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凡是复数形式的，必有相位；凡是能表示周期性函数的，都有相位。

相位概念与波动的能量和时间有关，属于 “动力学相位；

取决于循环路径的空间几何形状（或拓扑）的相位，称其为几何相位。

一、基本理论框架

考虑一个量子系统，其哈密顿量依赖于一组随时间变化的参数 R(t)：

系统的态矢量 |ψ(t)⟩满足薛定谔方程：

二、绝热演化与瞬时本征态

假设演化是绝热的，即参数变化足够慢，系统始终保持在瞬时本征态上。

瞬时本征态满足：

其中En(R) 是瞬时能量本征值。

在绝热近似下，若系统初始处于 |n(R(0))⟩，则时刻 t的态为：

包含两个相位因子

三、动力学相位

动力学相位来源于瞬时能量的时间积分：

对应的相位因子为 e^(iθd(t))。该相位依赖于：

• 能量En(R(t′)) 的具体值
• 演化路径的速率和时间
• 能量零点的选择

四、几何相位（Berry相位）

几何相位 γn(t)由参数空间的几何性质决定。

将绝热态代入薛定谔方程可得：

Berry联络与曲率

Berry联络（规范势）

则几何相位为：

对于闭合路径 C:R(T)=R(0)，几何相位为：

其中 Berry曲率 为：

五、具体演示：自旋-1/2粒子在旋转磁场中

1. 系统设置

考虑哈密顿量：

2. 计算Berry联络

对于基态 ∣−⟩：

分量：

因此：

3. 几何相位计算

对于闭合路径 C，几何相位为：

如果路径是纬度圈 θ=θ0常数，则：

这正是路径所围立体角 Ω 的一半：γ−=−Ω/2（负号取决于相位约定）

4. 动力学相位

对于基态，能量 E−=−B恒定，动力学相位为：

5. 完整演化

经过时间 T（参数空间完成闭合路径），量子态演化为：

六、几何意义

1. 动力学相位：依赖于路径的’长度’（时间积分），类似于经典作用量。
2. 几何相位：只依赖于参数空间的闭合路径形状，反映了希尔伯特空间的曲率（Berry曲率）。

3.规范不变性：Berry相位在态矢量的整体相位变换下不变，而动力学相位依赖于相位约定。

4.投影希尔伯特空间：量子态实际上对应于射线空间（投影希尔伯特空间），几何相位反映了该空间的拓扑性质。

七、非绝热推广：Aharonov-Anandan相位

即使不满足绝热条件，也存在几何相位。

设量子态经历循环演化：

则总相位 ϕ可分解为：

动力学相位：

几何相位（Aharonov-Anandan相位）：

该相位同样只依赖于演化路径在投影希尔伯特空间中的形状。

动力学相位和几何相位共同描述了量子态演化的完整相位信息：

• 动力学相位：系统能量的时间积累，与演化速率相关
• 几何相位：希尔伯特空间几何性质的体现，仅依赖于演化路径形状

两者结合：

或更一般地：

其中 ϕ(t)包含动力学和几何贡献，|ψ~(t)⟩ 是射线空间中的路径。