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《趣味代数学》四位数车牌号

《趣味代数学》四位数车牌号

【题目】一辆汽车在大街上公然违反交通规则,三位数学系的大学生目睹了这一场景,遗憾的是他们谁都没记住汽车的四位数车牌号。不过,好在他们学的是数学,有专业上的敏感度,因此多少也注意到了四位数车牌号的一些特点。比如第一位学生记得前两位数字是一样的,第二位记得后两位数字是一样的,第三位记得这个四位数恰好是一个完全平方数。根据他们的这些记忆,能确定出那辆汽车的车牌号吗?

【解题】我们设四位车牌号的前两位是a,后两位是b,这个四位数可以表示为:

显然,这是一个能被11整除的数,根据已知的条件,它又是一个完全平方数,因此它一定能被112整除。这也就意味着,一定能被11整除。

有了这个前提,根据上一节中总结出的能被11整除的数所具备的任意特征,我们都可以判定ba+能被11除尽,而a与b都是小于10的数字,因此a与b的和应该恰好是11。

由于,a的值就应该是11-b。

对于这个四位数的完全平方数来说,其末位上的只可能是0、1、4、5、6、9,因此a的值也就只可能是11、10、7、6、5、2。

这其中符合本题要求的数字只有以下四组:

b=4,a=7;b=5,a=6

b=6,a=5;b=9,a=2

所以正确的汽车牌照号只能是下面四个数之一:

7744、6655、5566、2299

其中:2299=121×19,5566能被2整除却不能被4整除,6655能被5整除却不能被25整除,7744=882

在这四个数中,只有7744是完全平方数,因此违反交通规则的那辆车的车牌号是7744。(俄.别莱利曼)

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