多晶体材料通常包含许多结构相同但空间取向各异的晶粒，取向不同的晶粒之间形成几何必需界面，通常称为晶界（grain boundary，GB)。晶界被认为是材料的缺陷，影响着多晶体材料的制备、加工和服役的方方面面。本文旨在介绍晶界的分类和三种主要的描述模型。
1. 晶界的分类：
一个晶界的完整几何特征可由5个宏观几何自由度描述，如图1(a) 所示。相邻晶粒间的位相关系可由旋转轴u(x, y, z) 和旋转角θ唯一确定，其中u包含2个独立变量，θ是第3个独立变量。三个独立变量确定了两个晶体之间的取向关系，但是晶界平面的具体位置还不能确定。晶界平面的位置可通过晶界平面的法向n(x, y, z) 唯一 确定，n同样包含2个独立变量。因此，通常需要5个独立变量去完整的描述晶界。
图1[1]：(a) 晶界示意图和几何自由度；（b）倾转轴和旋转轴；（c）倾转界面；（d）扭转界面
依据晶界的宏观几何自由度及其两侧的晶格结构，晶界进行如下分类：
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依据旋转轴（u）与晶界法向（n）的关系， 如图1（b），可将晶界划分为倾转晶界、扭转晶界和混合晶界。
i. 倾转晶界（Tilt grain boundary）: 旋转轴垂直于法向n，即旋转轴在晶面内，图1（c）。
ii. 扭转晶界（Twist grain boundary）: 旋转轴平行于法向n，即旋转轴垂直于晶面， 如图1（d）。
iii. 混合晶界（Mixed grain boundary）: 旋转轴既不平行也不垂直于法向n。
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依据旋转角θ，可将晶界分为小角晶界和大角晶界, 通常θ>10°被认为是大角度晶界。
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依据晶界两侧的晶格对称性，将其分为对称晶界和非对称晶界，其中孪晶界为典型的对称晶界。
2. 晶界的三种描述模型：
第一种：位错模型 (Dislocation
model)
Taylor 1934年提出了晶界的位错模型 [2]，将小角度晶界简化为由晶格中位错规则排列形成的位错墙。其中小角度倾转晶界是由刃位错排列形成的，小角度扭转晶界是由螺位错排列而成。均满足如下关系：
D = b/θ, D – 位错间距，b – 位错伯氏，θ – 倾转或旋转角度
图2[3]：（a）小角度倾转晶界的刃位错模型；（b）小角度扭转晶界的螺位错模型。
第二种：重合位置点阵模型 (Coincidence-site
lattice, CSL)
大角度晶界无法用大量的位错来描述，即位错模型不再适用。大角度晶界通常用重合位置点阵模型 （CSL）来描述。
CSL模型: 将两晶粒(grain 1 和grain
2)的点阵彼此向对方延伸，其中一些原子将出现有规律的相互重合， 由这些重合位置原子组成的新点阵，称为重合位置点阵 (CSL)。例如图3，两个晶粒之间的重合位置点阵为图中红色的阵点。其中晶粒2的点阵可由晶粒1的点阵绕轴旋转37°得到。
图3. （a）两个晶粒的点阵结构；（b）晶粒2的点阵可由晶粒1的点阵绕轴旋转37°得到。两个点阵结构有部分阵点位置重合，重合的阵点标为红色。（c）所有红色阵点组成的点阵即为重合位置点阵。（d）重合位置点阵的单元结构，里面包含晶粒1和2的部分阵点。
Σ值：为了描述两个晶粒的点阵重合度，引入 Σ 值。Σ 是重合点阵密度的倒数。重合点阵密度即对于某个晶粒（晶粒1或者2），有多少个阵点在重合位置点阵中。例如选取重合位置点阵的一个单元结构，如图3（d）, 对于晶粒1或2，该单元结构含有5个阵点（内部4个，4个角算一个），其中有1个（四个角上的红色阵点，算1个）处在重合位置点阵中，故重合点阵密度为1/5。Σ= 5。例如Σ=1时表明两个晶粒的点阵完全重合。
晶界的确定和表示方法：注意CSL点阵只描述了两晶体的取向关系即旋转角和点阵重合的情况，没有涉及晶界的信息。换句话说，CSL给定了晶界5个自由度中的前三个（两个晶粒的旋转轴和旋转角），晶界平面的具体位置并没有给定。一般来说，通常包含最多重合位置阵点的晶界相对稳定，如图4（a）中标出的晶界就是可能存在的相对稳定的晶界。为了让该晶界更明显，晶界两边只保留一个晶粒的点阵，如图4（b）。对于该晶界，知道晶界的法线方向n 为[hkl]，两个晶粒的旋转轴为 [uvw], 夹角为37°，则该晶界可以表示为 Σ5 (hkl)[uvw] 37° 晶界，且该晶界为对称倾转晶界（symmetric tilt GB）。
图4. (a) 可能出现的某一晶界，晶界包含尽量多的重合位置阵点；（b）晶界的表示方法 （晶界上方的晶粒2的阵点去除，下方的晶粒1的阵点去除）。
第三种：结构单元模型 （Structure Unit Model）
位错模型和CSL模型不强调晶界附近的具体原子排列信息。结构单元模型则侧重于晶界附近的原子排列，如图5所示，上述讨论的晶界处，原子按单元结构周期性排列，该结构单元如图5（c）所示。
图5. （a）(b) 晶界处原子的周期性排列；（c）单个的结构单元。
特别的，（1）不同的晶界结构单元是不同的；（2）同一个晶界也可以具有多种结构单元。如图6所示，不同的晶界（由不同的旋转角产生）包含不同个数和种类的结构单元。旋转18.92°，有两种结构单元A 和 C，且比例为2：1。旋转36.87°，只有结构单元C。旋转53.15°，有结构单元B和C交替排列，比例为1：1。
图6[4]. 两晶粒不同的晶界处出现不同种类和个数的结构单元。
总结，本文简单介绍了晶界及其三种常见的描述方式（位错模型，CSL模型和结构单元模型），三种模型各有适用范围，欢迎大家讨论。
下一篇会总结一下晶界能相关知识，即如何通过三种模型计算晶界处的能量。