我从幼儿园小朋友那里学到的关于多边形的一切知识——AMS美国数学会专栏

今年秋天，我一觉醒来发现自己经受了一场突如其来的综合考试，考官竟然是我家刚刚蹒跚学步的小屁娃，考试第一题就是画一个非凸正多边形。当时是凌晨4点半，我还没喝咖啡呢。

作者：Courtney Gibbons（汉密尔顿学院，数学副教授）2025-12-1

她研究交换代数和同调代数，主研方向是无限自由分解，通常以Boij-Soderberg理论为视角。

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-12-3

“妈妈，再来点多边形！”这成了我家娃的口头禅。对于我这个几何直觉如同平面国居民般的代数学家来说，有个痴迷于形状的孩子确实是个挑战，但同时也是一次有趣的冒险。

家长（或童心未泯的大人）小贴士：有一首很棒的适合儿童的歌曲以及配套的音乐视频，叫做《九边形》Nonagon https://www./watch?v=z5m8BWk5LoQ ，是They Might Be Giants乐队（该名字取自一部电影名）演唱的。

我还为三四年级的学生制作了一份练习题，用“No Triangles”的游戏（谁先连线得到三角形的人输） https://github.com/CRGibbons-Lab/galois-goofballs/blob/main/For-Kids/No-Triangles/wrapper.pdf 来讲解形状和计数！

作为一名数学家最棒的事情之一（也是为人父母的共同之处）就是你永远不知道自己会需要什么知识。我在研究生时期接触到的多面体让我掌握了足够的知识，足以跟上孩子的步伐。

本专栏文章将带你踏上一段从多边形polygon到多面体polyhedra再到多胞形（polytope，有界凸多面体）以及更远领域的探索之旅。

多边形

我家孩子对多边形的痴迷可以追溯到我第一次把停车标志叫做八边形octagon的时候。16个月大的时候，他就开始想要更多“边形”。我最早了解到的一件事是，古希腊人对边数达到数亿甚至更多的多边形都有专门的命名。“polygon”多边形这个词源于古希腊语，“poly”的意思是“多”（比如“polynomial”多项式或“许多数字”），“gon”指的是角。

想要一个有1亿条边的多边形吗？我想它应该叫“亿边形” myriakismyriagon。想要一个有无限多条边的多边形吗？那就是“无限边形”（apeirogon，它和圆不一样！）。

五边形pentagon准备参加多边形派对。

我的默认涂鸦是一个凸（convex）正n边形，其中3≤n≤7。

多边形的定义就是由若干线段通过它们的顶点依次连接起来，形成一个闭合的环路。严格来说，构成多边形的线段可以相交，但我的孩子只能识别出不相交的简单多边形simple polygon。

在将讨论范围限定在简单多边形之后，我的孩子发现了非正则（irregular）多边形（边长不相等或角度不相等的多边形），然后又发现了非凸（nonconvex）多边形——可以从多边形内部的两点画出一条线段，这条线段会穿过多边形的边界线段。

不是非正则的多边形称为正多边形regular，不是非凸的多边形称为凸多边形convex！最近，我三岁的孩子定义了“矩形非凸五边形”，并将其推广为“矩形非凸多边形”，他指的是凸包为矩形的非凸多边形。

什么是凸包convex hull？如果你在平面上取一个任意形状，用橡皮筋将其拉伸，然后松开，橡皮筋会弹回一个包含原形状的最小凸形。这个橡皮筋形状就是凸包。形式上，点集 S 的凸包是包含 S 的最小凸集，或者等价地，是 S 中的点所有凸组合的集合。

对于非凸多边形，用我孩子的话来说，凸包就是“填满缺口”后得到的图形。所以，我孩子所说的“矩形非凸多边形”恰好是指那些缺口可以填满形成矩形的多边形。

我喜欢这个定义，但我期待他能发现关于凸性convexity的另一种视角，这种视角能让“填补缺口”的想法在数学上更加精确。ℝᵈ 中的一个（闭）半空间是超平面的一侧：形如 {x : ℓ(x) ≥ c} 的集合，其中 ℓ 为某个线性泛函，c 为常数。我所指的定理指出，凸集有两种互补的描述。

一方面，你可以通过取生成点集的所有凸组合来构造一个凸包。另一方面，同一个凸集也可以描述为包含它的所有半空间的交集。在二维空间中，这就是我们熟知的凸多边形是由其支撑线（supporting line）确定的半平面的交集；在高维空间中，它是多面体几何的基石。我喜欢它，因为它允许你根据哪个视角能使问题更容易处理，在“点生成形状”和“不等式勾勒形状”之间切换。

排除自相交多边形会带来一些尴尬的后果。今年秋天，我一觉醒来发现自己被突如其来的综合考试难住了，而监考老师竟然是我的孩子，考试第一题就是要我画一个非凸正（简单）多边形。当时是凌晨4点半，我还没喝咖啡。在欧几里得空间里，这根本不可能，我把它看作是我们共同提出的第一个猜想。

琐碎的想法 — 图释一下给定n的不同正n边形的角度

这些问题常常让我夜不能寐（如果它们没有把我从睡梦中唤醒的话），我在脑海中不停地画着几何图形。欧几里得也遇到过同样的问题吗？！

非欧几里得双曲空间中的正多边形是埃舍尔（M. C. Escher）的灵感来源。多丽丝·沙茨施奈德（Doris Schattschneider）重建了考克斯特Coxeter对埃舍尔圆极限的一些注释 https://www./notices/201006/rtx100600706p.pdf 。比尔·卡塞尔曼（Bill Casselman）也在他2010年的专栏文章《埃舍尔是如何做到的？》How Did Escher Do It? 中谈到了埃舍尔的作品。 https://www./publicoutreach/feature-column/fcarc-circle-limit

一个抛物面（parabolic plane）的局部，另一侧有幼娃涂鸦。

作者试图绘制一个用六边形铺砌的抛物面（即使看起来不像，但它是凸的！），但她被她最年轻的合作者打断了。

我和孩子目前正在一起阅读《多边形图解》A Panoply of Polygons https://bookstore./view?ProductCode=DOL/58 （悲伤的是，该书合著者之一是数学家兼科普作家克劳迪·阿尔西纳Claudi Alsina，上月逝世，享年73岁，他警告人们不要相信基于数学公式的爱情预测：“关于爱情预测的定理都是骗局。”他还强调，“严谨的数学是用头脑完成的，而优美的数学是用心传授的。” https://en.t/society/claudi-alsina-mathematician-and-popularizer-dies-at-age-73_1_5563813.html 译者注）。他很沮丧，因为一个给定的多边形不一定能铺满整个平面，但我们在学习五边形方面取得了一些令人兴奋的进展，以跟上最新的文献 https://mathvoices./featurecolumn/2023/06/01/hat-tricks/ 。

我最喜欢的多边形是十七边形heptadecagon，它在《多边形全集》Panoply 中得到了充分的阐述。高斯证明了正17边形可以用圆规和直尺构造出来（这是我迄今为止对“代数”几何理解最接近的一次） https://www./article/why-this-great-mathematician-wanted-a-heptadecagon-on-his-tombstone/ 。具体来说，他证明了 cos(2π/17) 是代数的（即代数数），这意味着它可以由整数通过加法、乘法、n次幂及其逆运算构造出来。

更一般地，高斯证明了正n边形可以用直尺和圆规构造，当且仅当 n 是 2 的幂与不同的费马素数的乘积。费马素数是形如 F_k = 2^{2^k} + 1 的数；目前已知的费马素数只有五个（3, 5, 17, 257, 65537），而 17 是五边形之外第一个“非平凡”的费马素数。因此，正十七边形是第一个不能从欧几里得几何中直接构造出来的正多边形。（虽然据说高斯从未画过正十七边形，但我认为我画过很多正十七边形，所以很可能至少无意中画过。）

妈妈眼中的多边形：多边形锥（polygonal cone）。

当代数学家看到一个多边形时，他们首先想到的就是让它生成一个锥：取其所有顶点（或者边，取决于你的心情）的非负线性组合，就能得到一个多面体锥（polyhedral cone）。在二维空间中，这就像用手电筒从原点照射多边形，然后观察光线如何填充一个楔形区域。锥体让多边形开始展现出“长大”的一面：它们可以在任何维度中自由生长，它们可以用不等式自然地描述，而且它们也是后文中出现的扇（fan）的素材。

我的孩子曾经喜欢过很多多边形，但他目前最喜欢的是正五边形和正三角形——哦，不，我是说等边三角形。为什么呢？

第三维度

等边三角形向 19 位朋友解释如何制作二十面体。

这个正二十面体（icosahedron）由20个等边三角形组成。和19个朋友一起拍集体照是个好主意吗？

你最近仔细观察过足球吗？它的表面是由六边形hexagon和五边形组成的；事实上，它由12个五边形和20个六边形构成。想象一下，一个由20个等边三角形组成的正二十面体，然后切掉一个顶点。每个顶点都是五个三角形的顶点，所以切掉一个顶点后，就得到了一个五边形。对每个顶点都重复这个操作，你会发现截角二十面体其实就是一个形状紧凑的足球（或者说，足球就像一个略微膨胀的截角二十面体）。因此，在我孩子眼里，足球就是连接正五边形和等边三角形的神奇纽带。

我本无意承认多边形可以推广到多面体，但我偶然得到了一本温宁格Wenninger的《多面体模型》Polyhedral Models https://www./core/books/polyhedron-models/10671EF05A56A5697C670A4C0E973ACF ，于是我们突然开始探讨截角（truncation）、星形化（stellation）以及最终构造“均匀非凸立体”的种种细节。

对我而言，欧拉示性数（Euler characteristic）是计算代数不变量的工具。但我的孩子对著名的欧拉示性数公式（顶点数V – 棱数E + 面数F）有着直观的理解，并且明白对于任何凸多面体，这个公式都等于二。每个凸多面体也都有一个“内部空间”和一个“外部空间”，这就是我对“二”的理解。

我的孩子最终会明白，如果你拿一个凸多面体，忽略它的棱是直线，它的表面在拓扑学上就是一个球面。对于任何表面是球面的物体，欧拉示性数都是 2；这才是公式真正度量的。神奇之处不在于数字 2 本身——而在于无论你有多少个面，或者你如何奇特地组合它们，只要保持凸性，这个交替计数就不会改变。（我和孩子用磁力片发现，小星形十二面体small stellated dodecahedron的欧拉示性数大约是6 ；他现在还不认识负数，事实上是-6）

面、棱和顶点是构成我最喜欢的组合定义凸形状——单形（simplex，复数为simplices）——的基本单元。对于每个维度，都存在一个标准单形：顶点是零维单形；棱是一维单形，它的余维数为1的面由两个顶点构成；等边三角形是二维单形，它的余维数为1的面由三条棱构成，余维数为2的面由三个顶点构成；正四面体是三维单形，具有四个三角形面、六条棱和四个顶点。

在维度d中，标准单形有d+1个顶点，并且这些顶点的每个子集都构成一个面。因此，一个4维单形有5个顶点、10条棱、10个三角形面和5个四面体面。你不能像想象四面体那样想象它，但你仍然可以把它视为该维度中“最简单的多胞体”，并对其进行计数和推理。单形是多胞体委婉地向世人介绍自我的方式。

多胞体（polytope）是有界多面体；等价地，它是有限个点的凸包。虽然有些人认为多面体是多边形的三维对应物，但齐格勒Ziegler的《多胞形讲义》 Lectures on Polytopes https://link./book/10.1007/978-1-4613-8431-1 将多面体描述为（超）半空间的潜在无界交集。多胞体与多边形一样，是有界的。

所有这些概念之间的联系是什么？对我来说，它被称为单纯扇（simplicial fan）。锥（cone）是一个在正（positive）缩放下封闭的集合：如果 x在锥中，那么对于所有 λ≥ 0，λx 也都在锥中。扇是由有限的、沿公共面拼接在一起的多面体锥组成的集合，就像一块以原点为共同顶点的几何拼接的被子。

当你不再问“形状是什么？”，而是开始问“形状在哪些方向上表现相同？”时，扇就出现了。如果扇中的每个锥都由线性无关的射线生成，则该扇是单纯的（simplicial）——因此每个锥看起来都像是高维三角形楔形的类似物。

具有五边形正包络（positive hull）的单纯扇。它也是五个半空间的交集。

一切都回到了原点。凸包是半空间的交集？这就好比多胞形及其正规扇用同一种语言的两种方言表达。多边形锥？那是扇的基本构成单元。单纯形？某种意义上，单纯扇就是你用三角剖分方向空间得到的结果，就像我孩子把二十面体称为镶嵌椭球体一样。如果我的孩子继续要求“更多多边形”，我估计他接下来会要求“更多锥”，之后，必然会要求“更多扇”。