微精选

如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是边AB、AD上的动点，AE=DF，连接EF，以EF为边向下作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值是_________

方法一：连接AG，以AG为边长作等边△AGH，连接FH、DH，以AD为边长作等边△ADI，连接GI

∵∠AGH=∠EGF=60°

∴∠AGH-∠AGF=∠EGF-∠AGF

∴∠AGE=∠FGH

又∵GA=GH,GE=GF

∴△GAE≌△GHF

∴∠GFH=∠GEA

∴∠AFH=360°-(∠AFE+∠EFG+∠GFH)=360°-(∠AFE+∠EFG+∠GEA)=360°-(∠AFE+∠EFG+∠GEF+∠AEF)=360°-210°=150°

∴∠DFH=30°

∵DF=AE

∴DF=HF

∴∠ADH=75° 

∵GA=GD,AI=AD,∠GAI=∠DAH

∴△GAI≌△DAH

∴∠AIG=∠ADH=75°

连接AI交CD、BC于点N、M

在四边ADNI中，可得∠AND=135°，得∠MNC=45°

当A、G、C共线时，CG取最小值

AG=AIsin75=,故CGmin=8-AG=

方法二：如图，以AE、AF为邻边作矩形AFHE，

∵AE=FH，AE=DF

∴FH=FD

∴∠FDH=45°，即点H在对角线BD上

取EF的中点Q，Q也为AH的中点，故点Q在△ABD的中位线上运动，

点A、E、O、H、F五点共圆，∠EOF=90°且∠OFE=∠OAE=45°，得OE=OF，得G、O、Q三点共线CG+GQ≥CQ,即GC≥

方法三：取EF的中点Q作QI⊥AE于点I，作GH⊥QI于点H

设AE=2m，则DF=2m

△AEF~△HQG，得

得QH=m，GH=,于是SC=,GS=

设

GCmin=