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《趣味代数学》能被11整除的数

《趣味代数学》能被11整除的数

【原】【内蒙】李春阳《香蕉》指导教师:尚奉杰

   香蕉民主小学一年级 李春阳今天妈妈买了一大把香蕉,这可是我最爱吃的水果。只见香蕉兄弟们挨挨挤挤的靠在一起,穿着统一的黄色外衣,像几个亲密无间的好朋友。掰一根拿在手里摸上去滑滑的、凉凉的,我仿佛听到香蕉对我说:“快把我吃掉吧。”于是我迫不及待的剥开这金黄的香蕉皮,乳白色的果肉便呈现在了我的面前,一股淡淡的果香莹绕于我的鼻尖,让我直流口水,忍不住咬一口,口腔里满满的都是细腻的果肉,香甜软糯,那奇妙的口感,仿佛将我带到了一片黄澄澄的香蕉园。

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在做除法的时候,不要忙于开始计算,应该先分析一下被除数的特征,以判断它能否被除数整除。

代数的方法能使这个分析的过程轻松进行。能被2、3、4、5、6、7、8、9、10整除的数都有哪些特征,这已经是常识了,我们没必要在这里进行分析,我们要分析的是能被11整除的数所具备的特征,这无疑是非常实用的。

假设N是一个多位数,它的个位数是a,十位数是b,百位数是c,千位数是d,依次类推。则可以用来表示这个多位数N的算式为:

省略号所代表的是N这个多位数后面未写出的各个位数的和。

现在我们从这个代表的算式中减掉一个能被11整除的数:

得到的差数就是:

如果我们分别计算两个除法——即用刚刚得到的这个差数除以11,和用N除以11,就会发现二者得到的余数是相等的。

现在我们再用这个差数加上一个能被11整除的数:

得到的和就是:

用这个和除以11得到的余数,也与前者相同。

接下来我们再从这所得的数中减去一个能被11整除的数:

就这样一直继续下去,会得到:

用这个数除以11所得的余数,仍与用N除以11得到的余数相等。

所以我们可以给所有能被11整除的数总结出如下特征:当一个数所有奇数位上的数字和与所有偶数位上的数字和之差为0或11的倍数(正负均可)时,这个数能被11整除。如果这个差既不是0也不是11的倍数,则该数不能被11整除。

我们来随便写个数字,比如87635064,看看它是否具有这一特征:

奇数位上的数字之和:8+6+5+6=25

偶数位上的数字之和:7+3+0+4=14

二者之差:25-14=11

11能被11整除,因此87635064可以被11整除。

除此而外,能被11整除的数还有另外一个特征,这会使那些数位并不多的数更方便判断一些:

将被除数从右向左,按每两位数一节的规则进行分节,然后把每一节上的数都加在一起,如果得数能被11整除,则这个被除数就能被11整除,如果不能,结论就正好相反。

现在我们选一个数来验证一下,比如528。将528从右向左每两个数位分为一节,一共可分为两节,即(5|28),将这两个节上的数相加可得:5+28=33。33能被11整除,所以528可以被11除尽。

那么用这种判断方法是否一定正确呢?我们来证明一下。

将多位数N从右向左按两个数位或者一个数位[5]进行分节,并将每一节上的数分别用a、b、c……来表示,则可将N写为:

从这个数中减去一个能被11整除的数:

得到的差数为:

用这个差数除以11得到的余数,与N除以11后得到的余数相等。

接下来用这个差数再减去一个能被11整除的数:

……就这样一直计算下去,最后得到的a+b+c+……除以11得到的余数,仍旧与N除以11所得的余数一模一样。(俄.别莱利曼)

【原】【内蒙】李春阳《香蕉》指导教师:尚奉杰

   香蕉民主小学一年级 李春阳今天妈妈买了一大把香蕉,这可是我最爱吃的水果。只见香蕉兄弟们挨挨挤挤的靠在一起,穿着统一的黄色外衣,像几个亲密无间的好朋友。掰一根拿在手里摸上去滑滑的、凉凉的,我仿佛听到香蕉对我说:“快把我吃掉吧。”于是我迫不及待的剥开这金黄的香蕉皮,乳白色的果肉便呈现在了我的面前,一股淡淡的果香莹绕于我的鼻尖,让我直流口水,忍不住咬一口,口腔里满满的都是细腻的果肉,香甜软糯,那奇妙的口感,仿佛将我带到了一片黄澄澄的香蕉园。

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