齿轮传动作为机械传动中最主要的传动形式之一，其性能指标直接影响机械设备的运行质量和工作寿命。
重合度 作为评价齿轮传动平稳性的重要参数，对齿轮传动的振动噪声、承载能力和传动精度有着决定性影响。
本文主要介绍齿轮传动重合度的基本概念、计算原理、设计方法以及在工程实践中的具体应用，为工程实践者提供一定的参考。
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齿轮传动重合度简介
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一、重合度的基本概念与重要性
1. 重合度的定义
重合度（ Contact Ratio ）是指 齿轮啮合过程中，同时参与啮合的轮齿对数 的平均值。从几何角度看，它表示实际啮合线长度与基圆周节的比值。重合度大于 1 是保证齿轮连续传动的必要条件，表示在前一对轮齿脱离啮合前，后一对轮齿已经进入啮合状态。
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2. 重合度的物理意义
传动平稳性 ：重合度越高，同时参与啮合的齿数越多，载荷分配越均匀，传动越平稳
振动噪声控制 ：足够的重合度可减小啮入啮出冲击，降低振动和噪声
承载能力 ：多对齿分担载荷可提高齿轮的承载能力和使用寿命
传动精度 ：影响运动传递的连续性和准确性
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3. 重合度的分类
端面重合度 （ Transverse Contact Ratio ）：在齿轮端平面内计算的重合度
轴向重合度 （ Face Contact Ratio ）：斜齿轮特有的沿齿宽方向的重合度
总重合度 （ Total Contact Ratio ） ：端面重合度与轴向重合度之和
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齿轮重合度的计算
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(图片来源网络)
1. 直齿轮重合度计算
(1) 几何关系分析
直齿轮的端面重合度 εα 计算公式为：
εα = [√(ra ₁ ² – rb ₁ ² ) + √ (ra ₂ ² – rb ₂ ² ) – a · sin α ‘] / ( π· m · cos α )
其中：
ra ₁ , ra ₂ ：主从动齿轮齿顶圆半径
rb ₁ , rb ₂ ：主从动齿轮基圆半径
a ：实际中心距
α’ ：啮合角
m ：模数
α ：压力角
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(2) 实际啮合线长度
重合度也可表示为实际啮合线长度与基圆周节 pb 的比值：
εα = L / pb = L / (πmcosα)
其中 L 为实际啮合线长度， pb 为基圆周节。
(3) 重合度计算公式简化
对于标准安装（ a=a0 ）的标准齿轮（ ha*=1,c*=0.25 ），重合度可简化为：
εα = [z ₁ (tan α a ₁ – tan α ‘) + z ₂ (tan α a ₂ – tan α ‘)] / (2 π )
其中 αa 为齿顶圆压力角。
2. 斜齿轮重合度计算
斜齿轮的重合度由两部分组成：
(1) 端面重合度 εα
计算方法与直齿轮类似，但使用端面参数（ mt, αt ）计算。
(2) 轴向重合度 εβ
εβ = b·sinβ / (π·mn) = b·tanβ / pt
其中：
b ：齿宽
β ：螺旋角
mn ：法向模数
pt ：端面周节
(3) 总重合度 εγ
εγ = εα + εβ
斜齿轮通常具有较大的重合度，这是其传动平稳性好于直齿轮的重要原因。
3. 内齿轮副重合度计算
内齿轮副的重合度计算与直齿轮类似，但需注意齿顶圆半径关系的变化：
εα = [√(ra ₁ ² – rb ₁ ² ) – √ (ra ₂ ² – rb ₂ ² ) + a · sin α ‘] / ( π· m · cos α )
其中 ra ₂ 为内齿轮齿根圆半径。
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重合度的影响因素
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1. 几何参数影响
(1) 齿数影响
齿数增加 → 重合度增大
小齿轮齿数影响更为显著
(2) 模数影响
模数变化对重合度影响较小
主要影响齿高和基圆周节
(3) 压力角影响
压力角增大 → 重合度减小
标准压力角一般为 20°
(4) 齿顶高系数影响
齿顶高系数增加 → 重合度增大
但过大易导致过渡曲线干涉
2. 斜齿轮特殊参数影响
(1) 螺旋角影响
螺旋角增加 → 轴向重合度增大
但过大轴向力增加
(2) 齿宽影响
齿宽增加 → 轴向重合度线性增加
受加工和安装精度限制
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3. 安装参数影响
(1) 中心距影响
中心距增大 → 重合度减小
但变位齿轮可补偿
(2) 变位系数影响
正变位适当增加 → 重合度可能增大
需综合考虑其他性能指标
重合度的设计方法与优化
1. 重合度设计基本原则
最小重合度要求 ：一般工业齿轮 εα≥1.2 ，高速齿轮 εα≥1.4
合理范围 ：直齿轮通常 1.2-1.9 ，斜齿轮可达 2.0-3.5
均匀性考虑 ：避免重合度接近整数造成振动
2. 提高重合度的设计方法
(1) 参数优化选择
增加齿数（不改变传动比时可减小模数）
采用较小压力角（如从 20° 减小至 15° ）
增大齿顶高系数（需校核不产生干涉）
(2) 齿轮类型选择
优先选用斜齿轮
采用双斜齿轮或人字齿轮消除轴向力
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齿轮传动之为什么要用斜齿轮？一文详述斜齿轮
(3) 变位设计
适当正变位增加实际啮合线长度
角变位调整啮合特性
齿轮传动：一文详述行星齿轮传动齿轮的变位和啮合
(4) 修形技术
齿顶修缘减小啮入冲击
鼓形齿改善载荷分布
齿轮传动之齿轮修形的意义何在？一文详解齿轮修形
3. 重合度与其他性能的平衡
弯曲强度 ：增大重合度可能减小单齿载荷，但齿厚变化影响齿根强度
接触 强度 ：多齿分担载荷有利于接触疲劳寿命
效率 ：过大的重合度增加滑动摩擦损失
噪声 ：非整数重合度有助于分散啮合频率能量
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重合度在齿轮传动中的应用
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1. 齿轮传动设计中的应用
(1) 机床变速箱设计
高重合度保证传动平稳性
精密齿轮 εα 通常设计在 1.4-1.6
(2) 汽车变速器设计
斜齿轮广泛应用实现低噪声
通过 εβ 调整优化 NVH 性能
2. 故障诊断与性能评估
(1) 振动信号分析
重合度特征反映在啮合频率调制中
异常振动常与重合度变化相关
(2) 噪声控制
重合度与齿轮啸叫噪声直接相关
通过重合度优化降低特定频段噪声
3. 特殊工况应用
(1) 重载齿轮传动
提高重合度均衡载荷分布
矿山机械常用 εγ≥2.5 设计
(2) 高速齿轮传动
足够重合度缓冲啮合冲击
航空齿轮 εα 通常不低于 1.5
(3) 精密传动系统
高重合度减小传动误差
机器人减速器重视重合度优化
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总结
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齿轮传动重合度作为评估传动质量的关键指标，其合理设计与控制在现代机械工程中具有重要意义。随着计算机技术和测试手段的发展，对重合度的认识已从静态几何参数发展为包含系统动态特性的综合指标。未来重合度研究将呈现以下趋势：
多物理场耦合分析 ：综合考虑热、弹、流等多因素影响
动态实时监测 ：基于物联网的在线重合度评估系统
智能调节技术 ：自适应改变啮合特性的主动控制齿轮
新材料影响研究 ：复合材料齿轮的特殊重合度特性
在实际工程应用中，设计者应根据具体工况和要求，合理选择和优化重合度参数，在传动平稳性、承载能力、效率等各方面取得最佳平衡。同时，应充分重视制造精度和安装质量对实际重合度的影响，确保设计目标的有效实现。
END