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通过数学证明单个分子如何产生流体的复杂运动，三位数学家阐明了为什么时间不能反向流动。

Wei-An Jin/广达杂志

由莱拉·斯洛曼特约通讯员

在20 世纪之交，著名数学家大卫·希尔伯特 （David Hilbert） 雄心勃勃，希望将一种更严谨的数学思维方式带入物理学世界。当时，物理学家仍然被关于基本定义的争论所困扰——什么是热？分子是如何构建的？——希尔伯特希望数学的形式逻辑可以提供指导。

1900 年 8 月 8 日上午，他向国际数学家大会提交了一份包含 23 道关键数学题的清单。第六点：对物理定律进行无懈可击的证明。

希尔伯特的第六个问题的范围是巨大的。他要求“以与[几何学]相同的方式，通过公理来对待那些数学在其中发挥重要作用的物理科学。

他说，他对物理学公理化的挑战“实际上是一个程序”戴夫·利弗莫尔（打开新标签页），马里兰大学的数学家。“第六个问题的实际表述方式，它永远不会得到解决。”

但希尔伯特提供了一个起点。为了研究气体的不同特性——比如，它的分子的速度，或者它的平均温度——物理学家使用不同的方程。特别是，他们使用一组方程来描述气体中单个分子如何移动，而另一组方程来描述气体作为一个整体的行为。希尔伯特想知道，是否有可能证明一组方程暗示了另一组——正如物理学家所假设但尚未严格证明的那样，这些方程只是模拟同一现实的不同方式？

125 年来，即使将物理学的这个小角落公理化似乎也是不可能的。数学家们取得了部分进展，提出了只有在考虑气体在极短的时间尺度上或其他人为情况下的行为时才有效的证明。但这些结果都达不到希尔伯特所想象的那种结果。

1900 年，大卫·希尔伯特 （David Hilbert） 提出了一份包含 23 个问题的清单，以指导下个世纪的数学研究。他的第六个问题挑战数学家将物理学公理化。

哥廷根大学

现在，三位数学家终于提供了这样的结果。他们的工作不仅代表了希尔伯特计划的重大进步，而且还探讨了关于时间不可逆性质的问题。

“这是一件美丽的作品，”他说格雷戈里·法尔科维奇（打开新标签页），魏茨曼科学研究所的物理学家。“杰作。”

在 Mesoscope 下

考虑一种粒子非常分散的气体。物理学家可以通过多种方式对其进行建模。

在微观层面上，气体由单个分子组成，这些分子的作用就像台球一样，根据艾萨克·牛顿 350 年历史的运动定律在空间中移动。这种气体行为模型称为硬球粒子系统。

现在缩小一点。在这个新的“介观”尺度下，您的视野包含太多分子，无法单独跟踪。相反，您将使用物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 （James Clerk Maxwell） 和路德维希·玻尔兹曼 （Ludwig Boltzmann） 在 19 世纪后期开发的方程来模拟气体。它被称为玻尔兹曼方程，它描述了气体分子的可能行为，告诉您可以在不同位置找到多少个以不同速度移动的粒子。这种气体模型让物理学家可以研究空气如何在小尺度上移动，例如，空气是如何移动的围绕航天飞机流动（打开新标签页）.

数学家对物理学家所做的就是唤醒我们。格雷戈里·法尔科维奇

再次缩小，你就无法再看出气体是由单个粒子组成的。它就像一个连续的物质。要模拟这种宏观行为 — 气体的密度以及它在空间中的任何点的移动速度 — 您将需要另一组方程，称为纳维-斯托克斯方程。

物理学家认为这三种不同的气体行为模型是兼容的;它们只是理解同一事物的不同镜头。但是希望为希尔伯特第六个问题做出贡献的数学家想要严格证明这一点。他们需要证明牛顿的单个粒子模型产生了玻尔兹曼的统计描述，而玻尔兹曼方程反过来又产生了纳维-斯托克斯方程。

数学家在第二步中取得了一些成功，证明了在各种设置下可以从介观气体中推导出气体的宏观模型。但他们无法解决第一步，导致逻辑链不完整。

现在情况发生了变化。在一系列论文中，数学家们邓宇（打开新标签页）,扎赫尔·哈尼（打开新标签页）和马小（打开新标签页） 证明更难的微观到介观步骤（打开新标签页）对于处于以下设置之一的气体，完成链条（打开新标签页）这是第一次。结果和使之成为可能的技术是“范式转变”，他说郭燕（打开新标签页）布朗大学的。

邓宇通常研究波系统的行为。但是，通过将他的专业知识应用于粒子领域，他现在已经解决了数学物理学中的一个重大悬而未决的问题。

独立宣言

玻尔兹曼已经可以证明牛顿运动定律产生了他的介观方程，只要一个关键的假设成立：气体中的粒子或多或少地彼此独立地运动。也就是说，一对特定的分子多次相互碰撞一定非常罕见。

但玻尔兹曼无法明确地证明这个假设是正确的。“当然，他不能做的是证明关于这个的定理，”他说塞尔吉奥·西蒙内拉（打开新标签页）罗马第一大学。“当时没有结构，也没有工具。”

物理学家路德维希·玻尔兹曼 （Ludwig Boltzmann） 研究了流体的统计特性。

知识共享

毕竟，一组粒子可能以无限多种方式发生碰撞和再碰撞。“你只会得到它们可能去的方向的巨大爆炸，”Levermore 说——要真正证明涉及多次再次碰撞的场景就像玻尔兹曼需要的那样罕见，这简直是一场“噩梦”。

1975 年，一位名叫奥斯卡·兰福德 （Oscar Lanford） 的数学家设法证明了这一点（打开新标签页），但仅限于极短的时间段。（确切的时间取决于气体的初始状态，但根据 Simonella 的说法，它比眨眼还短。然后证据瓦解了;在大多数粒子有机会碰撞一次之前，Lanford 就无法再保证再次碰撞仍然很少发生。

从那以后的几十年里，许多数学家试图扩展他的结果，但无济于事。

然后，在 2023 年 11 月，现在在芝加哥大学的邓和密歇根大学的哈尼发帖预印本（打开新标签页）这预示了所需的证明。他们写道，即将发表的一篇论文将以他们的最新结果为基础，研究“兰福德定理的长期扩展”。

其他数学家不知道该如何看待这一宣布。“我认为这是不可能的，”他说皮埃尔·日耳曼（打开新标签页）伦敦帝国理工学院的。邓和哈尼甚至通常不研究粒子系统;在那之前，他们主要研究由波（如光线）组成的系统。

因此，数学家们热切地等待着承诺的证明。

当粒子碰撞时

邓和哈尼 2023 年的结果涉及在波的背景下从微观尺度到介观尺度的转变分析。在数学家们在网上发布论文的大约一年前，邓在一次会议上会见了普林斯顿大学的一位名叫马晓的研究生。他们最终讨论了邓和哈尼的工作，以及他们如何使方法适应粒子。这样做将使他们能够扩展 Lanford 的结果——以表明即使在更长的时间尺度上，粒子再碰撞也很少见。

这是 邓 和 Hani 一直在考虑的想法。马 对这个话题的见解印象深刻，邓邀请他帮助他们将直觉转化为证据。

这三人希望专注于一个被广泛研究的场景，其中数学家已经证明了希尔伯特第六个问题中的第二个中观到宏观步骤。在这个场景中，球形粒子的稀释气体被困在一个盒子中。如果一个粒子撞到盒子的一面壁上，它会重新出现在对面的墙上。

但为了证明这种设置中更难的微观到中观步骤——从而解决希尔伯特的第六个问题——邓、哈尼和马不得不将他们基于波的技术移植到粒子上。因此，他们从一个任务会更容易的环境中开始。他们使用一种气体，这种气体的粒子在无限量的空间中随机分布;与盒装气体中的粒子不同，这些粒子最终会分散并停止碰撞。“在全空间的情况下，有一条捷径，”邓说。

这三位数学家首先需要将他们的气体中可能发生的不同碰撞模式制成表格，以及每种模式的可能性。他们可以很容易地排除再碰撞率特别高的情况。这让他们需要分析的模式数量有限，但仍然很大——每个模式都涉及某个粒子子集，按特定顺序发生碰撞。一旦他们确切地知道每种模式的含义，他们就可以使用该信息来估计其发生的可能性。

但这往往感觉像是一项不可能完成的任务，因为许多模式涉及大量粒子以及它们之间错综复杂的间接相互作用。“这些 [碰撞粒子] 集的结构变得极其复杂，”邓说。原则上，数学家需要同时跟踪这些粒子中的每一个，以计算他们需要的概率估计。

这就是邓和哈尼之前关于波浪的工作给了他们一个重要的见解。在这个结果中，他们想出了将相互作用波的复杂模式分解成更简单的模式的方法。他们精心设计了自己的技术，因此，通过一次只处理几个波浪，他们仍然可以很好地估计更复杂的完整波浪模式的可能性。

他们希望同样的想法也能在粒子设置中奏效。

但在碰撞之后，粒子的行为与波非常不同。例如，与波不同，粒子会相互反弹，从而极大地影响碰撞的结果模式及其发生的概率。邓、Hani 和 马 需要从一开始就重新制定他们的战略细节。

Zaher Hani 研究海洋学、等离子体物理学和量子力学中出现的方程的解。

首先，他们处理了最简单的情况，即每个粒子在很短的时间内只碰撞几次，没有再次碰撞。然后，他们逐渐转向越来越难的案件——时间更长，碰撞和再碰撞更多。

这既是一门艺术，也是一门科学。“直觉是逐渐形成的，从一些不成功的尝试开始，”邓说。他们必须了解如何以一种既能简化计算又能保持估计高度准确的方式，对大型、复杂的粒子碰撞模式进行切片。

著名的流体方程是不完整的

数学物理著名的流体方程是不完整的

“这是一个需要几个月的过程，”Hani 说。“我们会一直被困住。”他们几乎每天都会参加 Zoom 会议来讨论事情。“令我妻子沮丧的是，其中一些发生在很晚或很早的时候，”哈尼说。“我会哄我女儿睡觉，然后我们会开两三个小时的 Zoom 会议。”

最后，到 2024 年春天，这三人组确定他们已经涵盖了所有内容。他们的证明，他们在线发布（打开新标签页）那个夏天，证实了再次碰撞一定非常非常罕见。正如他们所希望的那样，他们已经证明，在他们的无限空间设置中，玻尔兹曼对气体的描述可以从牛顿的描述中得出。微观和介观尺度属于一个严格的数学框架。

“我认为这是出色的工作，”他说亚历山大·约内斯库（打开新标签页），普林斯顿大学的数学家，也是邓和马的博士生导师。“这些是许多年来最重要的进展。”

他们现在准备回到 gas-in-a-box 设置，在那里他们终于可以解决 Hilbert 的第六个问题。

完成的链

没过多久，他们就将结果从无限空间设置扩展到了盒装设置。“在全空间情况下，80% 的证明仍然是相同的，”邓说。

3 月，他们发表了一篇新论文（打开新标签页）将他们的证明与将玻尔兹曼方程与纳维-斯托克斯方程联系起来的早期结果相结合。逻辑链是完整的：他们已经证明，对于气体的真实模型，对单个粒子的微观描述最终确实会引起对气体大规模行为的宏观描述。

这项工作不仅标志着希尔伯特第六个问题的一个主要案例的解决。它还为一个古老的悖论提供了严格的数学解决方案。

在微观尺度上，粒子的作用就像台球一样，时间是可逆的。牛顿方程既可以预测粒子的来源和去向。未来与过去没有根本区别。

但在中观和宏观层面上，没有时间倒流。“我们非常清楚，随着时间的推移，一个人会衰老但不会恢复活力;热量不会自发地从冰冷的身体传递到温暖的身体;一杯水中的一滴墨水扩散开来，使液体变暗，但不会自发地恢复到原来的小圆形状，”西蒙内拉写（打开新标签页）。玻尔兹曼方程和 Navier-Stokes 方程都不是时间可逆的;如果您尝试倒推时间，结果将是无意义的。

对于玻尔兹曼的同时代人来说，这令人困惑。如何从时间可逆系统推导出时间不可逆方程？

但玻尔兹曼认为，不存在悖论：即使每个粒子都可以以时间可逆的方式建模，但几乎每一种碰撞模式都以气体分散而告终。例如，气体突然收缩的几率基本上为零。

兰福德在他很短的时间内用数学方法证实了这种直觉。现在，邓、哈尼和马的结果在更现实的情况下证实了这一点。

展望未来，仍在仔细研究新证明细节的数学家们想要测试类似的技术在其他甚至更现实的环境中是否有用。这些可能包括由不同形状的粒子组成的气体，或以更复杂的方式相互作用的粒子。

与此同时，法尔科维奇说，这些严格的证明可以帮助物理学家理解为什么气体在各种尺度上会以某种方式表现，以及为什么不同的模型在不同的情况下可能或多或少有效。“数学家对物理学家所做的，”他说，“就是唤醒我们。