根据感官信息创建灵活的空间表征方法。
索辛斯基指出，对恢复视力的盲人的研究表明，感知某些基本拓扑结构（如物体有多少个孔）的能力可能是与生俱来的。“因此，一个恢复视力的盲人起初无法区分正方形和圆形，” 索辛斯基写道，“他只能看到它们的拓扑等价性。但另一方面，他能立即看出环面和球面是不同的。” 在一次私下交流中，索辛斯基还指出，视力正常人有时会对三维空间产生误解，因为空间在视网膜上的二维投射是不充分且具有误导性的。“盲人（通过其他感官）对空间有着未被扭曲的、直接的三维直觉，” 他说。
正如 [Ja] 中所指出的，人们对空间能力的研究有着悠久的历史，至少可以追溯到柏拉图时期。柏拉图认为，所有人无论失明与否，理解空间关系的能力都是相同的。笛卡尔在《谈谈方法》（Discours de la méthode，1637年）中，基于视障人士通过触觉学习形状的能力，提出创建心理表征框架的能力是与生俱来的。
18世纪末，狄德罗（Diderot）曾让盲人参与他的研究，得出结论：人们仅通过触觉就能很好地感知三维物体。他还发现，尺度变化对盲人来说几乎不成问题，他们 “能够在脑海中放大或缩小形状。这种空间想象力通常包括回忆和重组触觉感受 [Ja]。” 近几十年来，许多研究致力于探究盲人的空间能力。普遍观点认为，盲人的空间能力比视力正常人更弱或效率更低。然而，[Ja] 中呈现的研究对此提出了挑战，似乎表明在许多日常任务（如记忆行走路线）中，盲人和视力正常人的空间能力是相同的。
分析学的挑战
劳伦斯・巴格特（Lawrence Baggett）
并非所有盲人数学家都是几何学家。尽管分析学对盲人构成了巨大挑战，但仍有一些盲人分析学家，例如劳伦斯・巴格特（Lawrence Baggett） —— 他已在科罗拉多大学博尔德分校任教35年。巴格特5岁时失明，小时候就喜欢数学，发现自己能在脑海中完成很多计算。他从未学过标准的长除法算法，因为在盲文中执行起来太繁琐。相反，他摸索出了自己的除法方法。当时盲文教材很少，所以他依靠母亲和同学为他朗读。起初，他计划成为一名律师，“因为那时候盲人通常都做这个”。但进入大学后，他决定学习数学。
巴格特说自己在几何学方面从未表现出色，也无法轻松可视化复杂的拓扑物体。但这并非因为他失明 —— 他说，例如在可视化四维球面时，“我不知道视力正常怎么会让这件事变得更容易”。做数学时，他有时会在脑海中勾勒公式和示意性的图像。思考问题时，他偶尔会做盲文笔记，但并不频繁。“我试着大声说出来，” 他解释道，“我经常踱步，自言自语。” 与视力正常的同事合作很有帮助，因为同事可以更轻松地查阅参考文献或弄清楚某个符号的含义；否则，巴格特说，与他的合作与两位视力正常的数学家之间的合作并无不同。但如果需要走到黑板前画图或做简单计算呢？“他们也会让我这么做！” 巴格特笑着说。合作者只需用语言描述黑板上的内容即可。
巴格特并不认为自己的脑力计算能力有多非凡。“我觉得视力正常的数学家也能在脑海中完成很多计算，” 他说，“只是在纸上写写画画更方便。” 有一个故事可以说明这一点。在一个隆冬时节，巴格特在波兰参加一场会议，演讲厅的灯光突然熄灭，一片漆黑。尽管如此，演讲者说他会继续。“他真的做了积分和傅里叶变换，大家都能跟上，” 巴格特回忆道，“这证明了一个道理：你不需要黑板，它只是一个方便的工具。”
盲人数学教授必须想出创新的教学方法。有些人在黑板上写字时，第一行写在视线高度，下一行写在嘴巴高度，再下一行写在脖子高度，依此类推。巴格特也使用黑板，但更多是为了控制讲课节奏，而非系统地传递学生需要记录的信息。事实上，他告诉学生不要抄录他写的内容，而是记下他说的话。“我的板书只是试图让这门课尽可能接近正常的讲座，” 他说，“很多学生意识到在我的课上必须用不同的方式学习，而且他们确实做到了。” 他用 TEX 软件出考题，还制作了包含作业题和其他信息的网页。批改作业时，他可以请评分员帮忙，“但这样会失去个人反馈”，所以他采用了多种方式，例如让学生口头汇报自己的作业。显然，巴格特对教学的投入和对学生的关心，克服了残疾带来的任何限制。
交流方式
1950年代，诺韦尔托・萨利纳斯（Norberto Salinas）在阿根廷长大，他 10 岁时失明。和巴格特一样，他发现当时人们认为盲人最适合的职业是法律。因此，没有数学和物理方面的盲文资料。但他的父母会为他朗读并录制材料。他的父亲是一名土木工程师，向布宜诺斯艾利斯大学的数学和物理界朋友询问儿子是否可以参加大学入学考试。萨利纳斯获得满分后，大学同意录取他。伦敦帝国理工学院的爱德华多・奥尔蒂斯（Eduardo Ortiz）曾在布宜诺斯艾利斯大学为萨利纳斯的一门分析学课程监考，他在 “数学史”（Historia-Mathematica）在线讨论组中关于盲人数学家的话题里回忆道，萨利纳斯通过在奥尔蒂斯的手掌上画图来传递图形信息 —— 后来，奥尔蒂斯在帝国理工学院教盲人学生时也采用了这种方法。萨利纳斯曾在秘鲁教过一段时间数学，之后前往美国，在密歇根大学获得博士学位。如今，他是堪萨斯大学的教员。
萨利纳斯说，他经常将录音材料翻译成盲文，这一步骤有助于他吸收知识。他为数学符号设计了自己的盲文编码版本，并在1960年代协助设计了西班牙盲文中数学符号的标准编码。在美国，盲文中数学符号的标准编码是内梅斯编码（Nemeth code），由亚伯拉罕・内梅斯（Abraham Nemeth）在1940年代开发 —— 内梅斯是一名盲人数学家和计算机科学教授，现已从底特律大学退休。
内梅斯编码使用普通的六点盲文编码来表示数字和数学符号，通过特殊标记将数学内容与文学内容区分开。标准盲文显然并非为专业材料设计，因为它甚至无法表示最常见的专业符号；就连整数也必须用字母编码表示（a=1，b=2，c=3 等）。内梅斯编码学习起来可能很困难，因为在文学盲文中表示某一含义的字符，在数学盲文中可能有不同的含义。尽管如此，它在帮助盲人（尤其是学生）获取科技资料方面发挥了极其重要的作用。
萨利纳斯和俄勒冈州立大学的盲人物理学家约翰・加德纳（John Gardner）开发了一种名为 GS8 的新编码，使用八个点而非通常的六个点。新增的两个点专门用于数学符号，使得能够表示 255 个字符，而标准盲文只能表示 63 个。此外，GS8 的语法基于 LATEX，使得 GS8 文档与 LATEX 文档之间的相互转换成为可能。
图源：Wikipedia
计算机为盲人开辟了全新的交流天地。屏幕阅读器程序（如 Jaws 或 SpeakUp）利用语音合成器将屏幕上的文本转换为语音。不幸的是，这些程序通常无法很好地处理包含数学符号的文本，因此一些盲人数学家只使用它们阅读电子邮件或浏览网页（由于网页大量使用图形，这对盲人来说变得越来越复杂）。
康奈尔大学的盲人计算机科学家 T・V・拉曼（T. V. Raman）开发了一个名为 AsTeR 的程序，它接收 TEX 文件作为输入，输出包含文档（包括数学内容）语音合成的音频文件。加德纳开发了一个名为 TRIANGLE 的程序，其语音合成器比 AsTeR 更基础，还包含一个在 LATEX 和 GS8 编码之间转换的程序。
有些盲人数学家实际上直接阅读 TEX 源文件；吉鲁就是通过可刷新盲文触摸屏来阅读的。他说，听论文的音频录音更舒适，但在录制之前，他想先知道这篇论文是否真的让他感兴趣。阅读 TEX 文件能让他快速直接地获取文档。当然，TEX 文件本是供计算机阅读的，而非人类，因此既繁琐又冗长。尽管如此，吉鲁说，通过电子预印本服务器和期刊可以轻松获取这些文件，这对他跟踪最新研究进展的能力来说是 “巨大的进步”。书籍比论文更成问题：尽管 TEX 是出版数学书籍的标准方式，但从出版商那里获取 TEX 文件并非易事。
盲人可及的数学
不难理解，那些对数学知之甚少的善意人士可能会认为，这门学科的专业符号会给盲人带来难以逾越的障碍。但事实上，在某些方面，数学对盲人来说比其他职业更容易接触。原因之一是数学需要的阅读量更少 —— 与其他类型的写作相比，数学写作更为简洁。“在数学中，” 萨利纳斯指出，“你读几页就能获得很多思考的素材。”
此外，盲人往往对数学那富有想象力的柏拉图式领域有着天然的亲和力。例如，莫兰说，视力正常的学生通常接受的教育是，当他们思考两个相交的平面时，会将平面视为画在纸上的二维图像。“对他们来说，几何学就是这些图像，” 他说，“他们无法理解平面在自然空间中的真实存在。” 由于盲人学生不依赖绘图，他们自然会以抽象的方式思考平面。
目前最著名的美国盲人数学家可能是扎卡里・J・巴特勒（Zachary J. Battles），他的非凡故事甚至登上了《人物》杂志。巴特勒几乎一出生就失明，3 岁时从韩国孤儿院被收养，后来在宾夕法尼亚州立大学获得了数学学士学位、计算机科学学士和硕士学位。他还曾两次前往乌克兰教授英语作为第二语言，并担任其他残疾学生的导师。如今，他凭借罗德奖学金（Rhodes Scholarship）在牛津大学攻读数学硕士学位。和许多其他盲人数学家一样，巴特勒激励着无论是视力正常还是失明的人。
—— 艾琳・杰克逊（Allyn Jackson）
原文参考文献
[A] P. S. 亚历山德罗夫（P. S. ALEKSANDROV）、V. G. 博尔强斯基（V. G. BOLTYANSKII）、R. V. 加姆克雷利泽（R. V. GAMKRELIDZE）、E. F. 米申科（E. F. MISHCHENKO），《列夫・谢苗诺维奇・庞特里亚金（六十华诞）》Lev Semenovich Pontryagin (on his sixtieth birthday），《俄罗斯数学文摘》Russian Math. Surveys 23（6）（1968），143–152。
[FM] 乔治・K・弗朗西斯（GEORGE K. FRANCIS）、伯纳德・莫兰（BERNARD MORIN），《阿诺德・夏皮罗的球面翻转》Arnold Shapiro’s eversion of the sphere，《数学情报员》Mathematical Intelligencer 2（1979/80），第 4 期，200–203。
[H] 布赖恩・海斯（BRIAN HAYES），《论数学》Speaking of mathematics，《美国科学家》American Scientist，1996 年 3–4 月，文中描述了 T・V・拉曼的 AsTeR 程序。
[I] 霍斯特・伊比希（HORST IBISCH），《路易・安托万的数学成就及其影响》L’œuvre mathématique de Louis Antoine et son influence，《数学博览》Exposition. Math. 9（1991），第 3 期，251–274。
[Ja] R. 丹尼尔・雅各布森（R. DANIEL JACOBSON）、罗伯特・M・基钦（ROBERT M. KITCHIN）、雷金纳德・G・戈利奇（REGINALD G. GOLLEDGE）、马克・布莱兹（MARK BLADES），《重新思考盲人空间能力理论》Rethinking theories of blind people’s spatial abilities，可访问网址：http://garnet.acns./~djacobso/haptic/nsf-und/3theory.PDF 。
[Ju] 加斯东・朱利亚（GASTON JULIA），《路易・安托万讣告》Notice nécrologique sur Louis Antoine，《巴黎科学院院报》Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris，第 272 卷（1971年3 月8日），学术版，71–74 页。
[MP] 伯纳德・莫兰（BERNARD MORIN）、让 - 皮埃尔・珀蒂（JEAN-PIERRE PETIT），《球面翻转》Le retournement de la sphère，《科学》Pour la Science 15（1979），34–49 页。
[OI] 《由外而内》Outside In，网址：http://www.geom./locate/oi 。
[O] 《最优宇宙》The Optiverse，网址：http://new.math./optiverse/ 。
[P] 安东尼・菲利普斯（ANTHONY PHILLIPS），《曲面内外翻转》Turning a surface inside out，《科学美国人》Scientific American，1966 年 5 月。
[So] 阿列克谢・索辛斯基（ALEXEI SOSSINSKI），《纽结：数学理论的起源》Noeuds: Genèse d’une Théorie Mathématique，瑟伊出版社（Seuil），1999年。
[St] 斯蒂芬・M・斯蒂格勒（STEPHEN M. STIGLER），《谁发现了贝叶斯定理？》Who discovered Bayes’s theorem?，《美国统计学家》Am. Stat. 37（1983），290–296。
[Str] 德克・J・斯特鲁伊克（DIRK J. STRUIK），《数学简史》A Concise History of Mathematics，多佛出版社（Dover），1987年。
参考资料 |
|---|
https://www./notices/200210/comm-morin.pdf
https://en./wiki/Gardner%E2%80%93Salinas_braille_codes
小乐数学科普：Unicode 15.1最新发布，看看有哪些数学符号可以直接打出来并轻松复制粘贴
小乐数学科普近期文章 |
|---|
小乐数学科普：2026新年好！一起看看2026这个数字的奇妙之处
· 开放 · 友好 · 多元 · 普适 · 守拙 ·
让数学
更加
易学易练
易教易研
易赏易玩
易见易得
易传易及
欢迎评论、点赞、在看、在听
收藏、分享、转载、投稿