小乐数学科普：采访数学家海曼·巴斯Hyman Bass（下篇）——译自AMS Notices美国数学会通告202506

★加星zzllrr小乐公众号数学科普不迷路！

↙点击公众号主页左下角按钮，尝鲜AI智能回答

海曼·巴斯（Hyman Bass，1932 -）

海曼·巴斯（Hyman Bass）教授，是一位在纯数学领域做出开创性贡献（代数K理论的奠基人，研究交换同调代数和投射模，他也是树上的群作用理论的共同创始人），并在数学教育领域发挥重要领导作用的杰出数学家（担任AMS美国数学会主席和国际数学教学委员会主席），他的工作极大地丰富了我们对代数和数学教学的理解。

他是美国国家科学院、美国艺术与科学院、世界科学院的院士。曾获得科尔代数奖、美国国家科学奖章。本文是Lisa Carbone和Yvonne Lai对其采访内容，内容较长，分为上下篇。

作者：Lisa Carbone（罗格斯大学数学教授）

Yvonne Lai（内布拉斯加大学林肯分校数学教授）

2025-2-13

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-6-23

– 接上篇 –

4 1970年代至80年代：与布尔巴基一起写作

图8：从左到右依次为 Michel Raynaud、Hyman Bass 和 Armand Borel，科西嘉岛，1970年代

采访者：您曾以尼古拉斯·布尔巴基（Nicholas Bourbaki）的笔名参与出版数学教科书的团队。您是如何与布尔巴基合作的？您在团队中担任什么角色？

巴斯：我知道布尔巴基的存在，而且塞尔（Serre）、艾伦伯格（Eilenberg）和格罗滕迪克（Grothendieck）等人都曾是该协会的成员。但其中大多数是法国人。所以当我被邀请时，我感到非常震惊。

我与塞尔的联系可能与那次邀请有很大关系。我的数学视野远不及布尔巴基学院的许多人，尽管我的兴趣广泛。也许他们需要一些代数方面的人才，尤其是那些了解非交换代数的人，而我在这方面有所投入和实力。这在法国数学界并非传统。

我想是让-路易·维尔迪尔（Jean-Louis Verdier）传达了邀请。他是我的密友兼同事。我最终在1970年至1982年间成为了其中的一员。

布尔巴基的关注点并非新数学，而是以一种全面而严谨的方式，清晰简洁地阐述当代数学。这种数学写作必须在浩瀚的领域中保持一致性，而这导致了一些从阐释角度来看较为繁琐的地方。

在典型的写作中，你会将你的主题领域定位到特定领域，并且可以采用一些无需与其他数学领域惯例一致的惯例。但布尔巴基试图一致地讨论整个数学领域。因此，许多交叉引用的内容必须彼此一致，而特定领域的写作则不需要这样做。

无论人们对布尔巴基的风格有何好恶，这些著作的作者都是数学家，他们在自己的职业生涯中都是才华横溢的阐释者。例如，塞尔是一位优美的作家，读起来非常悦耳，但他也用布尔巴基风格写作，符合布尔巴基风格。用布尔巴基风格写作是另一种类型的项目。它与其说是教学法，不如说是以逻辑顺序、一致性和严谨性为主导特征。它的简洁性源于一种严肃、极简主义的优雅。在某些情况下，例如《李理论》，我认为布尔巴基的阐述既新颖又优美。

就我对数学证明的强烈忠诚而言，我想我的写作风格，尽管有时很粗心，但还是符合这种风格。

布尔巴基的一个有趣之处是它的工作文化。当时，它是一个规模不一的小团队，最多只有十几个人。他们着眼于整个数学体系的宏大架构。早期的书籍主要讨论基础结构，例如集合论、代数和拓扑。之后的章节则探讨高阶结构，例如泛函分析、流形和李群，其中不同的基础结构相互交织并被综合。有很多章节需要编写，或者可能需要修改和更新，它们都融入到这个宏大的架构中。

那么，这种写作是如何完成的呢？这项工作的性质很大程度上是社交性的。有一章需要撰写。它可能是新的，也可能是修订版。小组成员集体对这一章的主题、总体内容以及重点有一些想法。然后，会指派某个人 ——某个小组成员——负责撰写该章的草稿。

他们的资金不多，全部来自这些书籍的出版，全部用来支持这项工作。但至少工作条件、氛围等等，虽然不算奢华，但却非常舒适宜人。

图9：海曼于1978年访问加州大学伯克利分校

那时，他们每年大约三次聚会“congrès”。他们去了一个偏僻的地方——非常漂亮，但很安静，而且绝对不怎么公开。在场的其他人根本不知道这群古怪的人是谁，也不知道他们在做什么。这些偏僻的地方包括普罗旺斯、科西嘉岛和科莫湖，我们住在舒适的旅馆里，吃得非常丰盛。为了去科西嘉岛，我们从巴黎乘坐南下的快速列车，在车上享用了一顿丰盛的晚餐。

小组气氛活跃却又轻松。每个人都穿着非常随意，或许穿着短裤之类的。我们围坐在一起，有人逐行朗读当前章节的草稿。当读者需要补充意见时，朗读会在不同阶段进行。草稿被反复审阅。大家提出了各种各样的批评和建议——大多是他们不喜欢的地方。

当然，作者也在场，并参与了这些有时很粗暴的反馈。唯一的补偿是——所有需要修改的地方、需要如何改进的地方都会被详细记录下来——草稿作者不必重写。下一稿则分配给了其他人。某个章节可能历经无数次的修改轮回，最终并非消亡，而是被束之高阁（封存于“文学冰柜”au frigidaire之中）。换句话说，它可能会被长期保存，甚至可能是永远。

这是一个非常系统且非常严格的过程。当然，它是匿名的。其他科学家想知道所有这些高水平的智力努力和时间，在没有个人认可或补偿的情况下，是如何发挥作用的。参见：1996年企鹅出版集团出版的卡尔·杰拉西《布尔巴基的妙计》（The Bourbaki Gambit, by Carl Djerassi, 1996, Penguin Publishing Group）。

一个经常被公开讨论的问题是“为什么布尔巴基没有范畴论？”嗯，如果不彻底修改布尔巴基的集合论基础，很难找到一种方法来做到这一点。德利涅（Deligne）写了一个关于范畴论的非常漂亮的草稿，这些想法被束之高阁（au frigidaire）。有趣的是，虽然布尔巴基没有定义函子，但他允许自己在某些章节标题中使用“函子性质”（proprieties fonctorielles）这一表达（尽管不是在正文中）。

在“congrès”大会的讨论中，一些人物脱颖而出。Jean Dieudonné、Pierre Cartier和Michel Demazure都具有相当鲜明的个人风格和数学观点。

就我个人而言，参加布尔巴基会议是一种独特的体验，而且，从设计上来说，对数学界的其他人来说，这基本上是不可见的。

采访者：听起来确实很费劲。所以，在布尔巴基研究中，个人或许会成名，但他们并没有因为他们对布尔巴基的贡献而获得赞誉。

巴斯：数学思维的魅力吸引着我。我是个思维非常迟钝的人。我身边总是围绕着一些比我聪明得多、反应敏捷得多、对这个领域有更广阔视野的人。我珍视的就是能够与这样的人相处。我从布尔巴基身上学到了很多。接触到那样的环境和那些人，对我来说弥足珍贵。

例如，我认为我做过的最好的工作可能是那篇关于同余子群问题的论文。它有三位作者[BassMilnorSerre1967]。实际上，这篇论文是我自己起草的，我可以想象其他两位作者对它的整理方式并不完全满意；它很可能被分成两篇或三篇不同的论文。例如，塞尔的贡献是在开发后期才做出的。我决定了一些术语，这些术语或许应该归功于米尔诺的工作。

但我看重这项工作的，与其说是我做了什么，也不说是我想要得到什么赞誉，不如说是整个过程汇集了如此令人印象深刻且令人满意的思想。这对我来说至关重要。令我惊叹的是，这个关于矩阵群的自然问题不仅与数论中明确的广义互反律息息相关，而且如果这些定律当时尚未被发现，那么解决这个问题就需要发现它们。

例如，我认为塞尔和米尔诺虽然彼此欣赏对方的作品，但他们从未合作过任何作品。因此，从这个意义上讲，他们各自贡献的思想更多的是互补而非交织。对我来说，我更欣赏的是整体的一致性；这与其说是个人功劳，不如说是关于汇集思想的美学问题。如果能将其中的各个部分以某种方式分开，或许会更有帮助。

回答“你为什么要放弃这些时间和精力去做像布尔巴基这样的事？”——这只是我整个性格的一部分。我从未想过自己会成为某种伟大的数学思想创造者之类的人，但我真的很珍惜身处那种真正美妙、高水平的数学思维环境。这对我来说至关重要。

5 1990年代至今：数学教育

图10：海曼从乔治·W·布什总统手中接过国家科学奖章，2007年

照片由美国国家科学技术奖章基金会的瑞安·K·莫里斯拍摄

图片由美国国家科学基金会提供

数学教学工作探究

采访者：从1990年代开始，您开始更多地参与K12数学教育。您在数学教育领域合作时间最长的是与黛博拉·洛文伯格·鲍尔（Deborah Loewenberg Ball）合作。你们两人是如何认识的？

巴斯：教育发展中心举办了一场由Ed Dubinsky组织的关于本科教育的研讨会。黛博拉和我当时就在场。我记得她的想法给我留下了深刻的印象。她有一种世故。正如我一直说的，我一直欣赏真正有趣的思想——主要是数学，但也包括政治、国际事务、民权、正义和人民。这就是我们见面的地方，我们就这些想法进行了通信。

后来，我通过数学科学教育委员会与她有了更正式的联系。（海曼曾担任美国国家研究委员会设立的数学科学教育委员会成员（1991 – 1993年）和主席（1993 – 2000年），作者注）我们断断续续地邀请她就一些我们正在讨论的项目发表演讲。就这样，我们保持着机构层面的联系，但她也逐渐向我透露了更多她正在进行的教学研究。

作为一名小学教师，她一直渴望提升自己的教学水平，但却苦于数学教学的不足。她觉得自己对数学有一些理解上的欠缺，需要进一步学习。于是她选修了一些数学课程，这些课程很有帮助。但她并不知道如何将数学学科视角引入课堂，更不了解这种视角在教学实践中的重要性。这促使她思考：教学的数学工作是什么？但她并不确信自己能看到所有相关的数学事件，即使她能够观看自己教学的录像。

这种知识上的谦逊并不常见。人们可能在自己擅长的领域非常精通。但需要谦逊才能认识到，当你进入一个新领域时，你对想法的理解方式仅适用于某些特定目的，而这些目的可能并不适用于其他环境。你的知识只是贡献，而不是统治。

然后，她做了一件我想更好地理解某件事时也喜欢做的事情。我喜欢找到我认为对某件事了解最深入的人，然后去找他们，试图加深理解。她决定招募一些数学家，不是让他们告诉她什么数学适合教学，而是让他们观察实际教学实践本身。她让他们观看教学视频，并提出一个问题：你认为什么在数学上有意义且相关？那时，我们进行了大量的思想交流，不仅涉及政策，还涉及教学中的数学工作。

在这些视频中，她正在教三年级学生。我们分析的数据非常惊人。（对这批由斯宾塞基金会和美国国家科学基金会资助项目所产生的数据资料的分析，为教学用的数学知识这一概念奠定了实证基础。）视频附有详细的文字记录。学生的笔记本和作业都复印了。我们还提供了学生访谈和教师日志。

所以，这是一个非常棒的数据集合，可以用来真正理解教学实践的内容。黛博拉每年夏天都会在小学数学实验室继续秉承这种精神实践，持续几周。但这个数据集合来自她一整年的教学，即1989 – 1990学年，当时她教三年级。这非常了不起。如今，任何人都可以用手机拍摄视频。但在当时，收集这种规模的长期文献是一项艰巨的任务。（由Ruth Heaton、Magdalene Lampert和Deborah Loewenberg Ball主导的这项研究，首次采用“超媒体”hypermedia作为理解教学实践的方法论[LampertHeatonBall1994]）

这很令人惊讶，因为尽管我倾向于抽象概念，但这却让我感同身受。当我看到孩子们在那些教室里做事时，感觉就像是在观看他们做数学题的缩影。这真的令人兴奋。我不确定这些孩子在其他老师的指导下是否会有同样的感受。但不知何故，这些孩子在思考数学，并真正投入其中，我希望我的本科生也能有这样的感觉。

问题在于真正深入其中。数学上究竟发生了什么？教学是如何观察和辨别学生所见所闻的？对于这些问题的答案，数学家们可以提供一些帮助。但他们无法讲述全部。倾听至关重要，不仅要倾听孩子们的声音，还要倾听同事和其他人的声音——更重要的是，关注教学的动态及其复杂性。我沉浸于这些材料和问题之中，并被深深吸引。

数学“使人相信”

采访者：您如何描述这种教学和学习？

巴斯：黛博拉和我写了一篇论文，我们尝试传达这个想法我们可以将这种数学课堂文化与学科中发生的事情联系起来[BallBass2000MakingBelieve]。

这些三年级学生，正在进行数学推理。他们思辨、推测、争论。我们探索的问题是：与学科中发生的事情相对应的环境结构是什么样的？在本文中，我们称这种结构为“使人相信”。

“使人相信”（making believe）是一个常见的短语，意思是“自称”（pretending），就像孩子们做的那样。但我们用它来比喻实际的数学推理、证明和论证。因为当你证明一个数学定理时，你在做什么？什么时候它被证明？什么时候它被接受为知识和学科的一部分？是当你说服了该学科的专家——当你让他们相信它的时候。当审稿人说：“是的，这是对的，可以发表。” 换句话说，当你证明一个数学定理时，这是一个让人们相信某事的过程。

当你想要证明某件事时，你可以说 B 为真，因为 A 蕴含 B 。那么 A 呢？你可以说 A 为真，因为 C 蕴含 A 。那么 C 呢？这到哪里为止？对于数学家来说，它止于公理、定义或先前建立的结果。你需要一些无需证明就能被接受的东西。当然，这些东西是什么会有所不同，取决于人们的专业知识和社群是什么。

我们称之为公共知识的基础。这种共享知识不是先验明确的。它必须通过经验确定。它与该社群的共同假设有关，例如你已同意的定义以及所需的细节粒度。例如，如果你在高中，如果有人进行常规数值计算，你不会要求他们证明为什么这样做。但如果这是一个复杂的几何论证，你会希望他们详细解释这一点。

在数学中，我们有一个“公共知识基础”的概念。如果你是一位逻辑学家，你正在学习数学的基础知识。在分析中，你不会问关于实数性质的问题。你假设的是基础知识。但它并非精确确定的；必须对起点达成某种默契。

换句话说，每个社群都有自己的公理和定义。我们有一些可以引用的定理，它们也是文献的一部分。

如何让这个基础变得易于理解？在三年级的教室里，墙上贴满了海报。有些海报是关于学生契约的——学生们同意如何遵守话语规范之类的。但也有一些海报是关于数学的。有些海报后来受到了质疑，但在张贴时，学生们已经暂时达成了某种共识，认为海报上的陈述是正确的。所以这些海报就是文献，记录了已经取得的成果。它们还记录了话语规则、事物如何受到质疑，以及辩论的过程是怎样的。

为了描述使数学作业成为可能的课堂结构，我们不仅仅重述结果和规范，而且根据1989 – 1990年的数据语料库提供了记录。我们的分析包括学生之间的实际陈述以及他们争论的内容。我们确定了数学探索过程的要素，包括数学语言的发展和论证的推理。

例如，1990年1月，学生们正在学习偶数和奇数。但她（黛博拉）并没有从定义这些数字开始。相反，她给出了这样的问题：

橡皮擦售价2美分，铅笔售价7美分。你可以买铅笔和橡皮擦。如果你愿意花30美分，你能买到多少种不同组合的橡皮擦和铅笔？

关键在于铅笔的数量必须是偶数，因为它们的价格是7美分，而7是奇数。橡皮擦每块价格是2美分，而2是偶数。所以你需要偶数支铅笔，才能使铅笔和橡皮擦的总价正好是30美分。（关于该事件的详细记载，请参阅Ball与Bass（2003）的研究[BallBass2003Reasonable]）

学生们就这样发现了两种数：偶数和奇数。有了这些概念，他们开始探索，如果把两种数相加会发生什么。他们开始猜测：

偶数+偶数=偶数

偶数+奇数=奇数

奇数+奇数=偶数

然后两个学生说：“我们不同意。” 其中一个学生提出了一个他们认为正确的论证。但这两个学生又说：“我们考虑过了，我们认为你无法证明它总是成立。” 黛博拉问他们：“为什么？” 学生们说：“数字是无限的，奇偶数也是无限的，所以你无法证明它总是成立。”

这真是令人震撼。

这些学生是对的，因为他们所有的证明方法到目前为止都是通过检查案例来实现的。今年早些时候，问题的范围是有限的，而不是无限的。他们可以通过检查所有案例来证明他们已经处理了所有可能出现的情况。所以，说无法在所有情况下证明这一命题是错误的，而他们认为无法用检查案例的方法证明这一点是正确的。

图11：密歇根大学的海曼，2006年

他们所做的不仅仅是数学思考——他们实际上是在构建证明本身的基础架构。他们没有奇数的正式定义。但是，如果数字意味着事物的集合，而当你把一个奇数分成两对时，总会剩下一个。当然，当你把两个奇数放在一起时，剩下的两个1可以组成另一对。

那么，这个论证是如何超越这个挑战的呢？尽管奇数有无限多种情况，但奇数的定义本身的范围是无限的。它是无限量化的。所有奇数，当你把它们分成两对时，总会剩下一个。因此，结论的无限范围是可能的，因为它已经嵌入在定义本身中。

这是数学思维的一次令人印象深刻的进化。而且它并非程式化，也并非某些课程教给他们如何行动的脚本。这是一种随着时间推移而发生的教学过程。当时是一月，正值学年中期。

九月份的时候，老师还在问他们类似的问题，他们的数学思维也比较活跃，但比一月份的时候发展得慢多了。九月份的时候，他们有点不习惯，甚至对以前遇到过的类似问题不适应。这对他们来说很新鲜。他们能够说出一些有趣的事情，并开始对它们产生好奇心。但他们还没有形成那种让九月份的孩子变成一月份的孩子，做出这些惊人之举的文化。

这就是拥有整个学年教学记录的重要性。所有课程都录像了。你可以看到哪些举措促进了这种发展。这种记录不容易记录，即使是书面记录也很难。能够查看原始数据非常有用。

数学教学能力建设

采访人：需要什么条件才可以学习这样的教学？

巴斯：这种教学方式蕴含着深刻的洞见。问题是，你能大规模复制这种教学方式吗？你将如何构建一个能够复制这种教学方式的教师教育项目？你很难培养出另一个黛博拉。但黛博拉本人非常热衷于在教学中培养这种素质的能力。

她和其他志同道合的人，比如帕姆·格罗斯曼（Pam Grossman），所采用的方法是观察其他工作领域如何培养出技能型的专业人员，并从中汲取经验教训。你是如何成为一名外科医生的？你是如何成为一名飞行员的？你是如何成为一名水管工的？

他们有一个想法：实践分解（decomposition of practice）。（Grossman及其同事（2009）[GrossmanEtAl2009]通过对比神学院、临床心理学与教师培训项目的研究，首次提出这一概念。）当你遇到一个困难而复杂的问题时，有时可以尝试将其分解成更小的问题，然后将它们组合起来，或许再做一些额外的工作，就能解决整个问题。在数学证明中，我们称之为引理（lemma）。它们是论证中可以分离出来的部分。

黛博拉在密歇根大学教职工中组织了一个小组，尤其是在她担任院长之后。这个小组致力于识别和发展他们最终称之为 “高杠杆实践”的东西——教师日常工作中会做的事情，这些事情能够真正影响教学。

我们希望教师们能够各自掌握这些技能，并最终将它们融会贯通。就像你是一名网球运动员，你会学习正手、反手、发球等等。但即使你把这些都学好了，也不意味着你就能打好比赛。你必须协调这些技能，并以某种方式将它们融合在一起。

图12： 2001年7月26日，从左到右依次为Deborah Loewenberg Ball、众议员Vernon Ehlers、Hyman Bass和Roger Howe，出席AMS美国数学会在国会山为国会议员及其工作人员举行的午餐简报会

经过几年的时间，这个团队列出了大约一百项实践。这很繁琐，而且它们彼此之间并非相互独立。下一步是将这些实践提炼成真正关键、对教学至关重要且影响深远的内容。最终，他们列出了19项高杠杆实践。例如，其中一项就是“引导数学讨论”。这份清单不断修改，内容或减少或扩充。之后，她在密歇根大学成立了一个名为 TeachingWorks 的机构，在全国范围内开展专业发展，以开发这些各种各样的高杠杆实践。

该领域的另一个问题是，成为一名教师需要什么条件才能获得执照？在美国，执照是由州政府颁发的。这本身并无不合理之处。例如，在法律上，每个州的做法都不同，因为法律实际上不同。但在医学领域，有全国考试。做心脏手术在密歇根州和阿拉巴马州的情况其实并没有什么不同。心脏、身体，总体来说都是一样的。同样，分数跨越州界时不要改变。

因此，数学国家标准的想法有道理。但这个国家的政治结构不适合以那种方式做事。黛博拉曾召开过一次会议，讨论在全国范围内推行数学教师执照制度的想法。这个想法有很多优点，但目前尚不清楚它是否能获得足够的政治支持。

图13：海曼出席于2007年在Oberwolfach（奥伯沃尔法赫）举行的数学教师专业发展会议

照片源：Ingeborg Pietzko

以连接为导向的数学思维

采访者：您什么时候决定将研究重点转向数学教育？

巴斯：它更具进化性，并且与年龄也有一定的关系。做严肃数学的要求很高，不仅要按时，还要在洗澡或散步时思考你的事情。记忆力也起着重要作用，但随着年龄的增长，记忆力会变得越来越差。全力以赴地进行严肃的数学研究和认真思考教育问题，同时又不失为一件很困难的事。

我和黛博拉一起做的工作主要集中在基础层面，但在数学上仍然比较复杂。在基础数学教育领域，很多工作都围绕着文化、公平和人类行为展开。这些方面很重要，而且绝对必要。但这些领域也是我感觉自己专业知识不足的领域。

我从来都不是一个思维敏捷的人，即使在K理论方面，我从一开始就深度参与其中。后来，当这个话题变得非常活跃时，就有人比我更快地参与其中，它也就变得意义深远，影响也远远超出了我的专业知识。

在教育领域，我对很多事情都很感兴趣，甚至有一些独到的见解。但我知道，这个领域有很多人思考的时间更长，可能也更有洞见。我觉得自己无法发表超越他们现有能力的言论。

所以我试着思考，哪些问题我感觉没有得到充分的重视，哪些方面我可以有新的见解？最近，我的思考开始围绕“数学连接”的概念，关于数学的统一性。从广义上讲，它关乎数学思想的一致性，而这些思想应该成为数学教育的一部分。

这里有一个问题：如果你认为数学是人们应该学习的知识和技能体系，那么我们该如何构建一个教育体系来为人们提供这些资源呢？在数学中，有分析和专门化与综合相对，还有分解和组合。你可以把数学分解成几个部分，然后分解它—— 这就是分析。通过这样做，我们可以识别你要教授的学科的一致部分并给它们命名，如数论、代数、几何、概率、微积分等等。我们有一个核心结构，它代表了学科的分解，这也是我们的教育结构。但合成又如何呢？

我研究过很多课程和教学。即使在本科教学中，学生们也觉得这些课程就像一座座孤岛，彼此之间毫无联系。这是一种孤立的结构。这会产生影响。

当学生遇到一个问题时，他们做的第一件事就是把它类型化（typecast）。这是一个数论问题。这是一个几何问题。这是一个微积分问题。

然后，如果问题解决方案需要他们从多个领域部署资源，而问题又不属于他们所定义的类型，他们就会下意识地不允许自己跨越界限，进入另一个领域。没有人告诉他们不要这样做。他们就是不这么做。

就像人们刚开始学习几何时，没有人会说，你不能在那个图形里画辅助线。但这是一种文化障碍。因此，有很多迹象表明，即使学生受过良好的教育，并且在各个领域都展现出高度发达的技能，他们仍然无法感受到数学整体的一致性。

当然，在外面的世界，问题是多学科的，跨越界限的。即使在数学内部，也是如此。

我从认知科学中想到的一个信息是你有多少知识，或者你有什么知识，都不够。更重要的是你的人脉有多广。换句话说，你所拥有的知识就是其各部分之间的连接发展得有多好。有各种证据可以证明这一点，其中一个来自认知心理学与一个叫做迁移（transfer）的概念相关。

如果你获得了A的知识，你能将其应用到B吗？其中B的结构与A大致相同。（例如，如果你在学校通过数轴学习了负数概念，能否将其运用于理解货币兑换场景？）迁移是关于你是否能够将知识输出到不同背景下结构相似的问题。嗯，实验表明转移很少发生。

所以我一直在思考，如何教人们建立数学连接？

当然，有很多种连接。有些连接相当明显。如果你给一张作业练习纸，那些问题都是相关的，学生们也能看出它们之间的联系。

图14：从左到右依次为 Hyman Bass、Charles E. Wilkes II、Deborah Loewenberg Ball 和 Yvonne Lai，摄于内布拉斯加大学林肯分校，2024年5月

我对那些不明显的连接很感兴趣，那些具有深度和微妙之处的联系。我对此感兴趣的一个原因是，数学以及科学领域的一些重大突破，往往源于人们意识到，两件看似毫不相干、或许属于同一学科不同领域的事物，实际上却以某种深层的方式相互关联。

例如，庞加莱在登上公交车时，突然意识到他所研究的富克斯函数变换与非欧几里得几何的变换完全相同。

“……就在我的脚刚踏上台阶的那一刻，这个想法突然闪现。我之前的任何思考似乎都未曾为此铺垫：我曾用于定义富克斯函数（Fuchsian function）的变换，竟与非欧几何中的变换完全一致。由于刚落座谈话便重新开始，我无暇验证这一想法，但在那一刻我感受到了绝对的确定性。” ——庞加莱，1908年，第388页 [Poincare1908]

或者以朗兰兹纲领为例。它涉及数论和伽罗瓦表示到调和分析的连接。这不是一个理论，而是一个人们将在未来几十年内继续研究的纲领。

数学就是寻找模式。数学家在实践中发现，当他们在不同情境下一遍又一遍地重复着本质上相同的工作时，他们发现了一种模式。当这种情况发生时，他们会问，所有这些“事物”究竟是什么，它们都是特例？这是一个概念性问题，因为这是一个还不存在的新概念。

抽象并非如此奇特。数字就是抽象。数字5。数字5在哪里？你能指出它吗？不能。但你可以举起5个手指，这就是5个事物的一个例子。我可以说，如果另一个事物是5个事物的一个例子，我可以具体地实现它，我可以证明元素之间存在一一对应的关系。说这两个事物相同是具体的。但如何给这种相同性命名呢？这是在创造新的东西，一个以前不存在的新概念。而这通常就是抽象的意义所在。

我的想法是，当你构建一个理论时，它实际上是在创建一个概念框架，涵盖许多看似不同，但其实是同一事物的案例。我尝试从许多不同的方向来探讨这个想法。

现在，我们无法教会学生拥有朗兰兹纲领或庞加莱那样的远见卓识，因为首先，你必须了解很多不同的东西才能做到这一点。但我最近一直在努力培养所谓的“面向连接的数学思维”。

我可以举出很多易于理解的例子。（例如，在[Bass2017]中可以找到若干示例：当海曼证明了一个通用的测度理论结构时，该结构构成了一组关于液体混合、离散计数和面积问题的基础。作者注）关键在于辨别和使用连接，并非指望我们无需指导就能做到。那么问题来了：如何教授面向连接的数学思维呢？这些是我最近一直在探索的想法。下个学期我休假了。我希望能够写一些有关它的东西。

在认知心理学的迁移实验中，参与者会被给予一对所谓的同构问题，比如问题 A 和问题 B 。实验者会将问题 A 教给参与者，然后给他们问题 B 。实验者想知道参与者是否能够识别结构等价性，并运用 A 的知识来解决 B 。他们发现这种情况很少发生。我的重点不在于迁移，而是强调建立连接。关键在于，即使你能够独立解决 A 和 B ，你仍然可能看不到它们之间的联系。而且，有时，即使问题看似等价，但实际上并非如此。

即使是相当基础的问题，根据它们的结构关联性进行排序或分类也可能颇具挑战性，尤其是它们是否真的等价或同构。我一直在开发各种材料，用于设计针对此类思维的教学活动。

6 数学家和教育家之间的关系

图15：2024年，海曼在密歇根州德克斯特的家中

照片源：加布里埃拉·巴斯 (Gabriella Bass)

采访者：在1990年代到21世纪初的数学战争中，您担任过多个管理职位，包括美国数学会和美国国家科学院。您认为这些数学战争最大的影响是什么？

巴斯：我认为数学战争是有点做作。尽管如此，它们还是让事情倒退了很长一段时间。

这是一个复杂的故事。数学和数学家们所遭受的困扰之一，就是精英主义，甚至是傲慢。在“数学战争”中，一些数学家试图维护自己的权威，因为他们证明了一些定理，而且他们在一所好大学里拥有职位。因此，他们不受质疑。

这就像社会认定，如果你拥有某种真正高度发达的技能和技术领域，那么你就很有智慧，拥有真知灼见，可以为几乎所有人类关注的领域做出贡献。甚至有人认为，当工程师因为某些行业转型而失业时，他们有资格当老师，这也是其中的一部分原因。

数学家们对严谨、诚实地处理数学主题非常讲究。但有趣的是，即使是优秀的数学家也并不总是能就如何以最佳方式呈现这些思想达成共识，更不用说了解教学的内涵了。

所以，事实上，人们普遍对教师怀有一种蔑视。人们可能不会直接表达这种蔑视。只是觉得教师没有地位。一些数学家认为，教师不应该被听取，而应该听取我们的意见。这才是阻碍进步的真正障碍。

如何提升教师职业的水平和地位？这很复杂。即使在教育领域，要做到这一点也有很多问题。例如，发展高水平的实践需要高水平的评审。如果你是艺术家或建筑师，同行会进行“评审”。学医时，也会有评审会。在艺术工作室里，其他艺术家会围着你的画稿或作品，提出一些非常有见地的问题。你为什么这样做？你觉得换个位置怎么样？颜色、构图等等怎么样？艺术家、建筑师和外科医生都习惯了这种做法。他们是认真的实践者，会倾听同行的意见。在很多领域，这种做法都非常有效。

但教学本身就非常私密。当其他人介入并试图评估他们的工作时，教师们常常感到不安全——这是有充分理由的。评估的方式过于惩罚性且缺乏建设性，有时甚至是由对这项工作缺乏足够了解的人进行的。因此，有很多方面需要改变。数学家并没有帮助人们安全地发展和改进文化。如果你想改善一个庞大职业的实践，你就无法通过嘲笑该职业的成员来推进这一事业。

当然，辩论是必要的。教育必须不断发展，这个领域也有一些好的想法，例如持续改进的理念，以及从系统层面审视问题（例如[ParkHironakaCarverNordstrum2013]）。

黛博拉所做的工作非常扎实，非常注重实践层面。如果不了解实践者在基层如何运用，任何事物都无法完全实现。但我们也需要在系统层面进行更多思考。然而，讽刺的是，实际的教学工作却是教育领域中研究最少的部分。

采访人：您对未来数学家和教育家之间的互动有什么期望？

巴斯：嗯，总的来说，我认为是和谐。我认为这方面实际上已经取得了很大进展。

数学家们应该更加重视教育——不仅要尊重K12教育，还要尊重大学阶段的教育。

并非每个人都应该以同样的热情投入这项工作。但我们必须给予部门内从事这项工作的人员更多的尊重和地位。数学家需要认识到这项工作与他们的研究同等重要，甚至具有协同作用，事实上，这项工作能够丰富他们的研究。

参考资料

https:///html/2502.09751v1

https://www./journals/notices/202506/noti3189/noti3189.html

[Bas63]

Hyman Bass, On the ubiquity of Gorenstein rings, Math. Z. 82 (1963), 8–28, DOI 10.1007/BF01112819. MR153708

[Bas68]

Hyman Bass, Algebraic K-theory, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1968. MR249491

[Bas73a]

Hyman Bass, Algebraic K-theory, i. “Classical” algebraic K-theory, and connections with arithmetic (vol. 1), Springer, 1973.

[Bas73b]

Hyman Bass, Algebraic K-theory, ii. “Classical” algebraic K-theory, and connections with arithmetic (vol. 2), Springer, 1973.

[Bas73c]

Hyman Bass, Algebraic K-theory, iii. “Classical” algebraic K-theory, and connections with arithmetic (vol. 3), Springer, 1973.

[Bas76]

小乐数学科普：采访数学家海曼·巴斯Hyman Bass（下篇）——译自AMS Notices美国数学会通告202506

Hyman Bass, Euler characteristics and characters of discrete groups, Invent. Math. 35 (1976), 155–196, DOI 10.1007/BF01390137. MR432781

[Bas15]

Hyman Bass, Mathematics and teaching, Notices Amer. Math. Soc. 62 (2015), no. 6, 630–636.

[Bas17]

Hyman Bass, Designing opportunities to learn mathematics theory-building practices, Educational Studies in Mathematics 95 (2017), no. 3, 229–244.

[BCR01]

Hyman Bass, Lisa Carbone, and Gabriel Rosenberg, The existence theorem for tree lattices (appendix), Tree lattices, 2001.

[BK90]

Hyman Bass and Ravi Kulkarni, Uniform tree lattices, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), no. 4, 843–902, DOI 10.2307/1990905. MR1065928

[BL01]

Hyman Bass and Alexander Lubotzky, Tree lattices, Progress in Mathematics, vol. 176, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2001. With appendices by Bass, L. Carbone, Lubotzky, G. Rosenberg and J. Tits, DOI 10.1007/978-1-4612-2098-5. MR1794898

[BMS67]

H. Bass, J. Milnor, and J.-P. Serre, Solution of the congruence subgroup problem for SL_n(n≥3) and Sp_{2n}(n≥2), Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 33 (1967), 59–137. MR244257

[Car01]

Lisa Carbone, Non-uniform lattices on uniform trees, Mem. Amer. Math. Soc. 152 (2001), no. 724, xii+127, DOI 10.1090/memo/0724. MR1841021

[CR03]

Lisa Carbone and Gabriel Rosenberg, Lattices on nonuniform trees, Geom. Dedicata 98 (2003), 161–188. MR1988428

[LM99]

T. Y. Lam and A. R. Magid (eds.), Algebra, $K$-theory, groups, and education, Contemporary Mathematics, vol. 243, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999. On the occasion of Hyman Bass’s 65th birthday; Papers from the conference held at Columbia University, New York, November 6–7, 1997, DOI 10.1090/conm/243. MR1733562

[Ree88]

Mina Rees, The mathematical sciences and World War II, A century of mathematics in America, Part I, Hist. Math., vol. 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988, pp. 275–289. MR1003177