学习，说起来不费吹灰之力，真学则是洪荒之力而不及。
“学习论”之类于我，有不可抵拒的吸引力，时不时就要“沉浸式”学一番。这次，有些慢节奏，许是久不学习以致学力退化的缘故。
索性换一个频道，晚上翻出收藏夹里的一个讲座，沐浴而端坐，认认真真学习。以下是我的学习随笔：
一
台湾省施皓耀教授所用这个平行四边形变形素材，很好！
苏教版2013年版数学五年级教材中有这样的练习，本人在同年级“数学画”课程中有专门的一节课，曾在安徽省阜阳市、无为市等地做过公开教学。课中除了这个素材，还有更常见的平行四边形框拉伸变形问题，属于两种不同的平行四边形变形问题。本人也有发表过相关文章，这里不赘述。
所以，那些声称“第一次见到”的名师，是什么情况呢？苏教版数学教材在国内还是有一定影响力的呀！
当然，以施皓耀教授的数学博士的视野，还有体积上的变体，如上图。
二
关于当前争论得热热闹闹的“被除数乘数”问题，我不想评论；在此只谈一点自己的看法。（第二条内容，是我看施皓耀教授讲座之前的想法。如果看过后想法有改变或进阶，我会在后面写明）
第一，我们要区分“乘法本质意义”与“乘法记录方法”。
“每盘3个苹果，这样的8盘有几个苹果，到底写成8×3还是3×8？”——对这个问题的争论根本没有意义！因为，这仅仅是记录方法，或者说写法问题。写法是人为规定的，当然怎么写都可以，有什么好争论的？
抛开写法先不看，那么“每盘3个苹果，这样的8盘有几个苹果？”这个问题的数学意义是什么呢？
那要分不同的观察视角，既可以表示“8个3相加的和”，也可以表示“3个8相加的和”。对于大部分人来说，看到的是“8个3”；也不能排除有一些人能看到“3个8”，比如将每个盘子里苹果编号，1号苹果有8个，2号苹果有8个，3号苹果有8个，这不就是“3个8”吗？
3个8，和8个3，都能用乘法表示。即，乘法的本质是几个几（几个相同加数的和的简便运算）。其他都是非本质问题。
也就是被乘数乘数在乘法定义或产生之初就是有区分的，我们要求学生明确乘法里到底是在表示几个几，其实就是在区分被乘数与乘数，但是它们的书写顺序没有必要硬性规定必须怎么样。
这里，我们要注意：乘法的写法可以两种，由一个具体情境抽象出的乘法意义也可以是两种。即在具体情境中，可以抽象出不同的意义。
比如上述苹果情境，既可以抽象出“8个3”，也可以抽象出“3个8”。
在实际教学中，关键是学生能清楚是“几个几”，Ta看到了“几个几”，明白在Ta的眼中看到的相同加数是什么，个数是什么？
有教材（其代言人）声称，为了遵循学生认知规律，第一次接触乘法时，不宜出现两种意义，否则容易混淆而导致认识混乱。所以，只引导看到最常见最容易看到的一种意义即可，比如上例中只需要看到“8个3”。
甚至，有的教材连写法也只出现一种。个人不太赞同写法只出现一种的编排，即使是初学阶段也不宜。理由是：
1.只出现一种写法，容易导致教师严格规定乘法的书写顺序。比如“8个3”只能写成“3×8”，会对很多学生造成不必要的学习障碍和负担，降低学生数学学习的成功体验。
2.初学是一种写法，不久又两种写法都可以，为什么不一开始就两种写法呢？
3.学生对乘法意义的理解与乘法算式的写法有关系吗？是不是严格规定一种写法的学生就比两种写法都可以的学生更能够理解乘法的意义呢？争论到现在，没有哪位大咖拿出实证数据呀！甚至，有没有人做过这样的实证研究呢？目前最接近的也只是有人举例说2001年课改以来，不再严格区分乘法算式书写顺序后，中国学生的乘法学习乃至数学学习并没有受到明显的影响，但只是这么说，没有谁拿出数据。
4.推及到乘法意义，初学时一定只出现一种更有利于学生学习吗？有没有实证数据？
三
施皓耀教授提到小数乘法竖式，像上图左边按照“数位即小数点对齐”的方式，更符合算理。这一点特别亮眼！我之前没有见到过，细想起来挺合理很精妙！
忍不住，做了一番实操：
想起不久前，数学教学界一再热议的“运算的一致性”问题。用这种方法笔算，不就是非常典型的乘法运算的一致性吗？！计数单位相乘得到积的计数单位，数值相乘作为积的每个计数单位上的数值。
施皓耀教授提到一个很重要的观点：更正确合理的方法不一定方便。为了学生更方便更容易更不易出错地学习，很多时候我们会采用更方便的方法。比如小数乘法笔算采用转化成整数乘法的算法，竖式采用末位对齐而不是小数点（相同数位）对齐。
再比如小数除法笔算运用商不变性质转化后再算，当然结果需要做相应处理。其实，如上图所示，中间圈出来的方法是更加合理更加本质的，但是不方便，学生容易出问题。所以教学上，多采用上图左边的方法。
这里就涉及数学知识本质与数学教学方法之间的差异问题，个人以为，这也是数学教学基于学生发展需要的一种温柔转身。