一.1-形式的外导数
函数f被认为是0-形式。当将外导数d作用于f时，它产生f的梯度1-形式df，用它可以计算出f在每一个可能的方向上变化得有多快。
d作用于1-形式df沿特定方向u的变化率
用d可以算出每一个可能方向上的变化率，它将0-形式f的次数增加1，使得可以再输入一个向量，算出0-形式f沿着这个向量的变化率。
求1-形式Φ的导数获得2-形式的dΦ，然后将它们作用于一对向量u和v（u，v为向量场）dΦ(u,v),
u方向变化率
必然是关于这对向量反对称的，但上图这个表达式不是反对称的。我们可以通过减去u↔v情况下的相同表达式，使之具有反对称性：
对应于Φ的向量Φ来表示它对向量的作用：
这个公式是用几何方式定义的，与任何基和坐标的选择无关.那么可简单地选择向量场是不变的，使得它们的换位子Φ([u,v])为零。
用1-形式的笛卡儿基来表示公式：
二. 2-形式和p-形式的外导数
推广d的定义，使之可以作用于p-形式ψ，从而产生(p+1)-形式dψ并且用这个(p+1)-形式算出ψ在每一个方向上的变化率。
d在2-形式ψ上的作用,是一个3-形式。
d作用于p-形式φ，从而创建(p+1)-形式dφ。
三. 形式的莱布尼茨法则
首先把d看作一个1-形式。然后在d(φΛψ)右边的d到达ψ之前，必须将它推到φ的所有1-形式后面，导致正负号改变degφ次。
四. 闭形式和恰当形式
- d²=0
推广到任意的p-形式：
dφ²=0
- 闭形式和恰当形式
闭形式是对不可压缩流体流动的通量2-形式的高维模拟。
如果一个p-形式是某个(p-1)-形式的外导数，则称这个p-形式是恰当的：
ψ是γ的位势
- 复分析：柯西-黎曼方程
- 用形式做向量运算
外微积分可以完美地应用于所有维度的所有p-形式，但是只有在R³中，一个2-形式才可以伪装成一个向量，而且只有在R³中，两个1-形式的楔积才可以伪装成两个向量的向量积。
梯度向量▽f是向量微积分中的概念，它对应于0-形式f的梯度1-形式df。
求1-形式的外导数，明确写出式
如果φ是闭的，就意味着dφ=0，即φ的旋度为零：如果把φ描绘成空间中一个流体流动的速度，我们在流体中插入一个小球（不是一个质点），它也将具有速度φ，但是不会自旋。这种情况下，这个流称为无旋的。如果dφ≠0，球就会自旋，旋度curlφ指向自旋轴，其大小为自旋角速率的2倍。在这种情况下，旋度curlφ称为涡度向量。
把闭形式描绘成保守力场对应的形式，这时ω的1-形式就是功。如果ω是闭的，那么质点绕一个封闭环路所做的功就等于零。
2-形式外导数
如果φ是闭的，就意味着dφ=0，即φ的散度为零。
向量微积分恒等式：
- 麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组第一对：
无源方程组
第二对麦克斯韦方程组 ：
它描述了由源（电荷密度ρ和电流密度j）产生的场：