小乐数学科普：为什么数学永远不会完备——《量子杂志》每周数学随笔

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每周量子杂志Quanta Magazine都会解释推动现代研究的最重要思想之一。本周，数学特约撰稿人Joseph Howlett探讨了数学知识的极限。

图源：Quanta Magazine量子杂志

作者：Joseph Howlett（量子杂志特约撰稿人）2025-7-21

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-7-28

20世纪之交，数学似乎走在了一条完美的道路上。在对不精确的定义和令人不安的悖论进行了几十年的清算（现在被称为数学基础危机的时期）之后，数学家们终于开始为该领域建立坚实的基础。他们的目标是制定一个所有数学都可以依赖的基础真理或公理的最小列表。

如果他们成功了，即使是最深奥的结果也有可能从这些简单、自然的假设中得出。一开始，数学家可以使用公理来证明简单的命题；随后他们就可以使用这些命题来证明更复杂的定理等等。未来的数学家们可以继续为这座大厦添砖加瓦。只要有足够的时间和创造力，任何真理都不会遥不可及。

每个人大概都是这么想的。

大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862 – 1943）

事实证明，数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）最突出倡导的“完备”（complete）数学梦想代表了启蒙运动时代对这个问题的乐观看法。

1931年，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）用他的两个“不完备性定理”（incompleteness theorems，有时也称不完全性定理）的证明 https://www./how-godels-proof-works-20200714/ 粉碎了希尔伯特的梦想。

第一个定理的证明表明，对于任何足够强大的公理集（包括现代数学基础的公理），总存在一些无法被证明是真或假的数学真理。它们被证明是无法被证明（或证否）的。

哥德尔第二个定理的证明建立在这个想法之上，证明这样一组公理永远不能用来证明它自己的一致性（consistency，有时也称相容性）。这些公理可能会导致相互矛盾的命题，如果数学家仅限于使用这些公理，他们就不会变得更聪明了。

你可能会认为这样的结果会扼杀一门如此致力于追求绝对真理的学科的进步。但大多数数学家仍然能够证明他们想要证明的命题。与此同时，哥德尔的不完备性定理在数学领域开辟了一个全新的研究领域。数学家现在不仅可以专注于发现什么是正确的，还可以专注于发现什么是可知的。解决这个想法仍然是当今数学的核心实践。

新增的和值得注意的内容

多亏了哥德尔的工作，数学家们知道，如果他们从现代数学基础的常用公理出发，就会有一些他们无法证明真假的命题。为了证明这些命题，他们需要在这些基础上引入新的公理。这些新公理通常涉及一个违反直觉且令人着迷的数学概念：无穷大（infinity）。

无穷大有许多不同的大小。自然数集（0、1、2、3、4 …）的大小等于所有偶数的集合和所有分数的集合的大小。但是所有实数的集合（数轴上的所有数字）比这些集合都要大得多，即使它们都是无限的（无穷的）。

数学家们提出了公理来定义更大、更奇特的无穷大类型。最近，量子杂志报道了三位数学家声称发现了两种新的无穷大的工作 https://www./is-mathematics-mostly-chaos-or-mostly-order-20250620/ ，它们的行为与数学家预期的不符。这一发现可能意味着数学世界比预期的要混沌得多。

一般来说，定义新公理的最佳方法——即对数学世界有更完备（尽管从未彻底完备）理解的最佳方式引起了激烈争论https://www./how-many-numbers-exist-infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/ 。（参阅小乐数学科普：存在多少个数字？无穷大的证明更接近答案——译自量子杂志Quanta Magazine）

在哥德尔发表他的不完备性定理几年后，艾伦·图灵（Alan Turing）等人以他的想法为基础，证明存在“不可判定”（undecidable）的数学命题。它们无法通过任何计算机算法解决。

正如希尔伯特的梦想不能免受不完备性这一概念的影响一样，它也不能免受不可判定性这一概念的影响。1970年，数学家们证明希尔伯特纲领的另一个主要支柱——他的“第10问题”，即他提出的帮助强化数学发展的23个问题之一——是无法判定的。

该问题给数学家们带来的挑战是，要求他们找到一种算法来判定任何“丢番图”方程（一类简单多项式，例如 y = x² – 1）是否具有整数解。今年，我报道了显著扩展这一结果范围的工作 https://www./new-proofs-probe-the-limits-of-mathematical-truth-20250203/ ——这表明数学世界的另一部分是不可知的。

《量子杂志》报道中我最喜欢的（可能）无法回答的问题：复制某一组形状之后可以无重叠地覆盖所有空隙吗？寻找这种称为“密铺”（tilings，有时也称铺砌、平面镶嵌）的排列，是数学中的一个重要主题。事实证明，一些密铺问题是无法判定的：给定一些形状集，无法判定它们是否会密铺空间。

但是，当你只考虑一种形状呢？关于单个铺砌块（单瓦片 monotile）的命题是不可判定的吗？2022年，雷切尔·格林菲尔德（Rachel Greenfeld）和陶哲轩（Terence Tao）发现了一种可以以非重复即非周期性模式密铺所有空间的单一形状，震惊了数学界密铺领域 https://www./nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/ 。

但是，仅仅因为非周期性单瓦片存在并不意味着不可判定的瓦片存在。这两位数学家希望他们开发的技术也能帮助他们最终找到一个无法判定的瓦片。

与最初看起来的“丧钟”相去甚远，不完备性已成为数学的福音。事实证明，唯一比纯粹的、无可争议的真理更有趣的是，这种真理性往往是无法实现的。未来的数学家将不再像希尔伯特所设想的那样，只是在知识大厦上做不断叠加层次的工作。他们的任务将更加困难：为我们判定哪些事情可以判定，哪些事情不能判定。

网络上的报道

我第一次涉足数学基础危机是《罗素的故事》 Logicomix ，这是一部图画小说 https://www./us/logicomix-9781596914520/ ，刻画了伯特兰·罗素（Bertrand Russell）寻找数学大陆的存在性风险。

Logicomix小说简介

这部非凡的图画小说讲述了哲学家伯特兰·罗素的精神冒险之旅。在对绝对真理的痛苦追求中，罗素遇到了戈特洛布·弗雷格、大卫·希尔伯特和库尔特·哥德尔等传奇思想家，并在伟大的路德维希·维特根斯坦那儿找到了一位充满激情的学生。但他最雄心勃勃的目标——建立不可动摇的数学逻辑基础——仍然摆在他面前。通过爱与恨、和平与战争，罗素坚持着艰苦的使命，这威胁着他的职业生涯和个人幸福，最终将他推向了精神错乱的边缘。

这本故事既是一部历史小说，也是对数学和现代哲学的一些伟大思想的通俗易懂的解释。凭借丰富的人物塑造和富有表现力、大气的艺术加工，这本书将对这些想法的追求变成了一个非常令人满意的传奇故事。

这本书探讨深入，层次巧妙，揭示了罗素内心的挣扎，同时将它们置于他毕生试图回答的永恒问题的背景下。从本质上讲，Logicomix是一个关于理想理性与不变而有缺陷的现实之间冲突的故事。

Marcus du Sautoy在YouTube视频的Numberphile频道 https://www./watch?v=O4ndIDcDSGc 中解释了不完备性的基础知识。

对数学上的勇士而言，更深入地研究哥德尔的证明、希尔伯特的第十问题和数学公理可以在已故数学家马丁·戴维斯（Martin Davis）撰写的2006年美国数学会通告 https://www./notices/200604/fea-davis.pdf 中找到。