很多学生反映，平行四边形这一章内容量太大，导致没学会。遇到一个几何问题，不知道用哪条性质或者用哪个判定来解决它。
本文将系统梳理平行四边形的性质和判定，文章有点长，可以先收藏本文，以防需要的时候找不到它。
其实学习平行四边形这一章只需要掌握四个定义，也就是平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义，再分别按照边、角、对角线的顺序去梳理它们的性质和判定即可。
第一个方面，关于边的性质。顾名思义，可以肯定平行四边形的两组对边分别平行，这来自平行四边形的定义。沿着一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形（SAS即可证明），结合全等三角形的性质，可以得到平行四边形的两组对边分别相等。
第二个方面，关于角的性质。由于两直线平行同旁内角互补，所以平行四边形的四组邻角互补，通过同角的补角相等，进而得到平行四边形的两组对角相等。
第三个方面，关于对角线的性质。两条对角线把平行四边形分成四个小的三角形，这里有两组全等三角形，结合全等三角形的性质，得到平行四边形的对角线互相平分。
首先定义可以作为一个判定。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
关于边的还有两个判定方法。第二个是两组对边分别相等的四边形是平行四边形。通过平行四边形的一条对角线，得到一组全等三角形（SSS即可证明），结合全等三角形的性质，从而有对应角相等。内错角相等，两直线平行，那么就可以证明两组对边分别平行，最终回到平行四边形的定义。
第三个关于边的，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。一样的，连接平行四边形的一条对角线，可以证明两个三角形全等（ASA即可证明），从而有对应角相等，也就是内错角相等，两直线平行，那么就可以证明两组对边分别平行，最终回到平行四边形的定义。
第二个方面，关于角的判定。由于两组邻角互补的四边形不能保证是平行四边形，这里就不再探究通过邻角的关系得到平行四边形。邻角需要的条件偏多，对角呢？于是就有，两组对角分别相等的四边形是平行四边形。它的证明过程非常简单，因为平行四边形的内角和等于360°，由于两组对角相等，那么我们可以得到任意一组邻角的和等于180°。根据同旁内角互补，两直线平行，最终回到平行四边形的定义。
第三个方面，关于对角线的判定。对角线互相平分的四边形是平行四边形。连接两条对角线，可以得到两组全等三角形，结合全等三角形的性质，根据内错角相等，两直线平行，最终回到平行四边形的定义。
通过学习平行四边形的性质和判定，总结一下学习方法，我们都是从平行四边形的定义出发，推导出关于边、角、对角线的性质；对于平行四边形的判定，从边、角、对角线给出的已知条件出发，通过证明四边形的两组对边分别平行，也就是回到平行四边形的定义，来验证判定方法的正确性。
矩形的性质与判定
有了平行四边形的探究方法，下面我们来看看矩形的性质和判定。首先是矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形。
也就是说，矩形是特殊的平行四边形，所以探究关于矩形的性质就变得很简单。
第一个方面，关于边的性质。那肯定会继承平行四边形的性质。两组对边分别平行且相等，有一个角是直角，所以导致矩形的邻边互相垂直。
第二个方面，关于角的性质。由于两直线平行，同旁内角互补，又有一个直角，从而得到矩形的四个内角都是直角，即四个内角相等。
第三个方面，关于对角线的性质。由于矩形的四个内角都是直角，那么我们可以得到一组新的三角形全等，进而得到矩形的对角线是相等的。于是矩形关于对角线的性质，矩形的对角线互相平分且相等，互相平分是继承的平行四边形的性质。
首先定义肯定是可以作为一个判定的，有一个角是直角的平行四边形是矩形。
把平行四边形弱化变成四边形，我们就产生了第二个判定方法，有三个角是直角的四边形是矩形。通过同旁内角互补，两直线平行，可以证明这样的四边形是平行四边形，进而回到矩形的定义。
然后第三个判定方法，我们通过矩形关于对角线的性质的特殊性，我们可以得到对角线相等的平行四边形是矩形。由于对角线相等，我们可以得到一组全等三角形，从而对应角相等，又这组对应角是同旁内角，两直线平行同旁内角互补，故得这两个角都是直角，进而回到矩形的定义。
然后一样的把平行四边形弱化变成四边形，那就得到对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
菱形的定义是有一组邻边相等的平行四边形是菱形。很明显菱形也是特殊的平行四边形，探究菱形的性质与判定的过程跟矩形的类似。
第一个方面，关于边的性质。很明显，它继承了平行四边形的性质，菱形的两组对边分别平行且相等，由于菱形的邻边又相等，故有菱形的四条边都相等。
第二个方面，关于角的性质。很明显，它完全继承了平行四边形的性质，也就是菱形的四组邻角互补，两组对角相等。
第三个方面，关于对角线的性质。其实我们把菱形沿对角线切开，就得到一组全等等腰三角形，于是有菱形的每一条对角线平分每一组对角。结合等腰三角形三线合一的性质，我们马上可以证明菱形的对角线互相垂直平分。
首先是定义可以作为第一个判定方法，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
把平行四边形这个条件弱化成四边形，得到菱形的第二个判定，四条边都相等的四边形是菱形。由于四条边都相等，则四边形的两组对边分别相等，可以得到这个四边形是平行四边形，进而回到菱形的定义。
第三个就是从对角线的角度来探究菱形的判定方法。根据菱形的对角线的特殊性，那就是对角线互相垂直的平行四边形是菱形，把平行四边形弱化成四边形，得到菱形的第四个判定方法，对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
首先要知道，正方形的定义，既是矩形又是菱形的四边形是正方形。当然正方形是一种特殊的正多边形。当边数为4的时候就是正方形，所以说按照正多边形的普遍定义，我们还可以得到正方形的另外一种定义，那就是四条边都相等，四个角都相等的四边形是正方形，这是关于正方形的第二定义。接下来探究四边形的性质。
第一个方面，关于边的性质。正方形的四条边都相等，邻边互相垂直。
第二个方面，关于角的性质。正方形的四个内角都是直角。
第三个方面，关于对角线的性质。它继承了矩形的和菱形关于对角线的性质，即正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分每一组对角。当然，还有它的特殊性，正方形的每一条对角线与边所形成的夹角都是45°，这是正方形的特殊性。
正方形的判定非常多，我们就不按边、角、对角线的顺序来探究。我们换一个角度，我们通过矩形、菱形、平行四边形、四边形这四个方面来一一梳理。
有一组邻边相等的矩形是正方形，然后通过对角线的特殊性，怎么特殊化就可以变成正方形呢？我们加点菱形的对角线的特性，那就是对角线互相垂直的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形，然后加点矩形的特殊性，矩形的对角线是相等的，所以说对角线相等的菱形是正方形。
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，这个判定方法很常用。然后通过对角线的特殊性，于是就有对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，这个判定方法很少用。
四条边都相等且有三个角是直角的四边形是正方形，通过对角线的特殊性，那就是对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，以上就是关于正方形的性质和判定。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定这部分内容，表面上感觉各种性质和判定一大堆，其实按照边、角、对角线的顺序去理解和推导，大脑形成知识体系，简直就是小菜一碟。
要想学好几何，其实就是要学会从定义和公理出发，得到相关的定理，再结合定理推导出更多的定理。
请注意，靠题海战术是学不好几何的，明白几何中的那些定义、公理、定理是怎么来的非常重要，做题的目的是理解几何体系中每一个定理的来龙去脉，在脑子里形成几何学的导图，遇到新的问题就可以用类似的方法解决，这才是学习几何的科学方法。
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