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在这篇短文中，我将展示如何计算拉普拉斯变换，而不需要进行任何积分——无需分部积分，也不需要替代。它是一个小巧而多功能的技巧，适用于许多情况，当你遇到难题时，它能让你从全新的角度解决问题。

这篇文章适合数学、物理或工程学的学生，尤其是那些在考试中需要一个特殊武器的人，当然，对于任何对数学感兴趣的人也有帮助。

这个想法是，首先可以将一个函数 f 展开成关于 0 的泰勒级数，然后展示 f 的拉普拉斯变换可以写成另一种级数，这在许多情况下可以转化为闭式表达式。

之所以说这种方法有点“窍门性质”，是因为我们在计算时并没有考虑级数的收敛性。但这并不意味着它是错误的。它是一种有效的方法，不过我在本文中并没有证明这一点，因为这是一个快速而简便的求解变换的方法。如果需要的话，你可以在之后证明它！

我将在接下来给出一些简单的例子，但为了确保大家都在同一页面上，我们快速回顾一下拉普拉斯变换是什么。

拉普拉斯变换

给定一个函数 f，我们定义拉普拉斯变换为：

我们假设积分是收敛的。你应该将这个变换看作是一个操作符，它接受一个函数作为输入并返回另一个函数。拉普拉斯变换之所以如此重要，是因为它将微分方程转化为多项式方程。我们还可以将其理解为将时间信号转化为其对应的（复数）频率，类似于傅里叶变换。

但与傅里叶变换不同的是，拉普拉斯变换可以处理增长非常快的函数。有如下简单结果：

这在 a<s 时是有意义的。另一个例子是，拉普拉斯变换具有以下重要性质：

这个公式非常有用，正如你将看到的那样。

因此，拉普拉斯变换非常重要！但计算起来可能相当困难。接下来，我将展示一个小技巧，当函数 f 具有泰勒级数时，如何利用这个技巧进行计算。

唯一的前提是你对一些著名的麦克劳林级数有一定了解，比如几何级数：

从现在开始，为了可读性，我们不再关注收敛性的问题。

示例

作为第一个示例，我们来计算正弦函数的拉普拉斯变换，而不进行任何积分。首先，回想一下正弦函数在 0 附近的泰勒级数：

将其展开，并大胆地使用拉普拉斯变换的线性性质，以及上述公式，我们发现：

这就给出了以 1/s 为变量的幂级数形式。现在，我们只需要找出这个级数代表的函数。为此，让我们做替换 x=1/s^2，然后我们可以将级数写成以下形式：

我们使用了麦克劳林级数，并将其中的 x 替换为 −x。为了找到正弦的拉普拉斯变换，只需再次将 s 代入即可：

实际上，这只需要大约三行，但在这个第一个例子中，我展示了每个步骤。主要的收获是，可以将拉普拉斯变换表示为 1/s 变量的级数，然后问题就转化为找到该级数的闭式表达式。

让我们尝试一个更难的问题。假设我们要计算函数 f(t)=tcos⁡(at) 的拉普拉斯变换，其中 a 是常数。将这个函数在 t=0 处展开，得到：

现在，我们只需要找出这个级数代表的内容。为此，我们可以两边同时乘以 s^2，并代入 x=a/s。得到：

然后只需再代入并简化，最终得到：

因此，我们已经得到了 tcos⁡(at)的拉普拉斯变换，而没有对任何函数进行积分！

更一般的情况

我们已经看到，如果我们有一个可以在 t=0 处展开为泰勒级数的函数 f，那么拉普拉斯变换就特别好用了，因为它接受作为输入的级数

并返回以下级数

这意味着，如果某个函数可以表示为 1/s 变量的级数，那么它很可能具有反拉普拉斯变换。反过来，我们可以利用这个来计算一些看起来相当复杂的反变换，进而可以使用这些“反变换”来计算无限级数，但我在这里不会进一步展开。