八阶二面体群（即正四边形的对称群 D4 ）的矩阵表示

八阶二面体群（即正四边形的对称群 D4）的矩阵表示可以通过平面上的线性变换得到。

1. 几何设定

考虑正方形放置在二维平面上，中心位于原点，顶点位于 (±1,±1)（或单位圆上的点）。

对称性包括绕原点的旋转和关于过原点直线的反射（翻转）。

群 D4有 8 个元素：

• 4 个旋转：恒等旋转、逆时针旋转 90°、180°、270°。
• 4 个反射：关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、直线 y=−x的反射。

2. 旋转矩阵

绕原点逆时针旋转角度 θ 的线性变换矩阵为：

D4的旋转角度：

• θ=0：恒等旋转

θ=2π（90°）：

θ=π（180°）：

θ=3π/2（270°）：

3. 反射（翻转）矩阵的推导

关于过原点且与 x 轴夹角为 φ的直线进行反射的线性变换矩阵为：

反射变换等价于旋转 −φ将反射轴对齐到 x 轴，进行关于 x 轴的反射，再旋转 φ 回去，即

S(φ)=R(φ)⋅Sx⋅R(−φ)，其中 Sx是关于 x 轴的反射矩阵。

D4 的反射轴角度：

关于 x 轴（φ=0）：

关于 y 轴（φ=π/2）：

关于 直线 y=x（φ=π/4）：

关于 直线 y=−x（取 φ=−π/4或 3π/4，这里用 φ=3π/4：

4.八个矩阵

这些矩阵构成了 D4的一个忠实表示（矩阵群），与二面体群同构。

5.验证群结构

上述八个矩阵在矩阵乘法下构成一个群，满足 D4的群关系：

共轭的严格定义

设 G 是一个群，g,h∈G。

如果存在某个 x∈G使得

则称 h 与 g 共轭。运算 g↦xgx−1称为由 x作用的共轭作用

由于在二面体群中，反射是对合（即 Sx−1=Sx），所以

结果等于 R270，因此 是 R90通过 Sx的共轭。也就是说，R90 和 R270属于同一个共轭类（尽管在 D4中，所有 90° 和 270° 旋转一般不共轭于 180° 旋转，但在某些群中需具体分析）。
先作用 Sx：关于 x 轴反射，将正方形翻转到“上下颠倒”的状态。

接着作用 R90：在颠倒的状态下逆时针旋转 90°。

最后再作用 Sx：再次关于 x 轴反射，将正方形翻转回原来的方向。

整体效果：相当于直接在原始方向上顺时针旋转 90°（即逆时针旋转 270°）。
这是因为两次反射“夹”一个旋转，相当于改变了旋转的方向。更一般地，对于任何旋转 Rθ 和反射 S（关于过中心的直线），有反射将角度 θ映射为 −θ。

群作用：共轭作用可以看作群在自身上的作用（伴随作用），其轨道就是共轭类。

共轭关系的代数性质

保持群结构：共轭作用是一个自同构，即映射 ϕx:g↦xgx−1是 G到自身的同构。

划分共轭类：群 G 的元素被划分为若干共轭类，同一类中的元素具有相同的代数性质（例如阶相同、在表示理论中有相同的特征标等）。

正规子群：正规子群的定义正是“对共轭作用封闭”，即如果 N是正规子群，则对任意 n∈N,g∈G，有 gng−1∈N。