2025-10-07 21:25
事情得从一个看似平平无奇的问题说起：
“我测了一堆数据，结果全都不准，咋办？”
这不是你交实验报告前的内心呐喊，而是200多年前天文学家的真实烦恼。 当时没有GPS、没有计算器，连Excel都没得骂，但科学家们已经要靠观测星星来算地球在哪、彗星往哪飞……问题来了：
他们发现：无论怎么测，数据总在“乱抖”。 好像老天爷一边给你答案，一边眨眼睛说：“逗你玩呢～”
于是人类开始思考一个哲学级问题：
怎么从一堆互相打架的测量值里，找出最靠谱的那条’真理之路’？
这场追寻“真相”的大戏，就此拉开帷幕。
第一幕：法国才子登场，豪言“我来拟合宇宙！”
1795年左右，法国（浪漫国度，数学不浪）阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre）,一位低调但业务能力炸裂的数学家。
阿德里安-马里·勒让德
他正在研究彗星轨道——这活儿就像用几张模糊照片还原一个高速飙车的电驴去向，难！
面对满纸杂乱的数据点，他灵光一闪：
“要不咱别纠结哪个点对哪个点错，干脆找一条线，让所有点到它的’偏差平方和’最小？” ——也就是：不让任何一点过分离谱，大家集体妥协，求个’最小后悔值’。”
最小二乘
于是，他提出了后来震惊世界的方法：
最小二乘
他还非常认真地把这方法写进了1805年出版的一本小册子，名字直白得令人发笑：
《关于测定彗星轨道的新方法附录》 ——听起来像极了“家常菜做法分享”。
可问题是…… 书刚印完，他就发现：自己好像不是第一个想到的人！
第二幕：高斯突然跳出：“这事我五年前就干过！”
没错，另一位重量级选手出场了—— 卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss），数学界的“六边形战士”：会物理、懂天文、能算星轨，顺手还推翻了几何学。
卡尔·弗里德里希·高斯
他在1794年（比勒让德还早一年！）就说自己用最小二乘法预测了小行星谷神星的轨道，精准到令人怀疑他会魔法。
但问题是——
高斯啥时候说的？五年后。
有论文吗？没有。
证据呢？他说：“我脑子记得。”
这操作堪称科学史上的经典嘴炮：
“我不是没发论文，我是懒得发。” （然后继续喝茶）
于是学术圈炸锅了： 到底是勒让德首创？还是高斯早慧但拖稿成性？
两位大佬互不相让，差点掀起“法德数学战争”。
最后结论是：
✅ 勒让德：第一个公开发表最小二乘法的人（功劳实锤）
✅ 高斯：可能第一个使用它的人（脑洞先行）
所以这事儿就像你发明了个APP，刚上线，隔壁学霸站出来说：“哎，这个想法我初中草稿本上就有了……”
第三幕：误差理论上线，统计学正式封神
最小二乘法一开始只是个“拟合技巧”，但高斯不服气，他非要给它找个“身份证”——
于是他搬出了正态分布（也叫高斯分布）：
正太分布
点击链接可直接操作正态分布：Calculator Suite – GeoGebra
“如果误差是随机的、对称的、小错误多、大错误少——那最小二乘法不仅是经验技巧，更是概率意义上最合理的估计方式！”
一句话总结：
当误差服从正态分布时，最小二乘 = 最大概率逼近真相。
这就像是给最小二乘法披上了“科学圣衣”—— 从此它不再是“拍脑袋取平均”，而是有理论支撑的统计基石。
小插曲：法国人拉普拉斯（又一位大佬）也独立给出了类似证明，三人组直接凑齐“最小二乘铁三角”。
名字由来：为什么叫“最小二乘”？
这个名字听上去像是餐厅里的黑暗料理，其实很接地气：
- “二乘” = 平方（x² 叫“二乘”）
- “最小” = 我们要让它最小
我们不是简单加误差（+3 和 -3 抵消变成0，假装完美），而是先把每个误差平方（避免正负抵消），再加起来，然后让这个总和最小。
比如：
- 误差1：+2 → 平方 = 4
- 误差2：-1 → 平方 = 1
- 总“惩罚值” = 5
你要做的？调参数，让这个“平方和”尽可能小！
所以最小二乘 = 数学界的“不能犯错太多，谁错得多罚谁”制度。
它改变了什么？
今天，最小二乘法已经渗透到你生活的方方面面：
- 老师画趋势线：✔️ 用最小二乘
- 回归分析跑模型：✔️ 底层还是它
- 机器学习入门课：第一天就教你这玩意儿
- 甚至连你刷抖音推荐视频，背后都藏着它的影子（高级版而已）
可以说：
没有最小二乘法，就没有现代数据分析。 它是统计学的“第一道光”，照亮了从混乱中寻找规律的道路。
彩蛋：这场发明权之争的结局？
- 勒让德一直耿耿于怀，觉得自己被高斯“蹭了功劳”。
- 高斯名声太大，很多人只记得他。
- 但历史最终公正：现在学术界公认——
- 勒让德是第一个发表者，应享有命名优先权。
如今，有些教材干脆写成：“勒让德–高斯方法”， ——相当于颁奖词写着：“创意来自法国，包装来自德国，掌声大家一起拿。”
最后总结：一句话记住最小二乘法
当你面对一团乱麻的数据时，最小二乘法告诉你： 别吵了，咱们折中一下，谁也别太离谱，一起靠近那条最温柔的直线。
它不是神谕，却让人类第一次学会了—— 在不确定的世界里，用数学温柔地逼近真相。
故事讲完，掌声送给那个敢于“算平方”的勇气。