微精选

1 探索计算曲边梯形面积的更为简洁、高效的方法

在《马同学图解微积分(上)》的第二章「函数与极限」中，我们用矩形来逼近下的曲边梯形，然后求出了这些矩形面积和为，如下图所示。

 、和、以及

围成的曲边梯形，其下的矩形面积和为

然后通过数列极限求出曲边梯形的面积为，如下图所示。

但对于不少曲边梯形而言，上述方法可能过于繁琐。为了说明这一点，让我们来看一道例题，它将很好地展示这种方法的复杂性。（点击阅读原文可以查看例题）。

想找到通用解法需要先研究“线性近似”。比如要求下图中函数下之间的曲边梯形面积。

 、和、

以及围成的曲边梯形

需要先将曲边梯形分为份，如下图所示。

将曲边梯形分为份

然后将每一份都用某矩形来近似，这就是曲边梯形中的“线性近似”，如下图所示。

每一份都用某矩形来近似

单独作出函数的图像，如下图所示。

函数的图像

当然不可能用一根线段来近似，也需要将该函数分为份，如下图所示。

将该函数分为份

然后每一份都可以用一根线段来近似，这就是函数曲线的“线性近似”，如下图所示。

每一份都可以用一根线段来近似

4 微分

对于某一段曲线而言，用于近似它的直线就被称为该曲线的 微分 ，如下图所示。

近似某段曲线的直线称为该曲线的微分

微分以及微分的求解就是本单元要学习的内容，从下一课开始，我们就会进行其中细节的讨论。