错题已经有错。
订正错题，则是错上加错。
在应试学习中，同学们很大部分精力，放到了「订正错题」上。
然而大多数时候，是天天刷题天天错、天天订正还是天天错，错题满天飞。
订正更多的是在浪费时间，而非提高水平。
为什么这样说呢？
在数学开窍的智力原理(1)：智力的本质中我们谈到：
智力是操控概念的能力。
所谓理科，是「探索本质原理的学科」。
数理科目不好的同学，往往不是刷题不够多，而是基本概念原理不过关。
就说「订正错题」这个「订正」概念，就有根本问题。
所谓「订正」，意思是「修订正确」。
所以同学们订正错题，重点就是「对齐答案」。
对于大多数同学，对齐正确答案的这个时刻，他们解题过程就结束了。
答案都对了，还要什么呢？
做题不就是为了解出答案得分吗？
很多同学订正错题，把正确答案抄一遍，甚至抄得工工整整，好像就是「认真学习」了。
他们错题分析就像是狗熊掰玉米，订正数量多，但是一道题咬两口闻两下就扔了，很少有深度思考找到根源。
但顶尖高手往往从头到尾都不把「答案正确」当一回事。
他们追求的是「搞清真相」。
到底为什么自己会错？
错误现象是什么，根源在哪里？
如何根治问题？
这就需要深入的诊断复盘反思。
表妹的数学补习：为什么天天改错天天错
有一年春节，我回老家。
表妹在读高二，春节放假的，每天早上6点多就出门要去补习了。
说努力吧，很努力。
然而效果呢？
她那段时间补课，下午才回来。有一天下午放学后，我问她每天补课都在干嘛。
她说主要是做试卷，我说，你试卷中的错题做三道给我看看。
她做的时候，我就一直在看。
我发现，她在做题的时候，有好几次会停顿比较长的时间，或者是改来改去。比如在分式化简的时候，就会犹豫、涂改。
做完了三道题，我叫停然后问她：「你觉得你错在哪里」。
她就指着正确答案对我说，本来是这个，我做错了。「订正思维」上线。
我就问她：「你觉得还有什么问题吗？」
她说不出来了。
我就跟她说，「你在分式化简的时候，比较犹豫，中间还改了好几次。虽然有些时候勉强做对了，但说明这个知识点你没有掌握。」
分式化简这个知识点，是初中的内容。到高二了，她还是没有掌握。同样的，还有其他的欠账。例如小学阶段的求最大公约数都没那么熟练。
看上去在解题，然而她缺乏对自己解题过程的观察、反思能力，没看到自己的停顿、犹豫、纠结意味着什么问题。
这些犹豫、停顿、纠结的信息，以及背后意味着的初中知识点问题，没法看到。
我看她做三道题目，就发现她在初中好几个知识点有问题。而且因为初高中知识体系的连贯性，这些地方不牢靠，意味着后续的一系列知识点也会存在问题。
那么，从战略层面来讲，鉴于她基础知识体系的问题，现在根本不应该刷更高难度、更综合的题目。而是需要回归到初中那些基础知识领域，进行巩固。搞扎实了再继续。
她每天在补课，但是看起来有效思考量几乎为零，认知提升也几乎为零。
就像前面我让表妹做错题，在旁观观察她的行为，分析相关卡点，定位到具体的知识（例如分式化简），这些都是研究思考性工作。
而和她的错题分析对话，也是研究思考驱动。当时就一道错题，我大概和她花了大概两个小时，其实问题都还没挖掘完。包括：
-
回溯她的解题过程，讨论她在解题过程中表现出的知识点缺陷 -
从表现出的知识点缺陷深挖，挖掘更底层的知识问题（例如分式化简不熟练背后，是因数分解有问题） -
从这个知识问题更深挖，就是她整体的基础知识体系有问题，更有效的方向不是去补习刷题，而应该是重新梳理基础知识体系 -
从她错题反思复盘方法的角度，她重点是「把正确答案抄一遍抄的工工整整」，却没有真正的溯本求源，因此复盘反思方法需要改进，否则错题订正费力不讨好 -
从她整体的学习状况，在学习计划上应当聚焦于上面发现的基础问题，而目前的补习花费大量时间却缺乏效果，应当砍掉（整体时间分配的计划）
这些，都是指向「提升认知」，而非「把正确答案给抄下来」。
否则一张试卷甚至一道题都没有分析清楚透彻，就每天刷好几张，那有什么用呢？
今天大家看上去都很努力，但是你是在聪明的努力吗？你把知识和问题研究扎实了吗？你变得更聪明了吗？
关键不是开了多少枪，而是命中多少环
有次我跟微软的前同事吃饭。
他家娃上小学，正在学习小数的性质。
在作业里，小孩做错了一道题目。这道题目的内容，是要把厘米、分米、米等，统一换算成以米为单位的小数。
老师就说他小数的性质掌握不熟练、粗心大意，要求「多做几道题几套试卷」。
好啦，问题来了。
其实他家娃，是搞不清楚厘米、分米、米这些单位之间有啥关系，而非不会小数的计算。
换句话说，这道题只能说明，他的知识点，在「厘米、分米、米」上存在问题，而并不能证明在「小数的性质」上有问题。
但老师不管那么细，简单的要求多做小数的题目。
要按照老师的这个要求，小孩的做题量上来了，然而白费力气，没什么用。
病因都诊断错误，再吃药又有什么意义呢？
我同事就抛开老师的要求，给娃找了个米尺，跟他一起测量各种东西，从而建立对长度单位的理解。
这才是对薄弱环节的精准改进。
这就像打靶，关键不是你打了多少枪，而是打中多少环。
庸医良医与神医：精准层次决定疗效
在这个案例里面，孩子固然对自己的错误根源缺乏认知，老师也是庸医水平。跟老师走，费力不讨好。
很多对学生的学习指导，都说「要认真听课、订正错题、完成学校安排」。
以这种「认真服从安排」为核心思想的，都是扯淡。
老师分为3种：庸医、良医、神医。
-
庸医：只开药(盲目灌输、题海战术)，不问病因 -
良医：精准诊断，对症下药，药到病除 -
神医：上医治未病，授人以渔
遇到庸医，别说解决问题，病情不再恶化，你都要谢谢老天保佑，感谢大夫不杀之恩。
很不幸，在今天应试教育体系中，老师的专业水平真的是一言难尽。遇到庸医正常，遇到良医侥幸，遇到神医那是基本不可能。
作为学生，最终要自己成为神医。
能够高效诊断的前提：基础知识体系成形
有次我和一位高二同学讨论他的学习。
这位同学讲什么，他就很快会说「我知道了」。
问他书上有什么知识点，他说一些。问这些知识点什么意思，怎么来的，说网上看的。
但是真的懂了吗？
我让他把最近的试卷拿出来分析，正好看到这么一道题目。
我就问他，你怎么看这道错题的。
他就说，这道题我填B是错的，正确答案应该是D。
他本能关注的就是「结果」，缺乏对「原因」的反思。
于是我就进一步提问说，你觉得这个错误到底是错在哪一个知识点？
他想了想，说不出来。
你说不出具体的知识点，意味着对这个知识点是缺乏基本认识的。
过了一会，这位同学就说我大概知道这个知识点是啥，我翻书给你。
他就哗啦哗啦开始翻书，翻到了三角函数这一章。
最后指着书里面的一个内容说，就是这个知识点。
我就问他，那你觉得这个知识点叫什么名字？
本身这个知识点的内容是比较长的，需要用名字来做更精准的概括。
他想了一会儿说，这应该是「任意角」。
我就翻到课本的前面一页，问他说，那你觉得这个知识点叫什么名字？
他就愣住了，不知道该怎么区分这两个知识点的命名。
我就回到他指出的第一个知识点，来提炼这个知识点的内容，对它进行命名。
把它命名为「终边相同的角的集合」。
命名这件事情，本质上就是让你更深入的去理解知识概念，进行提炼。
但其实除了这个知识点，这道题目还涉及另外一个知识点。
就是「角的概念的拓展」。
在初中，我们对角的认识都是在360度以内的，而到了高中这样一个概念拓展了。
如果对角的概念拓展有清晰认识的话，看到这道题目就很容易识别出来。
我们前面讲的这两个知识点：「终边相同的角的集合」是一个基本的概念性的知识点。而「角的概念的拓展」，是描述的概念的演化过程，是一个过程性的知识。
如果知识研究到位，对概念知识整体有全面和比较精准的了解，那么通过错题反过来拉动知识掌握就容易了。
反之，再做也没有用，基本的概念不过关。
以有效的寻宝连线为基础，错题分析才有意义
在数学开窍的智力原理(6)：变聪明的秘密是只学一遍中，谈到了学透知识的3个步骤：
-
寻宝（研究识别提炼创建知识点） -
连线（研究识别知识之间的相互关系、提炼知识脉络） -
占领（研究难题和错题，评估和提高对知识点的掌握度）
我们首先要完成高质量的寻宝和连线，形成知识体系。
在此基础上，解题是为了巩固知识。
而这个情况下，至少初步形成整体知识体系，有清晰的知识地图，错题分析复盘往往才能精确到位，识别到底错误知识点在哪里。这时候的错题复盘往往才有意义。
你得先开地图，才谈得上知道自己在哪里迷了路。
否则再忙着奔跑，结局往往是继续迷路。
对知识依赖关系的洞察：前置知识与后置知识
知识体系的推导，演化脉络的建构，有一个重要的作用，就是产生知识演化链条，明确前置知识和后置知识。
数学知识体系之间的依赖性很多，甚至很长线。
例如在加法知识部分，粗看推导链条如下：
如果我们显示依赖关系，就变成了这样：
看上去比较复杂是吧，但是你仔细看，就发现一些知识点，明显在依赖关系（虚线）中间处于重要位置（链接比较多），例如「加法的竖式表示」。
研究知识点的依赖链条：错题溯本的关键
如果我们针对「加法的竖式表示」，显示其前向依赖和后向影响的知识，地图如下：
这样，就能清晰的看出「加法的竖式表示」，受到哪些前置知识影响，以及影响了哪些后置知识，例如它影响了加法的竖式计算法，而加法的竖式计算法又影响了乘法的竖式计算法。
从掌握知识的角度，这样才能更清晰的了解，到底要掌握一个知识，我们需要的前置知识是什么。
从错题复盘分析的角度，了解了知识依赖链条，才能真正的找到导致错题的薄弱知识根源。
例如，如果同学是加法竖式计算老出错，看上去他的薄弱知识点是「加法竖式计算」，但薄弱根源可能就其前置知识链条上的各种知识，比如十进制表示法没掌握，加法的竖式表示没掌握。
因此，需要基于前置知识链条，进一步探索，挖掘薄弱根源在哪里。这可能就要补一系列知识，最终才能掌握「加法竖式计算」。
如果你从来没有自己推导过知识体系，缺乏知识推导地图（哪怕在头脑中），对知识依赖链条没有概念，那么错了再刷题往往用处也不大。
反过来顶尖学神，他们一开始推导知识体系，也未必每个环节都非常清晰，那也不大可能。
但有了整体知识脉络，遇到错题，他们反过来去进一步研究，把知识脉络的欠缺很快补上去，这样知识体系越来越强。
所以要真正学好数学，你也必须首先从头推导体系，搭起演化脉络地图。缺陷可以慢慢补，但大地图一定要有。
关于具体知识演化脉络推导，请阅读数学开窍的智力原理(8)：知识体系是怎样炼成的。
所以啊，订正把答案抄对很简单，但是要成为神医，治标更治本，那却是需要追根问底的决心、深入严谨的研究、扎实的基础。而这些，才是让我们能够通过「从错误反思复盘变得更聪明」的要诀。
知识的掌握以寻宝连线为基础，做题只是巩固
在应试学习中，老师的逻辑是「知识不理解没关系，要记下来，要反复刷题会用，这样实现掌握」。
这个逻辑大错特错。
对于中小学阶段的数学，其核心知识的掌握不是靠刷题，而是靠基于寻宝、连线实现的对知识体系的深度理解，整体提升到分析和创造层次。
刷题的目的，是在「初步实现了整体理解基础上」，进一步应用和巩固知识，夯实薄弱环节，实现更高层程度的知识掌握，而不是「不懂没关系，靠反复刷题实现掌握」。
就像物业维修部门的工作，建立在房子本身设计建筑的高质量上。
地基都没打牢（知识寻宝不足）、框架都不扎实（脉络连线缺失），你就想靠客户保修物业维修来搞定？
疯狂愚蠢的想法。
然而应试教育就是这么疯狂愚蠢。
这背后真正疯狂的是，其实应试教育在鼓励大家搞知识体系的豆腐渣工程（只求数量不求质量的知识和刷题灌输）。
所以在应试教育中，普遍存在「抓数量忽视质量」的风气。
也许你暂时无法改变学校环境，但必须在自己/孩子的学习中彻底杜绝这一作风，要建过硬工程，不要搞豆腐渣。
你基础都不牢，到处漏风，凭什么刷题就能理解了。要花费多少资源？
反过来，一旦理解了核心概念，很多题目自然就容易做了。哪怕有错误，因为错误少，也可以精准的去改进。
寻宝和连线到位，只需要刷少量的题就吊打大多数了。
基础扎实则无往不胜。
在学习知识的当时，解题方面最直接的体现就是两个成功率高。
1）解题的一次成功率高
一次做对的速度快概率很高。
2）错题的精准改进率高
哪怕有错题，因为知识掌握全面脉络清晰，所以容易精准定位到薄弱环节，这样遇到错题可以精准改进，快速提升相关知识掌握度。
这样一来，只用刷很少的题目，就可以巩固知识了。
因为可以用少量的题目巩固，反而更容易有充分的时间来把重要题目研究透。
而基础概念不牢刷题量大、错误满天飞的同学，连勉强过一遍的时间都困难，已经只能应付数量顾不上质量了。
有效改进错题的第一要素：错题要少
在数学学习的讨论中，最多的莫过于「错题改进」，好像大家普遍觉得改错题才是进步的基础。
其实错题的有效改进，是有前提的。
其中之一就是「错题要少」。
因为错题满天飞的时候，一方面你很难有精力去处理，一方面说明你的基础知识存在严重问题。
这时候要做的，不是改错题，而是回头去寻宝和连线做扎实。
从源头控制解题质量，也有效的服务于「提升知识掌握度」的目的。
然而现实反过来。
很多同学错题多，一方面要做错题本之类，花费很多时间往往没多少用。
说起错题本就很头疼，大多数同学是把正确答案抄一遍，而不是精准找到根源。尤其是一些同学，把错题本抄的工工整整很漂亮，看上去赏心悦目简直是艺术品。
然而就是没多少用，错了又错。
有些人订正错题都订正不过来了。
还要刷更多的题。
人要贵有自知之明，对自己的能力有清晰的认识。
你很厉害吗？
最基本的知识都不透，水平本来就低，你还刷更多的题，有能力hold住吗？
一条战线都打不赢，还开更多战线？
水平越弱越要收缩资源聚焦，集中精力攻克核心问题。
这种情况，最应该反思的不是你的具体解题水平，而是整体学习战略。
不要追求分数，要修炼功德
古人讲要修功德。
功德，是「功与德」。
理科学习，也要勤修功德。
所谓理科，前面我们谈到，它的基本概念，其实就是「探索原理真相的学科」。
理科的「德」是什么呢？
是爱智求真（热爱智慧追求真理）。
关于这个，可以阅读数学思维的大王：学好理科要给他烧高香。
而理科的「功」又是什么呢？
如果是理科研究，那就是探索世界的真相，例如牛顿发现了物体运动的真相，为人类立下了创世之功。
而对于理科学习，那就是自己研究学习把握了真相、搞懂了原理、夯实了知识。
「功德」修炼得厚实，那就是顶尖学神。
而大多数同学，哪怕成绩100分，可能也就是高分学渣。
因为是刷出来的，功德不够。
这就是所谓的「德不配位」。
就说错题的角度，你天天订正错误把正确答案抄上去，真相搞清楚了，根源找到了吗，问题根除了吗，功德积累了多少呢？
很多家长疑惑自己孩子「以前成绩好好的，为什么突然就不行了」。
没有突然的，本来往往就是德不配位，只是你被分数迷惑了，没有看到而已。
功德到了，成绩也就水到渠成出来了。
到这里，我把学透知识的「寻宝连线占领」3步游戏大局讲完了。
做到这个，基础扎实就有了。
对于智力发展而言，还有一个，那就是「难题攻克」。
大多数同学面对难题，是等待老师投喂解法。
例如鸡兔同笼，老师先讲这个用假设法，说以后这种题型都要用假设法，然后大家刷题套方法。
然而真正顶尖的同学，他们其实并不需要老师投喂，而是自己从头研究破解难题。
见过的题目会做不是本事，没见过的难题，也能找到思路破解真相，那才是真功夫。
你要训练出更高的思维水平，就要训练「破解未知难题」的能力，而不是去刷题型。
那么这种能力如何培养呢？
且听后续分解。