小乐数学科普：艺术家眼中的数学：激发灵感的数学对象——译自EMS Magazine欧洲数学会杂志

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本文介绍了画家雷格·阿尔康（Reg Alcorn）创作的一系列数百幅画作（https://www. ）。自2017年以来，他一直致力于创作题为《过渡》Transitions的作品，他用来确定该系列绘画结构的两个数学对象，一个是古代的，另一个是现代的，即特鲁谢（Truchet）瓷砖和乌拉姆（Ulam）螺旋。

图1. 《让所有蓝色欢欣鼓舞》，布面丙烯画，120×120厘米，雷格·阿尔康（2019年）

CC BY 4.0

本文为法译英译中，最初的原文为法文版，题为“Les mathématiques vues par un artiste: des objets mathématiques qui inspirent”，发表于《法国数学会公报》第181期（2024年7月）。

作者：Stéphane Vinatier（法国利摩日大学数学教授）

William Reginald Alcorn（法国画家）2025-5-12

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-5-16

本文标题与我们在同一期刊上发表的文章标题相呼应[19]，其中我们介绍了利摩日数学教育研究所IREM（Institute of Research on Mathematics Education）、艺术家雷格·阿尔康以及利穆赞创意科学基金会（Limousin Récréasciences）科学技术和工业文化中心CCSTI（Center for Scientific, Technical and Industrial Culture）合作的一项倡议，旨在通过艺术媒介传播数学文化：艺术史上的几个时期被用来阐明和强调数学概念（古希腊和古罗马时期与比例、阿拉伯-安达卢西亚中世纪与铺砌艺术、文艺复兴时期与透视法）。

雷格·阿尔康的艺术创作服务于这项倡议所探讨的主题，他创作的画作被用来解释所涉及的艺术和数学概念。在《过渡》系列中，艺术家颠覆了视角：他从自己所研究的数学及其历史中选取对象，并将它们用于个人艺术探索，最终创作出具有纯粹艺术目的的独特作品。（这就是为什么雷格·阿尔康被列为本文作者，这篇文章几乎完全由第一作者撰写，并且主要基于第二作者的艺术调查。）

这或许是雷格·阿尔康此前与利摩日IREM合作成果的体现，这些成果极大地丰富了参与者的数学（或科学）和艺术知识。艺术家沉浸于众多（面向公众、学生甚至研究人员的）数学作品之中，这激发了他对其中某些对象或概念的真正兴趣。以至于在经历一段成熟期后，其中两件来自截然不同时代和背景的艺术作品交织在了《过渡》系列绘画之中。

我们将在接下来的两个章节中依次描述它们，并借此机会探讨一些数学或历史方面，这些方面对于理解艺术家对它们的使用并非绝对必要，我们希望这些题外话能够引起读者的兴趣。

我们不想假装自己是历史学家，也不想只停留在数学理论的表面，我们认为通过它们的发现环境来呈现它们是一个好主意，这两种情况都令人惊讶，以展示它们是如何被理解的，以及它们与18世纪初或今天的关键数学问题有何关联。

最后，对于那些更关注艺术与数学之间联系的人来说，第1、2章节开头对这些对象的定义足以欣赏雷格·阿尔康的《过渡》系列绘画的诀窍，我们将在第3和最后章节中交代。

1. 特鲁谢（Truchet）瓷砖

我们将会看到，《过渡》系列中的第一个数学元素——特鲁谢瓷砖，本身就处于科学与艺术的交汇点。它引领我们回到组合数学发展的一个重要里程碑——当时，塞巴斯蒂安·特鲁谢神父（Father Sébastien Truchet，1657 – 1729），数学家、印刷师、“钟表匠、伟大的运河专家、无数机器（大炮、树木移植机、日晷等）包括著名的马利城堡的机械桌的发明者”[1]，对两个正方形的不同相对位置产生了兴趣，这两个正方形都分为两种颜色：给定两个相同的正方形，沿对角线分成两半，一半是白色，另一半是黑色（见图2)，它们之间有多少种排列方式？

图2. 特鲁谢瓷砖

CC BY 4.0

特鲁谢在1704年为皇家科学院撰写的一篇论文中系统地讨论了这个问题[18]。

组合学与镶嵌

在阐述他的答案之前，我们先来了解一下，特鲁谢的目标是研究用这种瓷砖制作的装饰性密铺（他在论文中提出了一些选择）。这确实是他本人在《回忆录》[18，第363页]的引言中给出的研究动机：

上次奉皇室殿下的命令前往奥尔良运河时，我在距离奥尔良四里格的拉莫特·圣莱耶城堡里发现了几块方形的彩砖，它们被一条对角线分成两种颜色，原本打算用来铺设一座小教堂和其他几个房间。为了拼凑出赏心悦目的图案和形状，我首先研究了两块彩砖有多少种拼接方式，并将它们排列成棋盘状。

这项工作似乎偶然和好奇心发挥了重要作用，使他成为镶嵌（有时也称密铺、平铺、铺砌，zzllrr小乐译注）研究史上的先驱，在19世纪和晶体学发展之前，科学家们很少进行镶嵌研究（尽管约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler，德国天文学家，1571 – 1630）是该领域非常杰出的前辈[10]）。它也基于一项组合研究，他的贡献在[16，第377页]中有所描述，如下：

特鲁谢的论文具有相当重要的意义，因为它本质上是对组合学的图形化处理，而组合学在帕斯卡、费马和莱布尼茨的影响下，是当时数学的前沿学科。

他的方法将组合学和镶嵌学联系在一起，其独创性也得到了André和Girou的强调[3，第11页]。

特鲁谢的论文

他首先提出了64种组合方式，这些组合方式是通过考虑两块不同的瓷砖而获得的：第一块瓷砖有四种可能的方向，第二块瓷砖也有，而且第二块瓷砖可以靠在第一块瓷砖的四个侧边的任意一边上。如果我们不再区分这两块瓷砖，组合数量会立即减少到32种；如果我们忽略仅因旋转而不同的瓷砖对，组合数量会进一步简化到10种。（参见[16，第384页，注释5]的讨论）这些组合和化简由[18]中的两个表格说明，如图3所示。

图3. 特鲁谢获得的组合表[18]

CC BY 4.0 图源：gallica. / 法国国家图书馆

该论文[15]除了以各种方式（数学、游戏、教育）研究特鲁谢瓷砖的传承化之外，还正确地指出，四个物体中两个物体可能重复的组合数等于10。这种等式对我们来说乍看似乎没有意义：如果我们必须从四个正方形中选择两个可能重复的正方形来形成特鲁谢考虑的图案，并且我们可以将它们排成一条线，而不管成对旋转与否，我们排列它们的顺序就很重要（ab不会产生与ba相同的结果，不管成对旋转与否），并且一些得到的图案在旋转后是相同的，例如ab和dc（a、b、c、d表示图2中特鲁谢瓷砖依次旋转四分之一圈获得的瓷砖，另见图9）。

然而，这两种效应是互相抵消的：由 (x,y)↦(y,x) 和 (x,y)↦(r(y),r(x)) 定义的{a,b,c,d}²上的对合（involution），其中r是将a变为c、将b变为d的“半转”，都有四个不动点和六对相关对，即它们有相同数量的轨道；然而，第一个对合对应于可能重复的组合，而第二个对合对应于两块瓷砖的图案，而与成对旋转无关。

[16]提出的组合问题的“图形处理”也包括对可能配置的空间组织，这反映了特鲁谢进行的系统研究：在他的表I的每一列中（参见图3中的表I），“第一块”瓷砖的方向与第一行绘制的方向一致，而“第二块”瓷砖的方向则随行而变化；最后，四个相对位置出现在表格每个方框的四个角上。配置的排列表明初始搜索已完成，剩下的就是根据设定的标准找出相似的瓷砖（图3中的表II和表III)。

作者补充说，他已经开始研究三等分、四等分和五等分瓷砖的组合，但目前还不满意，打算稍后发表（但目前看来并非如此）。当然，复杂性会随着瓷砖数量的增加而迅速增加，正如雷格·阿尔康的画作所示，因为三块、四块或五块瓷砖的空间排列方式多种多样：成直线、成“L”形、成正方形、成“T”形、成十字形……

最后，特鲁谢展示了7块密铺图案，这些图案是通过连接他列出的64种密铺组合而获得的：它们包括24种大小为12×12的密铺和6种大小为24×18的密铺，这些密铺是从100种已完成的密铺中选出的，而这些密铺本身也是从“数量太多，无法全部列出”的图案中选出的[18，第364页]。

另一位与特鲁谢神父同属一个宗教团体的牧师多米尼克·杜阿特（Dominique Doüat）也从事了这项工作，并于1722年发表了一种制作无限多幅图画的方法[8]包含72块用特鲁谢的等分瓷砖制作的密铺画。我们在图4中展示了他的其中一幅图版。

图4. 杜阿特神父制作的瓷砖[8]

CC BY 4.0 来源：gallica. / 法国国家图书馆

来源

想获得有关特鲁谢的所有相关信息，Jacques André的网站（https:///faqtypo/truchet/ ）是一座无价的文献和参考资料宝库，此外还有他自己关于这个主题的出版物[1、3]他特别提到了可以参考特鲁谢的论文[18]收录于“法国蔷薇”Gallica（法国国家图书馆数字图书馆项目的代称，是可在网上访问的最大的数字图书馆之一，zzllrr小乐译注）文献数据库中（回忆录前附有版画），以及英文译本[16]。Doüat 的作品[8]（André 提供，前面有丰富的介绍）和文章“Carreau（建筑）”[7]下文讨论的狄德罗和达朗贝尔《百科全书》（Encyclopédie）中的一些内容，也可以在Gallica网站上找到摹本。

所有这些文献的参考书目中都提供了Gallica的链接。André还指出了ARTFL项目网站上《百科全书》的抄录版本（https://encyclopedie. ），另请参阅《百科全书的协作与批判数字版》 Édition Numérique Collaborative et CRitique de l’Encyclopédie，它结合了第一版的转录和摹本（https://enccre./encyclopedie/ ）。

在Jacques André的网站上，还可以找到一份文件[2]展示了来自多个来源的特鲁谢瓷砖插图：

由特鲁谢本人在其论文[18]中以及《艺术与工艺描述》（Description des arts et métiers），该百科全书项目由科尔伯特（Colbert）发起，雷奥米尔（Réaumur）特别指导，他为该项目做出了贡献（这些图版可追溯到1705年，但这部百科全书从1761年才开始以分册形式出版。）
作者Doüat[8]制作的
摘自《百科全书》[7]，其中的《64种组合表》（Table des 64 combinaisons）被复制（同时指出了一个错误）
以及来自一位建筑师（Lemaire，1862）的后期作品，其中有两张受到类似启发的图版。

在《百科全书》中

狄德罗在《百科全书》的“建筑”（Carreau）一文中忠实地转述了特鲁谢论文的内容[7]：他展示了通过区分两个瓷砖得到的64种组合，以及我们之前描述的32种和10种组合的简化方法。他接着补充了最终的（双重）简化方法，即通过颜色反转或翻转来识别相同的组合（翻转的识别方法如下：“如果我们假设它们描绘在透明纸上，我们会透过纸张看到其中一些，就像我们在纸上看到其他组合一样。”[7，第700页]）。这样就只剩下四类组合了。他得出的结论如下：

也许，如果我们在纸上寻找一种排列这些瓷砖的组合的方法，我们就会发现一种可以省去以前繁琐枚举的规律：但这是尚未有人尝试过的，几种瓷砖的组合也没有人尝试过，更不用说几种颜色的瓷砖的组合了。

值得注意的是，狄德罗在研究结束时强调了当时关于这一主题的知识空白，这些空白可以被视为科学界尚未解决的问题；同样值得注意的是，艺术家雷吉·阿尔康巧妙地利用了这最后一个空白，他随意调整画布上正方形两半的颜色，充分利用了他的艺术自由，并在那里找到了展现才华的领域。为了描述他如何排列这些正方形，我们将在稍后的第2章节介绍第二个更现代、更复杂的数学对象。

另一个组合枚举

在此之前，我们先试着回答狄德罗的第一个问题，并说明如何用比特鲁谢和狄德罗的逐次归约法更快地得出四个最终组合。我们从两个空方块开始，不考虑旋转，只有一种方法可以将它们并排组装起来：

我们现在给每个正方形添加一条对角线：两个正方形中的每个正方形都有两种可能的选择，所以有四种可能性；但是通过翻转，它们两两相同，这给我们留下了两种配置：

现在我们需要在每个方格中从两个正方形中各取一半涂上颜色。同样，在这两种配置中，每个方格中一半的颜色都有两种选择，也就是说，每种配置都有四种可能性，加起来有八种可能性。但每种可能性都伴随着一种颜色反转的情况，所以如果我们通过反转颜色来识别相同的组合，那么可能性的数量就会减半，从而得到以下四种组合：

结果指向另一个更直接的演示：允许旋转，两个图块可以排列成一条线，允许翻转和颜色反转，我们首先得到以下图案。

剩下的就是从四个可能的主题中选择第二个主题。

2. 乌拉姆螺旋

现在我们来谈谈第二个数学要素。

无聊中的创造力

根据马丁·加德纳（Martin Gardner，美国数学科普作家，1914–2010）的说法，他在科普杂志《科学美国人》的一篇文章中讲述了这个故事[11]，数学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam，1909 – 1984）在1963年秋天参加一次会议时感到无聊，开始在一张纸上画一个网格来表示棋盘；他改变主意，从网格中心开始按逆时针方向螺旋式编号交叉点；然后他开始圈出素数，令他大吃一惊的是，他看到沿对角线形成的线条（图5）。

图5. 乌拉姆螺旋 9×9 （素数被圈出）和 200×200 （素数用灰点表示，1用中心的黑点表示）。

CC BY 4.0

正如加德纳指出的那样，对于小螺旋来说，这个事实并不十分重要，因为属于对角线方向的所有整数都具有相同的奇偶性，所有素数（除了2）为奇数，且素数密度在小整数中较高。因此，在图5所示的9×9螺旋中，21个奇数素数分布在41个可能的位置上，形成与对角线平行的线……

合并

然而，乌拉姆能够与斯坦（M. L. Stein）和威尔斯（M. B. Wells）两位合作者核实[17]，观察到的现象并不局限于小整数，而似乎是素数的普遍性质。为此，他们利用其研究机构——加州大学洛斯阿拉莫斯实验室的MANIAC II计算机以及包含素数表的磁带，获得了覆盖更大数量的整数螺旋线（[11]中复制了10000和65000个整数获得的螺旋线照片，它们类似于图5右侧的螺旋，但对应于不同的尺度）。

这些意想不到的素数排列图像可能令人印象深刻，以至于乌拉姆的螺旋线登上了加德纳文章发表的《科学美国人》杂志头版。乌拉姆和他的合作者解释说，这些图像是由于某些整数二次函数取大量素数而产生的，这些函数属于 n↦an²+bn+c 型，且 a,b,c∈ℤ型，例如欧拉著名的公式

E(n)=n²+n+41 公式(1)

其中，所有0到39之间的n值都对应不同的素数！且当n大到10000000时，该公式取值为素数的占比47.5%[17，第520页）。乌拉姆和他的同事已经发现了其他二次型，n从0到最大为10000000时，有高的素数占比τ，包括

4n²+170n+1847 (τ≈46.6%)

4n²+4n+59 (τ≈43.7%) 公式(2)

然而，文章的报道者指出，第一个公式中的整数值包含在欧拉公式（输入偶数）产生的数列中：

4n²+170n+1847=E(2n+42)

在偶数情况下，在E(2n+42)当n不超过10⁷的取值中，素数占比46.6%大致相当于公式E当n不超过10⁷时的取值的素数占比；相比之下，在奇数情况下，素数值比率必定为48.4%。我们尚不清楚奇数和偶数情况下素数比率之间的这种细微差异是否能够得到渐近证实。下文将会看到，我们对多项式素数个数的渐近行为的认识本质上只是推测。

与半对角线平行的排列

通过观察（图5）很容易将自己定位在乌拉姆螺旋中。对于整数n，从1到(2n+1)²的一段螺旋线构成一个正方形，每条边包含2n+1个整数，以1为中心，右下角是数字(2n+1)²=4n²+4n+1 。我们立即推导出大小为2n+1的正方形其他角上的数字的表达式。它们构成从1开始的四条半对角线，如图6所示。

例如，东南（右下角）半对角线的数字是奇数的平方，形式为4n²+4n+1，因此在公式(2)中提到的第二个二次型的值(4n²+4n+1)+58，对于足够大的n，将占据这个半对角线向上平移58的位置（我们按照乌拉姆的例子逆时针旋转）。

图6. 与半对角线平行的对齐

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类似地，东北（右上角）、西南（左下角）半对角线的数字是形式分别为4n²−2n+1、4n²+2n+1的整数，因此欧拉公式(1)的值在奇数、偶数时分别为E(2n−1)=(4n²−2n+1)+40、E(2n)=(4n²+2n+1)+40，当n足够大时，占据东北、西南半对角线分别向左、向右平移40的位置。

因此，我们在图7中看到由二次型(1)和(2)产生的素数在与对角线平行的方向上排列，根据[17]在n不超过10⁷时的取值有许多素数。为了查明这种现象是否会在该值之后持续存在，当螺旋的尺寸进一步增加时，我们需要研究这些多项式的渐近行为。

图7. 乌拉姆螺旋160×160，欧拉公式E(n)，n≤160 ：红色（素数），蓝色（其他值）；4n²+4n+59，n≤80 ：橙色（素数），绿色（其他值）

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渐近行为

哈代（Hardy）和利特尔伍德（Littlewood）的“猜想F”（1923）预测了小于正实数x的自然数变量值数量的渐近行为，其中r个多项式的整数系数同时取素数，其形式为一个常数，取决于各个多项式乘以函数 x/(lnx)ʳ。参见[5]以了解一般情况下的更多细节。

在[13]中，Jacobson和Williams研究了推广欧拉公式的二次多项式，形式为 fA(x)=x²+x+A， A∈ℤ。用PA(n)表示fA在不大于n的自然数处所有取值中的素数个数，用Δ=1−4A表示fA的判别式，他们提出猜想F如下：

PA(n) ∼ 2C(Δ)∫₀ⁿ 1/ln fA(x) dx 公式(3)

其中，Hardy-Littlewood（哈代-利特尔伍德）常数C(Δ)由欧拉积定义：

C(Δ)= ∏_{p≥3} (1− (Δ/p)/(p−1))

它是奇素数p的乘积，其中(Δ/p)表示Δ在p上的勒让德符号。可以通过计算（通过分部积分）或使用[5]中给出的猜想公式来检查。（注意，这里的常数是由所有素数的欧拉积定义的）等价于公式(3)也可以写成

PA(n) ∼ C(Δ)n/ln n 公式(4)

在这个猜想下，常数C(Δ)对fA取素数值的个数的渐近行为有决定性的影响。

数值结果支持猜想F。对于A=41，我们有C(−163)=3.3197732 ，欧拉多项式x²+x+41当x从0到100时取值得到87%（这101个数中，实际上有86个素数，占比85.14%，zzllrr小乐译注）的素数（使用公式(4)估计值: 72%），根据[17]当x从0到3162=⌊10⁷⌋时，取到47.5%的素数（估计值：41.2%）。我们从[13]得知的10⁷以内的比率为22.08%（估计值：20.6%），并且对于 A′=3399714628553118047，我们有

C(−13598858514212472187)=5.3670819

并且10⁷以内有25.17%的素数；即使这个比率低于估计值（33.3%），它也高于A=41的相应比率，这似乎证实了这样一个事实：较大的 Hardy-Littlewood常数渐近地对应于较大的素数数量。

与上面考虑的整数A′相关的 C(Δ) 的值是[13]中提出的计算之前已知的最大值。预印版[4，§4.2]解释了如何确定C(Δ)的高精度近似值，并给出了A=75、 C(−299)=0.3109767 的较小值的示例。Jacobson和Williams发现的C(Δ)的最大值是5.65726388（在广义黎曼假设下），对应于一个具有71位小数的数。

算术级数（等差数列）

在[5]中也可以看到，虽然一般猜想F得到了数值计算和筛法的支持，但它只能在一次多项式的情况下得到证明：然后归结为狄利克雷算术级数定理（由德·拉瓦莱·普桑de La Vallée Poussin证明的定量版本），该定理指出，对于所有互质（又称互素，coprime）整数a,b，多项式ax+b取无穷多个素数值（均匀分布在模a的逆类别中）。更准确地说，用Pa,b(n) 表示 ax+b 当x从0到最大为n的自然数时所取值当中的素数个数，我们有等价的

Pa,b(n)∼ a/φ(a) n/ln n

其中φ是欧拉函数（Euler totient function）；这证实了等式(4)，并在此特定情况下指定哈代-利特尔伍德常数。这个一次结果也有一个图形解释：我们将整数写在一个给定宽度的矩形网格中，从左上角开始逐行填充网格。这样，n∈N 对应的数字 an+b 就位于一条直线上（被网格切成几段），因此相应的素数值再次对齐。

在所有其他情况下，我们甚至无法证明猜想所预测的渐近行为的数字随x趋向于无穷大。例如，两个多项式 x 和 x+2 的整数值同时为素数是孪生素数，我们不知道它们是否有无限多对。

在1次多项式中，由于格林-陶哲轩定理[12]，我们知道得更多：算术级数（等差数列）不仅包含无限个素数，而且存在任意长度的素数算术级数：对于任意自然数k，都有素数 p₁、p₂、…、pk 组成一个算术数列的连续项，即，差值pᵢ₊₁-pᵢ为常数。该定理的证明并非构造性证明，而且找到这样的数列也很困难，因为公差很可能非常大。（当前记录为k=27，由Gahan于2019年创造，请参阅 https:///A327760 ）

较小的变量值

一些作者研究了其他二次多项式的初始值，这些多项式的系数较小，且变量值也较小，因此更有可能解释乌拉姆螺旋小尺度图上显示的线条。二次多项式：

36x²+18x−1801 公式(5)

保持着当前连续不同素数数量的记录：45（x值介于-33和11之间，由Ruby于1989年创造）；因此，它超越了欧拉多项式（目前已知的仅有另外两个多项式符合这一记录，由Fung 1988年得到的）。此外，它从变量的50个连续值中最终得到49个不同的素数，涉及在-41和-33之间的5个可能的起始位置。详见[9]的引言和第2章节。

在那篇论文中，Dress和Olivier展示了他们对含有大量素数值的多项式进行数值搜索的结果，他们只计算变量连续 50、100、500 或 1000 个值中对应的“不同”的素数值。在后一种情况下，他们显著改进了之前使用多项式的结果。

x²+x−1354363 ：698个素数（x=1139 到 2138）
x²+x−752293 和 4x²+2x−349513 ：685个素数
4x²+2x−501229 ：684个素数

请注意 36x²+18x−1801=E(6x+1)−1844 ，并且对于任何 A∈ℤ ：

x²+x+A=E(x)+A−41

4x²+2x+A=E(2x)+A−41

因此，我们刚才讨论的多项式，就像欧拉公式一样，只要变量的值足够大，就能在乌拉姆螺旋线中产生与东北和/或西南半对角线平行的排列（对齐）。许多其他取大量素数值的多项式出现在[9]中，既不是这种形式，也不是乌拉姆及其合作者确定的公式(2）的第二种形式，包括2次的。关于乌拉姆螺旋中可能出现的排列的精确描述可以在[14]，以及显示这些其他多项式的值分布的图表（在螺旋缠绕平面中，如乌拉姆螺旋），例如图8中找到。

图8. Fung 多项式值 103n²+31n−3391 ( n≤1000 )（红色为素数）。

CC BY 4.0

3.《过渡》系列的起源

《过渡》系列的起源……源于对几何的渴望！如同他之前的几位艺术家一样，雷格·阿尔康也在寻求一种几何结构来构建他新系列的画布。追随这条道路的艺术家中，有些与数学息息相关，例如蒙德里安（1872 – 1944）、康定斯基（1866 – 1944）、瓦萨雷利（1906 – 1997）、莫雷莱（1926 – 2016），当然还有毕加索（1881 – 1973）以及整个立体主义运动，他们致力于感知的分析和空间几何化。

3.1 雷格·阿尔康的方法

对于他的系列绘画作品《过渡》，这名艺术家开发了一个系统化的程序（尽管他偶尔会偏离这个方向，但在本系列的两百幅画作中）由上面提到的两个数学要素决定：特鲁谢瓷砖和乌拉姆螺旋。实际上，图2中旋转特鲁谢瓷砖得到的四块瓷砖，他添加了两个：一个全白的正方形和一个全黑的正方形。为了方便起见，可以将它们编码如图9所示。

图9. 扩展的特鲁谢瓷砖

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然后，他选择一些任意长度的瓷砖序列，例如daadb，并且不是如下图所示的将其排列成一条线：

而是从画作中心开始，以螺旋状缠绕，重复相同的步骤，直到画作被填满。在我们的例子中，初始的步骤是：

即该序列的初始出现，然后是：

和

分别出现两次、三次、四次和五次（得到一个完整的正方形）。图10显示序列出现20次的结果（即，100个图块形成一个10×10的正方形）。

图10. 图案 daadb 呈螺旋状缠绕（重复20次）

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我们立即意识到，我们实施的非常简单的过程很快就会产生复杂且不可预测的模式，即使这些模式是由一开始选择的序列决定的，并且高度依赖于序列的长度。例如，如图11所示。长度为4的倍数的序列产生的图案比上面选择的长度为5的示例更规则，尤其是因为属于该图案任何半对角线的数字始终模4同余。

这意味着，在长度分别为4、8的序列产生的图案的半对角线上，分别始终可以找到相同的或至少每隔一次出现一次的图块。值得注意的是，即使在这种情况下，反转两张图块也会产生截然不同的效果。

图11. abck 、 abkc 和 aaawwwww

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一个序列图集正在准备制作中，它有望展示这一过程令人难以置信的丰富性，补充艺术家创作的众多画布，下面给出了更多示例。

3.2 玩转色彩

一旦选定了顺序并确定了绘画的配置，雷格·阿尔康的艺术就在于选择颜色来取代已完成铺砌所绘制区域的黑白色，突出了特定的主题，有时根据与观看者的距离而显示不同的主题（令人惊讶的是，他对特鲁谢的瓷砖有着完全不同的看法，

https:///A048670 还强调了根据与主题的距离或观察规模的不同而产生的感知差异），激发了如图12所示的画作中令人惊叹的视觉效果，其中复杂的色彩并置令人眼花缭乱，甚至在全屏观看时，让我们怀疑所看到内容的真实性。

图12. 画作《金丝鸟》Golden Orbweaver，布面油画，130×130厘米（2018年）；《拉格花园》Garden Raga，布面丙烯画，130×130厘米（2019年）；《条纹断裂》Stripe Break，布面丙烯画，120×120厘米（2020年）——雷格·奥尔康

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色彩组合

基本规则是选择两种主色，例如红色和绿色，它们彼此之间能够很好地互补，并将其中一种颜色分配给铺路石形成的白色区域，另一种分配给黑色区域。然而，在绘画的世界里，事物并非全是黑白的，两种颜色的不同组合可以在特定区域替换其中一种，这可以通过按不同比例混合或将一种颜色叠加来实现。至于选择哪种变体，例如，可以根据出现的形状以及艺术家是否希望强调这些形状，或者仅仅根据画作的色彩和谐性来决定。

然后，在缓慢而细致地填充各个区域的过程中，艺术家自由地发挥灵感，在这里引入第三种更暖的颜色，在那里引入一种更冷的颜色，随着整体画面在脑海中逐渐成型，艺术家会判断是否需要拓宽调色板。最终，色彩并没有真正的规则：铺砌图案的限制是一个框架，在这个框架内，艺术家可以充分发挥选择、排列和与色彩互动的自由。用他的话来说：

当我在一个完全不同的语境中看到乌拉姆螺旋的画作时，我看到了其中的潜力。这些画作的创作最初很大程度上依赖于这些计算，但在创作过程中，眼睛和直觉也发挥了作用。

精准

雷格·阿尔康长期以来一直擅长快速绘画，他的笔触将色彩融合成丰富、鲜艳的纹理，轮廓略显模糊。然而，在《过渡》系列中，他采用了一种不同的绘画方式：缓慢、精准的作画，轮廓分明。此前，他曾在受彭罗斯密铺画启发的几何图案画布上尝试过这种绘画方式。（参阅：小乐数学科普：2025年IDM3.14国际数学日海报出炉，设计基于彭罗斯密铺，今年数学日主题——数学，艺术和创造力）

尽管画布上的色彩轮廓分明，但要预测这些色彩在特鲁谢瓷砖序列所营造的图案中产生的效果，却是一项挑战，只有艺术家丰富的经验和对色彩的敏锐感知才能应对。在某些情况下，当眼睛与画布保持合适的距离时，色彩在相互接触时会产生“颤动”的效果，这会产生意想不到的效果。所有这些都是长期研究的成果，正如他所解释的那样：

我花了很长时间尝试开发一种能够利用这些组合的正式语法，以便为任何和谐创建引人注目但清晰易读的配置，并突出颜色的独特身份。

颜料

需要注意的是，颜料的化学成分对这项工作非常重要：例如，红绿色部分在视觉效果上表现出显著的差异，这取决于用镉红与酞菁绿组合，还是氧化铁红与绿土组合。

据颜料制造商称，实际上有十几种顶级红色颜料，它们由矿物、植物或合成颜料制成，在色相、透明度和不透明度方面各有不同。它们的质感取决于颜料的稠度、所用的添加剂和工具、画布的质地及其着色前的准备工作。

我们以两种颜色为例：浅色镉红，一种不透明、鲜艳且具有强烈视觉冲击力的颜色；以及透明、深色茜素深红，一种略带紫红色的红色。它们的并置增强了各自的特性，而它们的叠加则改变了两种颜色的色彩。

《过渡》系列的画作引领我们探索色彩的视角，营造出色彩远近错落的错觉。创作这些画作时，我踏上了一段激动人心的旅程，探索色彩的魔力和多种组合，却不执着于单一的代表性。这正是《过渡》系列的核心所在。

3.3 变体

我们所描述的确定绘画主题的规则，即选择缠绕成螺旋状的特鲁谢瓷砖序列，在创作的众多油画作品中也出现了例外，甚至有违背。这些规则往往被证明是明智的，并能丰富新的视角。

例如，有些画作是由从不同焦点开始的几个螺旋构成的，这可以给人一种更写实的画作印象：有了五个焦点，人们几乎本能地会想到自然环境中或多或少对称的五角形状，就像一个有头、两只胳膊和两条腿的剪影，除非画家选择的颜色使其显现，否则绘画过程会使其变得模糊。

在其他画作中，特鲁谢瓷砖被“毕达哥拉斯式”矩形所取代，这些矩形沿对角线切割成两个边长为3、4、5的三角形，并以与以前相同的方式缠绕成螺旋状。

首先，画布不再一定是正方形，而以前在结构上几乎总是正方形；其次，界定螺旋的线条与整体主题的融合度降低，更多地展现了绘画的结构。最后，拉长的三角形产生了比特鲁谢瓷砖更平滑、更流畅的形状。

小乐数学科普：艺术家眼中的数学：激发灵感的数学对象——译自EMS Magazine欧洲数学会杂志

当然，艺术家也尝试将“希腊”瓷砖与特鲁谢的瓷砖混合使用，甚至将正方形沿对角线切割成四个三角形——有无数的组合可能性……图13显示了一个例子。

图13. 雪阶，布面油画，120×120厘米，雷格·阿尔康 (2023年)

CC BY 4.0

3.4 从如此简单的开始

雷格·阿尔康的创作手法令人惊叹，尽管极其简单，却能创造出极其丰富复杂的图案。音乐是另一个经常运用这一原理的艺术领域。

电子音乐家Grand Ciel对此进行了实验，特别是将不同长度的非常简单的声音循环（例如，三拍、四拍和五拍）混合在一起。这场演出由利摩日IREM（数学与数学研究所）为2019年科学节组织，在利摩日国立阿德里安·杜布谢博物馆举行，作为“数学年”的一部分。

这场名为“从如此简单的开始”的演出试图将这一原则戏剧化，画家和音乐家共同即兴创作了现场表演，随后由第一作者及其同事 Olivier Prot 进行了两部分的讲座，介绍了这一主题、乌拉姆螺旋和雷格·阿尔康的方法。

在第二次更长的表演中，我们还提出了一个数学问题的例子，其中复杂性意外地出现在一个易于陈述的问题中，在本例中是关于n的Jacobsthal函数，两个相邻的与n互素的整数之间的最大差（间隔），并且当应用于素数时，只知道大约60项（

https:///A048670 ）。一开始是

2,4,6,10,14,22,26,34,

接下来的不是38而是40！

该节目的标题引用了查尔斯·达尔文的话[6]，以反映出上述特征不仅适用于艺术或数学，而且是生命进化所固有的特征：

从如此简单开始，无数最美丽、最奇妙的形式已经并正在进化。

From so simple a beginning, endless forms most beautiful and most wonderful have been, and are being, evolved.

致谢

作者非常感谢本文的匿名审稿人的仔细阅读和许多有益的建议。还感谢Jean-Bernard Bru和Miriam Gellrich Pedra负责将原文翻译成英文。特别感谢巴斯克应用数学中心资助将法文翻译成英文。EMS杂志感谢法国数学会公报授权转载这篇题为“艺术家眼中的数学：激发灵感的数学对象”的论文的英文译本，该论文发表于《法国数学会公报》第181期（2024年7月）。

关于作者

Stéphane Vinatier（斯蒂芬·维纳蒂尔）是法国利摩日大学的数学教授。他的研究工作在XLIM研究所（UMR CNRS 7252）进行。他专攻代数数论，重点研究特定分支条件下数域扩张中不变量的伽罗瓦作用。他也对其他数学领域感兴趣，例如组合数学。他为法国数学教育研究机构网络做出了贡献，并担任该网络负责人两年。他目前仍在从事实验性教育项目。

William Reginald Alcorn（威廉·雷金纳德·阿尔康），1950年出生于赞比亚，父母分别是爱尔兰人和苏格兰人。他从小就对绘画产生了浓厚的兴趣。在英国学习人文学科后，他游历欧洲，最终定居法国。他从事过音乐、语言、科学以及最近的数学等项目，并将时间分配在绘画工作室和艺术推广上，尤其是在利摩日IREM（数学教育研究所）的活动中。

参考资料

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小乐数学科普：格拉纳达阿尔罕布拉宫数学入门——译自EMS Magazine欧洲数学会杂志

小乐数学科普：2025年IDM3.14国际数学日海报出炉，设计基于彭罗斯密铺，今年数学日主题——数学，艺术和创造力

小乐数学科普：密铺的深层数学——来自量子杂志资深数学作家Jordana Cepelewicz的讲解

小乐数学科普：棘手数学密铺之简史——译自量子杂志Quanta Magazine

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