微精选

嗯？这么好的问题！

其实这个问题非常的有用，做工程，科研的谁没有见过上面 FFT，窗函数啥的，但是来龙去脉倒是散步在各种文章的角落里面，没有人来一篇综述一样的文章。

但是它最牛逼还是第一个 F=Fast，就是快，快就以为着效率高。那为什么会有这么多窗函数，其实源自 频域指标之间的“矛盾”，不同窗函数就是在这些矛盾中找到不同的折中。不可能“三全其美”：主瓣窄 / 旁瓣低 / 幅度准 → 无法同时满足。

窗函数的基本作用

在做 FFT 频谱分析 时，如果信号频率不是整数 bin，就会发生 谱泄漏（能量扩散到所有 bin）。 加窗函数的目的就是：

降低旁瓣（sidelobe） → 抑制泄漏，把能量限制在主瓣附近。

改善幅度估计 → 减少 scalloping loss，保证幅度更准确。

控制 ENBW（噪声带宽） → 影响噪声地板，决定噪声测量的准确性。

影响主瓣宽度 → 决定频率分辨率（能不能区分两条很近的谱线）。

窗函数之间的矛盾（关键指标）

主瓣宽度 vs 旁瓣高度

1. 主瓣窄 → 分辨率高，但旁瓣就会高（Rect 窗就是极端）。
2. 主瓣宽 → 泄漏抑制强（BH4/Nuttall），但分辨率下降。

幅度精度 vs 噪声带宽

1. Flat-top 窗让主瓣“平”，幅度几乎无误差，但 ENBW 超大（噪声地板高）。
2. Hann 窗 ENBW 小，噪声地板低，但 scalloping loss 仍有 −1.4 dB。

ENBW vs 动态范围

1. ENBW 小（Rect、Hann） → SNR 测量更准，但旁瓣高会污染动态范围。
2. ENBW 大（BH4、Flat-top） → 动态范围好，但噪声被“放大”。

因此需要“很多种窗”

不同窗函数就是在 主瓣宽度 / 旁瓣高度 / ENBW / 幅度精度 之间做取舍：

1. Rect：分辨率最好，但泄漏严重，只能在相干采样下用。
2. Hann/Hamming：折中，常用于 ENOB/SNR 测试。
3. Blackman/Blackman-Harris/Nuttall：牺牲分辨率，换取超低旁瓣，适合做 SFDR/THD。
4. Flat-top：幅度精度最优，适合校准。
5. Kaiser：加了一个参数 β，可以在“分辨率–旁瓣–ENBW”之间灵活调整。

换句话说： 没有一种窗能在所有场景下最优，所以才会有这么多选择；可以把“窗函数”理解成“不同滤波器设计”（FIR 的）：

Rect = 硬切 → 最锐利但振铃（泄漏）

Hann = 温和过渡 → 常用折中

BH4/Nuttall = 高级滤波器 → 抑制振铃，代价是带宽更宽

Flat-top = 为幅度测量专门优化

Kaiser = 可调设计，用参数 β 决定“锐利还是平滑”

其中在频谱分析里，最核心的矛盾就是：

主瓣宽度（决定分辨率） → 越窄越能分辨相邻谱线，但泄漏容易扩散；

首旁瓣高度（决定泄漏抑制） → 越低越能看清弱小谐波，但主瓣就会变宽。

如果把“主瓣宽度”画在横轴，“旁瓣高度(dB)”画在纵轴，不同窗函数就在图上落在不同的区域。

越往右 → 主瓣越宽（分辨率降低）越往下 → 旁瓣越低（泄漏抑制越强)

数学推导（离散窗化 FFT 的核心结论）

信号、窗口与 DFT

采样长度 ，采样频率 ，设输入为单一余弦

加窗  后做  点 DFT：

把余弦写成指数并整理，可得（令  为“归一化频率（以 bin 为单位）”）：

其中

是窗口的离散频响。

当  时，第一项占主导，因此谱泄漏的形状完全由  决定：矩形窗对应的  是 Dirichlet 核，旁瓣高；多项式余弦窗（Hann/Blackman/Blackman-Harris/Nuttall…）把旁瓣压低、但主瓣变宽。

一致性增益（Coherent Gain, CG）与幅度还原

若 相干采样（ 为整数），主瓣峰值位于 ，有

定义

于是幅度无偏还原公式（单纯看峰值）是

当 非相干采样（）时，能量分散到邻近 bin（泄漏），单 bin 幅度会低估。工程上常配合峰值插值（如三点抛物/Quinn/IpDFT）改善  和 。

ENBW（等效噪声带宽）与处理增益

把窗口看作一个 FIR：对白噪声，一个 FFT bin 的期望噪声功率与窗口平方和成正比。结论：

换算到 Hz：。

同样，处理增益（噪声地板相对时域的下降量）：

所以：ENBW 越小，噪声地板越低；但通常伴随旁瓣较高或主瓣较窄/宽的权衡。

主瓣宽度、旁瓣与分辨率/动态范围

频率分辨率：主瓣越窄、越容易分开相近的两根谱线（以“零点到零点”或“3 dB 宽度”衡量）。

动态范围/泄漏抑制：首旁瓣越低、越不“污染”远处频点（计算 THD/SFDR/SNR 时更干净）。

典型趋势：Rect 主瓣最窄但旁瓣高；Hann/Blackman 逐步降低旁瓣、主瓣也随之变宽；Blackman-Harris 4-term / Nuttall 4-term 旁瓣可达 −90 dB 级别；Flat-top 强调平顶以减小“半 bin 频偏的幅度起伏”。

Scalloping Loss（波峰起伏）与插值

当正弦频率恰好落在两个 bin 的正中间（），若只取“最近整数 bin 的峰值 + CG 还原”，会产生最糟糕的幅度低估，称 scalloping loss。理想幅度 0 dB，对不同窗会出现 −3.9 dB（Rect）到约 −0.01…−0.5 dB（Flat-top/高阶窗）的差异。

插值（如三点抛物）可以明显缓解，但 Flat-top 天生让主瓣更“平”，因此对幅度测量最友好。

在默认非相干采样场景：

幅度最准确（做幅度/增益标定）：Flat-top（5-term）。scalloping 极小，插值后 MAPE 最低；缺点是主瓣很宽、ENBW 大（噪声地板抬高、近线可分性变差）。

通用 SNR/ENOB 测试：Hann 是业界常用折中（ENBW≈1.5 bin、旁瓣约 −31 dB）。

要极低泄漏/做 THD、SFDR：Blackman-Harris 4-term 或 Nuttall 4-term（首旁瓣 ~ −90 dB 级），代价是更宽主瓣、略大 ENBW。

只要分辨率（两线很近）且“严格相干采样”：Rect（或加上整周采样）。这时没有泄漏，主瓣最窄；非相干则最不稳。

希望可调旁瓣/主瓣折中：Kaiser（调 ），例如  可得 ~ −60 dB 旁瓣。

其中要估计频率、又要抑制泄漏 → BH4 / Nuttall4（插值配合）；如果相邻谐波很近（电机/逆变器） → 先考虑更长记录 ；若  受限，偏向主瓣较窄的窗（Hann/Hamming），并结合谱峰拟合/多谱融合。

来看看仿真结果：

窗口指标4096 点：包含

STDOUT/STDERR
窗口指标（4096 点）
         Window       CG  ENBW (bins)  Mainlobe 3dB width (bins)  First sidelobe (dB)  Scalloping @0.5 bin (dB)
           Rect 1.000000     1.000000                   0.453125             0.000000                 -3.925724
        Hamming 0.539888     1.363065                   0.656250             0.000000                 -1.751259
           Hann 0.499878     1.500366                   0.734375             0.000000                 -1.422916
  Kaiser(β=8.6) 0.420698     1.721792                   0.828125             0.000000                 -1.108702
       Blackman 0.419897     1.727179                   0.828125             0.000000                 -1.098338
     BH(4-term) 0.358662     2.004842                   0.953125             0.000000                 -0.825168
Nuttall(4-term) 0.355681     2.021726                   0.968750             0.000000                 -0.811357
Flattop(5-term) 0.999756     3.771085                   1.875000            -0.000725                 -0.015598

一致性增益 CG

ENBW（以 bin 为单位）

3 dB 主瓣宽度（bin）

首旁瓣电平（dB） （这里还有一个文章）

0.5 bin 频偏时的 scalloping loss（dB）

Monte Carlo（200 次随机频偏）三点抛物插值的幅度 MAPE：

典型地，会看到（示意）：

Monte Carlo：随机频偏幅度估计平均相对误差
         Window  MAPE (parabolic, %)
Flattop(5-term)             0.689884
     BH(4-term)             1.100685
Nuttall(4-term)             1.101500
  Kaiser(β=8.6)             1.676467
       Blackman             1.730524
           Hann             2.477651
        Hamming             3.729344
           Rect            13.479280

条形图显示了不同窗在随机频偏时的平均相对误差（MAPE），能看出 Flat-top 最稳。

泄漏演示图：同一非相干正弦（同幅度、同频偏），不同窗的谱泄漏“裙摆”可比；展示“真实信号在 FFT 里会被污染成什么样”。

各窗的频响（dB）图：前 30 个 bin 范围，直观看主瓣宽度与旁瓣高度：展示“窗函数自身的滤波特性”，告诉你它在分辨率、泄漏抑制上的取舍。

Rect 窗 → 泄漏最严重，“裙摆”很宽，强信号会掩盖邻近弱信号。

Hann/Hamming → 泄漏明显减轻，裙摆下降到 −30 dB~−40 dB。

BH/Nuttall/Flattop → 泄漏抑制最强，裙摆快速衰减到 −80 dB 甚至 −100 dB，能看清弱谐波。

上面的图是展示每个窗函数本身的频谱特性：

主瓣宽度（决定分辨率，能否分开相近频率）。

首旁瓣高度（决定泄漏抑制能力，动态范围能到多少）。

其中主瓣越窄 → 频率分辨率越好。

如果旁瓣越低 → 谱泄漏越小，动态范围越大。

上面的图可以对比不同窗的“指标性能”，指导实际应用中怎么选：

做 SNR/ENOB → 选 Hann（主瓣适中，噪声地板低）。

做 THD/SFDR → 选 BH4/Nuttall（旁瓣最低）。

做 幅度精度 → 选 Flattop（scalloping 最小）。

窗的幅度还原（单峰）

三点抛物插值（幅度谱）设 ，则

插值后频率估计 ，幅度用  代入上式做还原。

ENBW（bin）

SNR/THD 评估的“排除带”：做总功率积分时，需在基波及其  个 bin（视窗主瓣宽度而定）设置防护带再积分噪声；否则把主瓣“裙摆”当成噪声会高估噪声。

总结一下相干采样就用矩形窗（峰值与功率最“干净”、ENBW=1）

条件：，并尽可能整数周期采样 + 去直流偏置。

非相干且需要幅度准确 → Flat-top + 抛物（或 Quinn）插值。

典型幅度误差 < 1%，对 THD/增益标定友善。

如果做 ENOB/SNR → 多用 Hann（折中）；若谐波/邻峰干扰，升到 BH4/Nuttall4；记得用 ENBW 修正噪声谱密度；对主瓣设置足够排除带。

如果要区分很近的两条线 → 首先加长记录 N（真正的分辨率是 ）；若 N 受限，再用主瓣较窄的窗（Hann/Hamming/甚至 Rect，但注意泄漏）。