微精选

第 七 十 二 课

用袖珍乘法表帮助小学生

轻松学习勾股定理和三角函数

亲爱的家长朋友们，在孩子的学习之路上，数理化常常被视为难以跨越的大山。尤其是微积分，不少中学生乃至大学生都对其望而却步，觉得复杂高深。但您知道吗？其实，学习数理化的关键密码，早在小学阶段就已埋下。

乘法表，这个孩子们早早接触的数学工具，看似简单，实则隐藏着大量数学核心秘密。当孩子熟悉乘法表结构后，从 1×1 到 5×5 的简化微型乘法表，能成为理解勾股定理和正弦函数的神奇钥匙。掌握勾股定理，就如同掌握了开启三角函数与微积分大门的关键。

想象一下，您的孩子在小学阶段就能轻松理解勾股定理，那未来学习数理化的道路将会多么顺畅。而现在，有一个绝佳的方式能助力孩子踏上这条轻松学习数理化的旅程——英语原版教材。

使用英语原版教材，孩子不仅能学习数理化知识，还能同步提升英语能力。教材中原汁原味的表达、独特的思维方式，能为孩子打开全新的学习视野。和孩子一起，借助这些教材，利用好乘法表这个小秘密武器，从理解勾股定理开始，让数理化学习不再困难。相信在您的陪伴下，孩子定能在数理化的知识海洋中自在遨游，收获满满。

请家长朋友耐心帮助孩子认真理解：

【英语】This line is called the leading diagonal. The answers on either side of the line are mirror images of each other.”

【汉语】这条线被称为主对角线。这条线两侧的答案是彼此的镜像。

分解一下：

【英语】This line is called the leading diagonal.

【汉语】这条线被称为主对角线。

This line(这条线)是指截图中那条红线。它所经过的是1~12的平方数。

【英语】diagonal[daɪˈæɡən(ə)l]adj.1.对角线的2. 斜的n.1. 对角线，对顶线

The two diagonals of a square cross in the centre.

正方形两条对角线交于正方形的中心。

2. 斜线

拆解：dia(表“穿过”)+gon（表“角”）+al（源自拉丁语形容词后缀-alis）

“diagonal” 这个单词来源于希腊语 “diagonios”，由 “dia –”（表示 “穿过”“通过”）和 “gonia”（表示 “角”）组成，字面意思是 “穿过角的线”。

在几何图形中，矩形的对角线就是从一个角的顶点穿过矩形到达另一个相对角顶点的线，它将矩形分成了两个直角三角形，而这条对角线恰好就是这两个直角三角形的斜边。所以从词源角度看，“diagonal” 很好地描述了矩形对角线的位置和特征，即它是一条穿过矩形两个对角，并且在相应直角三角形中充当斜边的线。后来这个词的含义被扩展到其他多边形中类似的连接两个不相邻顶点的线段。

如果我们把乘法表的结构看着是一个正方形，从对角线分开，就可以得到2个直角三角形。注意：长方形和正方形的对角线，其实就是相应的直角三角形的斜边（Hypotenuse），在中国古代叫“弦”。

【英语】The answers on either side of the line are mirror images of each other.”

【汉语】这条线两侧的答案是彼此的镜像。

英语的mirror image表“镜像”。

【英语】mirror[ˈmɪrə(r)]n.1. 镜子

She looked at herself in the mirror.她照镜子。

The driver saw the police car following him in his side mirror.

驾驶员从旁镜中看到了警车在跟踪他。

2. （忠实的）写照

the mirror of public opinion

民意的忠实代表

vt.映出；反射出

The election results mirror public opinion quite well. (喻)

选举结果比较充分地反映了公众的意见。

拆解：mir+r+or

请家长朋友记重点：英语中用到-or（英式-our，法语-eur）的单词基本上都是直接使用拉丁语的形式。请顺便熟悉color（颜色），humor（幽默），rumor（谣言），tumor（肿瘤），mirror（镜子），error（错误）。

【英语】image[ˈɪmɪdʒ]n.1.（心中的）影像2. 翻版；化身

to be image of sb.酷似某人

He’s the very image of his father.他活象他的父亲。

3. 直喻；隐喻

4. 印象；表象

5. 映像；影像

He saw the image of his face in the mirror.他在镜子里看到了他的脸。

拆解：im+age（法语名词后缀）

在此基础上记忆imagine应该不是难事。

【英语】magine[ɪˈmædʒɪn]vt.  -gined, -gining1. 想象

Imagine you’ve been shipwrecked.

想象你遭遇到了船舶失事。

Try to imagine a jet which is more than seventy meters long and more than five stories high at the tail.

“试着想像一下一架喷气式飞机长七十多米,尾部比五层楼还要高。“

2. 以为；假想

I imagine him as a big tall man.

我以为他是个高大的人。

He imagines that people don’t believe him.

他总是认为人们不信任他。

拆解：im+ag+ine

请家长朋友一定要告诉孩子：汉语中的“虚数”，对应英语的“imaginary number”。

【英语】imaginary[ɪˈmædʒɪnərɪ; (US) ɪˈmædʒənerɪ]adj.1. 想象的；虚构的

He told a story about an imaginary land.

他讲了一个关于虚构的地方的故事。

2. 〈数〉虚数的

拆解：im+ag+in+ary（源自拉丁语形容词后缀-arius等）

下面的内容有些烧脑，但强烈建议家长朋友能耐心地帮助孩子通过多接触正确理解：

小朋友们，你们知道 “imaginary number” 这个词吗？它呀，中文叫 “虚数”。我们先来看 “imaginary” 这个词，它来自于 “imagine”，就是 “想象” 的意思哦。

那为什么叫虚数呢？因为我们平常数数，像 1、2、3 这些数字，都可以用来数东西，比如 1 个苹果、2 本书，它们是很真实的数字。但是呢，有些数字不太一样，它们不像我们平常看到的数字那样可以直接数东西，好像是我们想象出来的一样。

比如说，我们都知道一个数的平方是不可能是负数的，就像 2 的平方是 4，3 的平方是 9。可是如果有个数字，它的平方是 -1，这在我们平常的数字里是找不到的呀，所以人们就想象出了这样一个数字来表示它，这就是虚数啦，就好像是在我们的想象中存在的数字一样，所以就叫 “imaginary number” 啦。

小朋友们，你们已经知道数字有很多种，像 1、2、3 这些是我们经常用的数字，可以用来数苹果、数铅笔。但是呢，还有一种很特别的数字，叫虚数，虚数里面有个很重要的东西叫虚数单位 “i”。

我们平常知道，任何一个数乘以自己，也就是这个数的平方，都是一个正数或者 0 哦。比如说，2 乘以 2 等于 4，0 乘以 0 等于 0。可是呢，有个问题难住了大人们，什么数乘以自己会等于 -1 呢？在我们平常的数字里找不到这样的数呀。

后来，大人们就想出了一个办法，他们创造了一个特殊的符号 “i”（“imaginary number”的第一个字母），规定 “i” 乘以 “i” 就等于 -1。这个 “i” 就是虚数单位啦，它就像一个小小的魔法符号，有了它，我们就能解决一些以前解决不了的数学问题啦。虽然它有点奇怪，不像我们平常的数字那样能直接数东西，但它在数学的世界里可有用啦。

请家长朋友牢记：我们的孩子如今学习的数学知识，其实都是前人在漫长的历史进程中，早已成功解决过的问题。从古代埃及人丈量土地，到古希腊学者对几何图形的探索，每一个数学理论的形成，都经过了无数次的思考与实践。既然这些难题早已被攻克，那么数学本身，根本不可能难学。

可为什么会有这么多人感觉数学难学，甚至连一些高材生，提起数学仍心有余悸？究其根本，是因为在学习过程中，很多孩子缺少像新加坡小学数学教材这样，符合人类认识自然规律的好向导。新加坡数学教材，巧妙地将抽象的数学概念与日常生活紧密结合。当学习面积计算时，教材可能会以家里客厅的地毯铺设为例子，让孩子直观地感受到面积的概念；在讲解分数时，会借助分披萨的场景，让孩子轻松理解分数的本质。

反观部分传统教学模式，孩子们学习的并非真正 “活” 的数学，而是一大堆脱离实际的抽象概念。孩子们被要求死记硬背公式，却不理解公式背后的原理。比如，在学习勾股定理时，如果只是单纯记住 “a² + b² = c²”，而没有通过测量、拼接直角三角形等实践活动，孩子很难真正理解这个定理。

家长朋友们，让我们为孩子选择更科学的学习材料，帮助他们打破对数学的恐惧，真正领略数学的魅力。只要引导得当，每个孩子都能轻松敲开数学的大门 ，在数学的广阔天地中自在遨游。

勾股数，是指满足勾股定理的正整数组。勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。从数学史的角度来看，3，4，5 是最小的一组勾股数，原因如下：

历史悠久：在古代文明中，许多国家和地区都发现了勾股定理的相关知识，而 3，4，5 这组勾股数是最早被人们广泛认识和应用的。例如，古埃及人在建造金字塔时，就利用了 3，4，5 这组勾股数来确定直角。他们通过用绳子打结的方式，将绳子分成 12 等份，然后以 3 份、4 份、5 份为边长围成一个三角形，这个三角形就是直角三角形，从而保证了建筑物的直角墙角。

简单直观：3，4，5 这三个数都是较小的正整数，容易被人们理解和计算。相比于其他勾股数，如 5，12，13 或 7，24，25 等，3，4，5 的数值更小，组合更简单，更适合初学者理解勾股定理的概念。而且，在整数范围内，比 3 更小的正整数 1 和 2，无法与其他正整数构成满足勾股定理的组合。所以，3，4，5 是最小的一组能构成直角三角形的正整数组，即最小的一组勾股数。

基础重要：3，4，5 这组勾股数是勾股数家族中的基础成员，许多其他勾股数都可以通过它来推导或构造。例如，将 3，4，5 分别乘以 2，得到 6，8，10，这也是一组勾股数；乘以 3 得到 9，12，15，同样是勾股数。这种倍数关系在数学中具有重要意义，它体现了勾股数的一种规律，也说明了 3，4，5 这组勾股数的基础性和重要性。

一切学习的核心任务都是正确理解，用死记硬背的办法记忆抽象概念，就像是在吃带壳的核桃。

小朋友们，今天我们来认识一下微积分里的导数。导数呀，是一个很有趣又很有用的数学概念哦。

导数是什么

想象一下，你在坐过山车，过山车在轨道上跑来跑去，速度一会儿快一会儿慢。导数呢，就好像是一个专门用来测量过山车在每个时刻速度变化的小工具。比如说，在某一个瞬间，过山车跑得特别快，那这个瞬间的导数就会比较大，表示速度变化得比较快；如果过山车在某个地方慢慢悠悠的，那这个时候的导数就比较小，说明速度变化得比较慢。

在数学里，导数就是用来描述一个函数在某一点上变化快慢的程度。函数就像是一个会变魔术的盒子，你给它一个数，它就会变出另一个数来。而导数呢，就是看看这个魔术盒子里的数变化得有多快。

导数有什么用

• 帮助我们了解函数的变化趋势：就像我们通过导数能知道过山车的速度变化一样，通过函数的导数，我们可以知道函数是在上升还是在下降，以及上升或下降得有多快。如果导数是正数，那就说明函数在这个地方是上升的，就像过山车在爬坡往上走；如果导数是负数，函数就是在下降，就像过山车在往下冲啦。

• 解决很多实际问题：在生活中，导数的用处可大了。比如，工程师们在设计汽车的时候，要知道汽车的速度是怎么随着时间变化的，这就需要用到导数来计算。还有，科学家们研究物体的运动、经济学者分析经济数据的变化趋势等等，都会用到导数这个厉害的工具呢。

小朋友们，虽然导数这个概念有点难，但是只要你们慢慢学习，多思考，就会发现它其实很有趣，而且能帮助我们解决很多好玩的问题呢！