4/33.574.12(4.12/3.57)^2=4/3D1=4.12*(sqrt(h1)+sqrt(h2))D2=3.57*(sqrt(h1)+sqrt(h2))步骤 1: 建立几何模型
半径为 R 的地球。
将一个天线放在点 A，高度为 h。
从点 A作地球的切线，切点为 T。
距离AT就是从高度 h能看到的最远距离 d1，地球上的点。
我们现在要寻找d1和h之间的关系。
步骤 2: 关键几何关系
让我们观察直角三角形 OT𝐴，其中：
-
O是地心。 -
T是切点，所以OT ⟂ A𝑇。 -
OA是地心到天线的距离，即OA = R + h。 -
OT是地球半径，即OT = R。
根据勾股定理 (Pythagorean theorem)，在直角三角形 OTA 中：
(OA)² = (OT)² + (AT)²
代入已知量：
(R + h)² = R² + d1²步骤 3: 展开并简化方程
展开方程左边的平方项：
R² + 2Rh + h² = R² + d1²两边同时减去 R²：
2Rh + h² = d1²步骤 4: 合理化近似 (关键步骤)
我们先假定在近地面通信条件下，在实际情况中，天线的高度 h (通常几米到几百米) 与地球半径 R (约6371 km = 6,371,000 m) 相比是微不足道的。即 h << R。
当然，如果譬如是卫星之间通信，h与地球半径相比并不可忽略，所以，这个时候就不能把h忽略掉。
因此，项 h² (一个非常小的数的平方) 与项 2Rh (一个非常大的数乘以一个很小的数) 相比，可以忽略不计。
例如，假设 h = 100 m：
h² = 10,000 m²2Rh ≈ 2 * 6,371,000 * 100 = 1,274,200,000 m²h² 还不到 2Rh 的十万分之一，完全可以忽略。
于是，方程 2Rh + h² = d1² 可以简化为：
2Rh ≈ d1²步骤 5: 求解视线距离 d1
由上式直接可得：
d1 ≈ sqrt(2Rh)这就是一个高度为 h 的天线到地平线的距离公式。
步骤 6: 扩展到双站情况 (两个天线)
现在考虑两个天线，一个高度为 h₁，另一个高度为 h₂。
-
第一个天线能看到的地平线距离是 d₁ ≈ sqrt(2Rh₁)
-
第二个天线能看到的地平线距离是 d₂ ≈ sqrt(2Rh₂)
当两天线之间的地面距离刚好等于 d₁ + d₂ 时，它们正好处于彼此无线电视距的极限位置。因此，两个天线之间的最大通信距离 D为：
D ≈ d₁ + d₂ ≈ sqrt(2Rh₁) + sqrt(2Rh₂)再看以下公式：
D ≈ d₁ + d₂ ≈ sqrt(2Rh₁) + sqrt(2Rh₂)R=6371kmD ≈ d₁ + d₂ ≈ sqrt(2*6371*h1/1000) + sqrt(2*6371*h2/1000)D ≈ d₁ + d₂ ≈ sqrt(2*6317/1000)*(sqrt(h1) + sqrt(h2))=3.57*(sqrt(h1) + sqrt(h2))
这就得到了我们常用的保守一些的公式。实际上是没有考虑地球等效半径的因素。
引入有效地球半径 Rₑ (考虑大气折射)，
光线和电磁波传输类似，以下为太阳光传输因大气折射引起的传播路线示意图。因为光传播和电磁波传播的原理是一样的，所以借用光传播的一些图。
以上的推导假设电波严格沿直线传播。
但实际上，地球大气层的密度随高度变化，导致无线电波发生折射，向下弯曲。
反之，如果地球大气层密度是随高度下降会发生什么？
再考虑，如果没有大气层密度是均匀的，会发生什么？
这种梯度变化，用普通数学已经没法计算，必须用到微积分了。
这使得电波传播的路径比纯直线更远。为了在原有的几何模型中方便地计入这种效应，工程师们引入了有效地球半径的概念。
我们定义一个系数 k，使得：
有效地球半径 Rₑ = k × R
其中，R 是地球真实半径。
在标准大气折射条件下，经验值 k = 4/3。这意味着大气的折射效应使得地球的曲率看起来只有原来的 3/4，或者说等效地球半径是真实半径的 4/3 倍。
D ≈ d₁ + d₂ ≈ sqrt(2Rh₁) + sqrt(2Rh₂)D ≈ d₁ + d₂ ≈ sqrt(2*6371*4/3*h1/1000)+ sqrt(2*6371*4/3*h2/1000)
D ≈sqrt(4/3)*3.57*(sqrt(h1)+sqrt(h2))=4.12*(sqrt(h1)+sqrt(h2))这就得到了常见的另一个比较激进的通视距计算公式。
标准大气折射系数 k = 4/3 并非一个随意的假设，而是源于对大气特性和无线电波传播物理的深入理解。
它是一个工程上的等效模型，其合理性可以通过以下两种主要方式来解释：
1.3.1 解释一：几何光学与射线弯曲（物理推导）
这种解释最直观地展示了“等效地球半径”是如何产生的。
1）折射的本质：
无线电波在大气中传播的速度 v 取决于空气的折射率 n（v = c / n）。靠近地面的空气密度大，折射率 n 稍高；随着高度增加，空气密度降低，折射率 n 减小。根据斯涅尔定律（Snell’s Law），波会向折射率高的区域弯曲。因此，无线电波会持续地、轻微地向地面弯曲，其路径是一条向下凹的曲线，而非直线。
2）曲率计算：
无线电波传播路径的曲率半径 ρ 与折射率随高度的梯度 dn/dh 有关。推导出的公式为：
1/ρ ≈ - (dn/dh)负号表示当 dn/dh 为负值（折射率随高度增加而减小）时，波束向下弯曲。
地球表面的曲率半径为 1/R。3
3）“拉直”波束：为了简化计算，工程师们构想出一个“等效地球”模型。
在这个模型中，我们假设电波是直线传播的（波束曲率 1/ρ = 0），但地球的曲率变小了（地球半径被放大为 Rₑ）。这样，在等效模型中的直线路径，就对应于真实世界中的弯曲路径。
4）推导k值：
要使等效模型成立，从几何上看，波束相对于等效地球的曲率 必须等于 真实波束相对于真实地球的曲率。
数学表达式为：
(1 / Rₑ) = (1 / R) + (dn/dh)
将 Rₑ = kR 代入上式：
1/(kR) = 1/R + (dn/dh)
k = 1 / (1 + R * (dn/dh))通过大量测量，在标准大气（Standard Atmosphere）条件下，近地面的折射率梯度经验值为：
dn/dh ≈ -4 × 10⁻⁸ m⁻¹（即每升高1米，折射率n减少 4e-8）
k = 1 / (1 + (6.371e6 m) * (-4e-8 m⁻¹))k = 1 / (1 - 0.25484)k = 1 / 0.74516 ≈ 1.341因此，k = 4/3 是基于标准大气的典型折射率梯度值得出的一个非常精确且方便的近似值。
1.3.2解释二：M-因子与修正折射率（概念等效）
这是另一种理解方式，在雷达和通信系统分析中也非常重要。
1）修正折射率：为了更直接地处理超视距传播等问题，引入了修正折射率 m 的概念。其定义为：
m = n + (h / R)h 是高度。m 对高度 h 的梯度为
dm/dh = dn/dh + 1/R标准大气条件：在标准大气下，dn/dh ≈ -1/R 是一个临界值。代入上式：
dm/dh = (-1/R) + (1/R) = 0可以证明，当 dm/dh = 0（即修正折射率不随高度变化）时，等效地球半径系数 k 会变为无穷大（波束弯曲曲率恰好等于地球曲率，即平行于地面传播）。
而标准大气的 dn/dh ≈ -4e-8 m⁻¹ 非常接近这个临界值 -1/R ≈ -1.57e-7 m⁻¹。为了在等效模型中处理这种“近乎临界”的情况，k=4/3 提供了一个完美的、有限大的等效半径，使得计算变得简单直观。
为什么这个系数如此重要且被定为“标准”？
1）代表性：-4e-8 m⁻¹ 这个梯度值是对全球中纬度地区多年气象数据统计后的一个平均值，能较好地代表“正常”的大气状况。
所以，如果气候的变化，会影响这个梯度。
2）简化计算：4/3 是一个非常简洁的分数，心算和笔算都很方便。它使得复杂的射线追踪问题转化为简单的几何问题（d = sqrt(2kRh)）。
3）一致性：全球的无线电工程师、雷达设计师和通信系统规划者都采用这个共同的标准，确保了设计、预测和法规的一致性。
例如，国际电信联盟（ITU）的建议书中就广泛采用此值。
4）保守性与可靠性：虽然大气条件是变化的（有时折射更强，k > 4/3；有时更弱，k < 1），但使用 k=4/3 进行设计可以在大多数情况下提供可靠的性能预测，是一个良好的工程折衷方案。
总结
标准折射系数 k = 4/3 并不是一个魔数，而是基于标准大气的典型物理特性（折射率梯度 dn/dh ≈ -4×10⁻⁸ m⁻¹）通过严格的几何光学推导出的一个等效模型参数。 它将复杂的电磁波弯曲问题简化为一个简单的、基于直线传播的几何模型，极大地便利了工程计算和分析，并已成为全球公认的标准。
显然，以上公式是有适用范围的。我们可以最先想到的就是高度对公式实用性的影响。
1）高度h较大，公式中近似而忽略的部分，就不能忽略。
2）高度h较大，大气折射率是不是还可以按照之前的等效？
显然，以上两个疑问都有效。
误差分析场景：真正的误差分析需要在违背模型假设的场景下，将近似公式的结果与更高级的模型进行对比。我们将分析两种主要场景：
3） 低高度场景：与考虑地面衍射的模型对比。
结论：在低高度下，由于地面障碍物和衍射效应，实际可靠通信距离大幅缩短。近似公式的计算结果会严重高估实际距离，误差百分比可以轻松超过100%。随着高度增加至30-50米，地形的影响减小，误差百分比逐渐下降到可接受范围（<10%）。
4）高高度场景：与卫星通信的球面几何模型对比。
高度影响模拟计算
我们以单一天线到地平线的距离为例
（即令 h2=0，公式变为 d = 4.12 * sqrt(h1)），对比其与精确计算值的差异。
-
精确值:
d_exact = sqrt(2*R*h + h²)（h单位：公里） -
近似值:
d_approx = 4.12 * sqrt(h)（h单位：米）
我们使用 地球等效半径 Rₑ = 8495 km。
误差分析总结:
0.0 km (地面通信 ): -0.0% → 误差极小，可忽略 0.1 km (地面通信 ): -0.0% → 误差极小，可忽略 1.0 km (航空通信 ): -0.0% → 误差很小，工程上完全可接受 10.0 km (航空通信 ): -0.1% → 误差很小，工程上完全可接受 100.0 km (低轨卫星(LEO)): -0.3% → 误差仍然很小 (<0.1%) 500.0 km (低轨卫星(LEO)): -1.5% → 误差仍然很小 (<0.1%) 1000.0 km (低轨卫星(LEO)): -2.9% → 误差仍然很小 (<0.1%) 2000.0 km (中轨卫星(MEO)): -5.5% → 误差开始显著 (-5.5%)，需谨慎使用 20200.0 km (高轨/深空 ): -32.4% → 误差极大 (-32.4%)，公式完全失效 35786.0 km (高轨/深空 ): -43.3% → 误差极大 (-43.3%)，公式完全失效100000.0 km (高轨/深空 ): -61.9% → 误差极大 (-61.9%)，公式完全失效关键结论:1. 在0-1000km高度范围内，4.12公式极其准确 (误差<0.1%)2. 超过1000km后，误差开始缓慢增加3. 在GEO轨道高度(35786km)，误差达到约-68.6%，公式完全失效4. 4.12公式只适用于高度1000km以下的场景
最终总结
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|---|---|---|
| 0-1000 km |
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极其准确
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| 1000-10000 km |
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| > 10000 km |
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完全失效
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但是，注意，高度太低，其实因为地球表面非理想球形，地形、建筑、植被等影响，也不适合完全采用该模型做分析。而是应该采用其他考虑多径、绕射的模型。
因此，4.12近似公式只适用于高度1000km以下的场景，包括地面通信、航空通信、低轨卫星等。对于中高轨卫星（如GPS、GEO），必须使用精确几何模型
d = √(2*Rₑ*h + h²)1.4.2 为什么该公式不适用于卫星通信？
卫星通信完全打破了上述所有前提条件：
1）高度假设失效：低地球轨道（LEO）卫星的高度通常在 500公里以上，地球同步轨道（GEO）卫星高度达 35,786公里。这些高度与地球半径（~6371km）处于同一数量级甚至更大。推导公式时 h << R 的基础假设完全崩溃，h² 项不能再被忽略。几何关系必须使用完整的勾股定理精确计算。
2）“地平线”不再是极限：对于卫星通信，我们几乎从不关心“地平线”问题。恰恰相反，我们希望卫星始终在地平线之上。通信链路的目标是建立稳定的连接，而不是寻找极限距离。地面站的天线通常具有很大的仰角（Elevation Angle）。
3）传播模型不同：卫星与地面之间的通信是地空链路（Space-Earth Link），其传播模型是自由空间传播（Free-Space Propagation），其路径损耗遵循 FSPL = (4πd / λ)²，其中距离 d 是直线距离。这与地面视距传播模型有本质区别。
请直接采用几何模型计算。
earth_EM_radians = 1*4/3 # 电磁波等效地球半径因子，可配置，默认[1，4/3],其中，1对应3.57,4对应4.12；4.12/3.57=sqrt(4/3)R = 6371 * earth_EM_radians # 地球半径(km)h = 5 # 额外半径(km)，可配置，默认值1，大于0，小于20t = 200 # 通信距离(km)，可配置，默认100，大于0a_height = 500/1e3 # A点高度(km)，配置范围[0, r],默认值2/1e3,大于0