微精选

在前面我们讨论了数学开窍的智力原理(1)：智力的本质。

其中指出，智力是操控概念的能力。

假聪明和真聪明，在这方面有根本差异。

孩子是假聪明，还是真聪明？

有些家长有种认知：「我家孩子很聪明，就是不够努力」。

他们到底如何判断孩子聪明的呢？

通常就是：知道得很多、思维反应快。

然而这里需要更加谨慎的判断。

大致来讲，有两种情况：

• 假聪明：大量的刷信息、不加思考形成的快速反应、信息知识谬误多、推理不严谨各种掉链子、快而粗糙
• 真聪明：高质量的信息和知识输入、对事实和概念的清晰识别判断、有效的研究思考甄别、严谨的分析推理、结构清晰逻辑严谨的概念和知识体系

假聪明的问题在这个时代特别突出。

大家人手一个手机/Pad，信息资讯随手可得，打开抖音几秒一个视频，是个人就可以快速的获得大量信息。

尤其是中小学生，本身这个年龄段就容易吸收信息，手机刷多了，很容易形成「知道得多、反应很快」的表现。

但他们获得的信息，真伪难辨；接受的观点，谬误众多；推理的逻辑，经不起考验。

从知识体系的角度，他们的知识和信息就像是乞丐的百家衣，从东家讨到一块麻布，西家拼到一块棉布，缝缝补补就成了自己的外套，到处漏风。

从智力的角度，他们缺乏对事实和观点的区分能力、难以对概念进行有效的理解、难以进行严谨的推理，很容易被误导，自己也很容易扯歪理。看上去反应快，但是思维链条混乱。

在前互联网时代，这类人最突出的代表，是出租车师傅。

看上去信息多咨讯渠道广，无所不知，扯得头头是道。但要是深究下去，各种问题。

因为科技的普及，现在更多的人拥有了出租车师傅的「聪明」。

类似的，学校刷题模式为什么有问题？

一直刷一直刷，基于大量的信息灌输，学生也会获得一些二手的知识经验，看上去懂得不少。然而其中各种谬误，经不起推敲。

他们不是「这里不会」或者「那里不会」，是到处都不会。

最可怕的还不是不会，是根本不知道自己不会。

真聪明的人反过来，对信息把关严，有谨慎的研究思考，真正的智力高（对概念识别很清晰、逻辑推理严谨、有速度有精度）、知识体系的质量高。

例如张一鸣（字节创始人），作为今日头条、抖音的创始人，他的产品基于算法，投喂给用户大量的信息。至于这些信息的真实靠谱程度，那就一眼难尽了。

然而他自己，却关注延迟满足，在他早期微博中说：

延迟满足感程度在不同量级的人是没法有效讨论问题的，因为他们愿意触探停留的深度不一样。

面对信息不假思索的接收反应，是「触探停留的深度很浅」的表现。而进行研究思考，则是更深的触探停留。

在他的另一则微博中，谈到的是对信息的澄清精准获取：

沟通中没听明白的话，常因为这些话用了「这个」，「那样」等代词，或笼统的名词，含糊的形容词、副词、量词替换掉往往「本身还模糊或有分歧的内容」。虽然句子是完整了，但是意思不清楚。然而如果替换的部分是清楚的，并不会听不明白。你要做的就是抓住这个词，还给他们。

光信息接收快反应快不是智力高，快速加上精准才是。

那么你家孩子，面对复杂的信息和概念，是否有精准的理解、判断和反应呢？

假聪明：反应快但是浮躁粗糙

有次我和一位高二同学讨论他的学习。

这位同学讲什么，他就很快会说「我知道了」。

问他书上有什么知识点，他说一些。问这些知识点什么意思，怎么来的，说网上看的。

但是真的懂了吗？

我让他把最近的试卷拿出来分析，正好看到这么一道题目。

我就问他，你怎么看这道错题的。

他就说，这道题我填B是错的，正确答案应该是D。

他本能关注的就是「结果」，缺乏对「原因」的反思。

于是我就进一步提问说，你觉得这个错误到底是错在哪一个知识点？

他想了想，说不出来。

你说不出具体的知识点，意味着对这个知识点是缺乏基本认识的。

过了一会，这位同学就说我大概知道这个知识点是啥，我翻书给你。

他就哗啦哗啦开始翻书，翻到了三角函数这一章。

最后指着书里面的一个内容说，就是这个知识点。

我就问他，那你觉得这个知识点叫什么名字？

本身这个知识点的内容是比较长的，需要用名字来做更精准的概括。

他想了一会儿说，这应该是「任意角」。

我就翻到课本的前面一页，问他说，那你觉得这个知识点叫什么名字？

他就愣住了，不知道该怎么区分这两个知识点的命名。

我就回到他指出的第一个知识点，来提炼这个知识点的内容，对它进行命名。

把它命名为「终边相同的角的集合」。

命名这件事情，本质上就是让你更深入的去理解知识概念，进行提炼。

但其实除了这个知识点，这道题目还涉及另外一个知识点。

就是「角的概念的拓展」。

在初中，我们对角的认识都是在360度以内的，而到了高中这样一个概念拓展了。

如果对角的概念拓展有清晰认识的话，看到这道题目就很容易识别出来。

我们前面讲的这两个知识点：「终边相同的角的集合」是一个基本的概念性的知识点。而「角的概念的拓展」，是描述的概念的演化过程，是一个过程性的知识。

如果知识研究到位，对概念知识整体有全面和比较精准的了解，那么通过错题反过来拉动知识掌握就容易了。

反之，再做也没有用，基本的概念不过关。

真聪明：扎实沉稳基础上的反应敏捷

有一年春节，我回老家。

表妹在读高二，春节放假的，每天早上6点多就出门要去补习了。

说努力吧，很努力。

然而效果呢？

她那段时间补课，下午才回来。有一天下午放学后，我问她每天补课都在干嘛。

她说主要是做试卷，我说，你试卷中的错题做三道给我看看。

她做的时候，我就一直在看。

我发现，她在做题的时候，有好几次会停顿比较长的时间，或者是改来改去。比如在分式化简的时候，就会犹豫、涂改。

做完了三道题，我叫停然后问她：「你觉得你错在哪里」。

她就指着正确答案对我说，本来是这个，我做错了。

我就问她：「你觉得还有什么问题吗？」

她说不出来了。

我就跟她说，「你在分式化简的时候，比较犹豫，中间还改了好几次。虽然有些时候勉强做对了，但说明这个知识点你没有掌握。」

分式化简这个知识点，是初中的内容。到高二了，她还是没有掌握。同样的，还有其他的欠账。例如小学阶段的求最大公约数都没那么熟练。

看上去在解题，然而她缺乏对自己解题过程的观察、反思能力，没看到自己的停顿、犹豫、纠结意味着什么问题。

这些犹豫、停顿、纠结的信息，以及背后意味着的初中知识点问题，没法看到。

我看她做三道题目，就发现她在初中好几个知识点有问题。而且因为初高中知识体系的连贯性，这些地方不牢靠，意味着后续的一系列知识点也会存在问题。

那么，从战略层面来讲，鉴于她基础知识体系的问题，现在根本不应该刷更高难度、更综合的题目。而是需要回归到初中那些基础知识领域，进行巩固。搞扎实了再继续。

她每天在补课，但是看起来有效思考量几乎为零，认知提升也几乎为零。

要更聪明，就需要扎实沉稳的调查研究分析思考。

就像前面我让表妹做错题，在旁观观察她的行为，分析相关卡点，定位到具体的知识（例如分式化简），这些都是研究思考性工作。

而和她的错题分析对话，也是研究思考驱动。当时就一道错题，我大概和她花了大概两个小时，其实问题都还没挖掘完。包括：

• 回溯她的解题过程，讨论她在解题过程中表现出的知识点缺陷
• 从表现出的知识点缺陷深挖，挖掘更底层的知识问题（例如分式化简不熟练背后，是因数分解有问题）
• 从这个知识问题更深挖，就是她整体的基础知识体系有问题，更有效的方向不是去补习刷题，而应该是重新梳理基础知识体系
• 从她错题反思复盘方法的角度，她重点是「把正确答案抄一遍抄的工工整整」，却没有真正的溯本求源，因此复盘反思方法需要改进，否则错题订正费力不讨好
• 从她整体的学习状况，在学习计划上应当聚焦于上面发现的基础问题，而目前的补习花费大量时间却缺乏效果，应当砍掉（整体时间分配的计划）

这些，都是指向「提升认知」，而非「把正确答案给抄下来」。

否则一张试卷甚至一道题都没有分析清楚透彻，就每天刷好几张，那有什么用呢？

今天大家看上去都很努力，但是你是在聪明的努力吗？你把知识和问题研究扎实了吗？你变得更聪明了吗？

真聪明的3个特征

真正的聪明，我觉得有3个特征：

• 扎实沉稳（底层厚重）
• 敏锐创新（中层灵活）
• 高瞻远瞩（高层宏大）

满足前两个标准的，在学校中已经是学神水平。

加上高瞻远瞩，那就是大神潜力，甚至最终是大神水平。

符合这三个特征的，一个典型的榜样，就是泰勒斯，理科祖师爷。

在数学思维的大王：学好理科要给他烧高香中，我已经对他进行了介绍。

但是还不够。

每一位学理科的同学，都应该拜这位祖师爷，引以为榜样。

要变聪明，就要学习顶尖的聪明头脑。

真聪明的特征1：高瞻远瞩

现代数学的源头，是希腊哲学。

希腊历史上的第一位哲学家，是泰勒斯。

他是思维扑克中，大王牌上的人物。

理科的祖师爷。

泰勒斯生平大致在公元前620年到公元前545年。

在那个时代，大多数人都以神话或者传统教条理解自然现象，被迷信主导，其实到今天很多人依然高度迷信。

泰勒斯是希腊历史记载的第一个用观察和逻辑解释自然现象的人。

请注意那时候大家普遍信神，我们知道希腊有很多神话传说，例如宙斯。泰勒斯哪怕没有直接否定神创论，他说要「通过观察和逻辑解释自然现象」，其实就已经是在质疑神的力量，在那个时代是非常疯狂的、离经叛道的。

甚至可能有生命危险。

后来苏格拉底被审判，罪名就是「不敬神」。

泰勒斯是人类的先知。

他把理性精神融入研究，开创了自然哲学，也就是古代的理科。

在迷信的时代超前提出科学的观念，这是「高瞻远瞩」。

今天在应试教育中的大多数家长、同学和老师，也觉得应试有问题，但还会照搬，问就是「别人都这么做的呀，老师是这样要求的呀」。

那你有什么主见呢，有什么高瞻远瞩呢？

跟大多数人一样，那就是思想平庸。

你思想平庸，凭什么就能领先？想来想去就只有卷了。

智力不够，想要靠体力来凑。

浪费精力还不解决问题。

真聪明的特征2: 敏锐创新

聪明人的思路很活跃，善于观察现象、创造性解决问题、化繁为简。

泰勒斯有一个经典案例，就是对金字塔高度的测量。

我们知道埃及金字塔是人类文明的奇观。

那么到底它有多高呢？

金字塔是实心的，你没法简单的用吊根线的方式去测量。

那我们爬上去拉线测量，也只是测到的斜坡长度而非高度。

请记住那是在公元前，不是在今天，科技和数学都不发达。

测高度太麻烦了，按照「化繁为简」的思路，能不能有简单的呢？

泰勒斯用巧妙的方法，不测高度而测出了高度。

一天在有太阳的时候，他在金字塔附近，不时让人测量自己的影子长度。

然后等到影子长度和他的身高相等（用我们今天的话说，成了等腰直角三角形）。

他就让人去测量金字塔的影子长度。

基于相似三角形原理，这时候金字塔的影子和其高度应该也想等，这就是金字塔的高度了。

于是泰勒斯把「测高度」这个复杂问题，转化成「测影子长度」这个简单问题，漂亮的解决了。

不测高度而测得高度。

甚至他还等到正好两边长1:1的时候，这样连比例换算都省了。

很酷。

这就是高手境界。

追求简洁、善于创新。

从这个角度，死记硬背别的不说，太复杂麻烦就足以让人觉得不行，会有更好的方案。

所以高手往往是对死记硬背有本能的警惕，他们会去探索更好的办法。

如果你对死记硬背习以为常，那就糟糕了。

真聪明的特征3: 扎实沉稳

高瞻远瞩、敏捷创新，需要更厚重的底层。

顶尖的聪明人，都关注扎实沉稳的基础。

从智力角度，就是他们对于基础概念、知识推理逻辑非常关注，一环一环扎实稳重，非常严谨。

很少有「我觉得」，高度的实事求是。

而假聪明的人，其逻辑链条中大量的拍脑袋凭想象。

回到理科祖师爷泰勒斯。

泰勒斯认为我们经验观察产生的结论未必可靠。

如果要寻求真相，那就需要严谨求证。

他是第一位提出观念需要证明的思想家。

那么如何求证呢？他首创了「数学证明」的思想和方法，成为第一个做出数学证明的人，开创了数学证明的传统。

这个思想，到今天还是超前大多数人。

泰勒斯的一个案例，是对「对顶角相等」的证明。

1）观察：两线相交，对顶角看起来相等

2）质疑：是否总是相等？为什么相等？

3）证明

已知相邻角互补（=180°）
∠1 + ∠2 = 180° 
∠1 +∠4 = 180°
所以  ∠2 = ∠4

这个相对简单，但是要注意是这个范式，我们观察产生的经验结论，要经过证明确认其真实性。

这个追求逻辑严谨的思想，对于「变聪明」至关重要。

扎实沉稳意味着要探索到最底层本质

扎实沉稳，不仅仅是追求证明，也是要追求底层本质规律。

在这方面，泰勒斯也开创了「以概念揭示本质」的先河。

提炼泰勒斯有一个观念，就是要从直观经验中提炼规律。

很多时候，这种提炼就会形成抽象概念。

例如，他观察月亮、盘子、车轮等事物，这种人们称为「圆」。

从月亮、盘子、轮子这种事物，我们提炼出「圆」这个抽象概念，其实就是在总结规律。

这个是比较好总结的。

那么什么是圆呢？你能给他下一个定义吗？

大多数人（无论是古人还是今人）往往会说：「像月亮、盘子、轮子这样的东西，就是圆」。

这还是用现象来解释概念，而非找到这些事物的本质特征。

甚至还有人会说：「像月亮、盘子、轮子这样的圆圆东西，就是圆」。

让你来定义什么是「圆」，圆都还没定义，你就用「圆圆」这个没有定义过的来定义圆自己，矛盾了。

大多数人其实连这种矛盾都看不出来。

反过来，认知水平高的人，对概念就敏感，善于提炼、识别、分析。

泰勒斯当时给圆下的定义是：

和某一点距离相等的点组成的轨迹，就是圆

大家注意了，这就脱离了举例法的定义，而是描述了圆的抽象本质规律了。

这样描述的圆，就是理论上的纯粹的抽象，超越了现实例子的不完美，例如车轮很难真正做到这么圆。

这个定义从经验世界出发，定义的圆，脱离了经验世界的具体对象，完成了抽象过程，提炼了本质规律（到定点的距离等于定长）。

今天初中数学中圆的定义，就是基于泰勒斯提出的范式。

基于这个定义，进一步细化，「某一点」我们称为「圆心」，「距离」我们称为「半径」，这样新的概念就出来的。

高中基于集合论，把它做了一个变化，定义类似于：

到定点的距离等于定长的点的集合。

但发现本质规律、实现抽象定义的，还是泰勒斯。

理科学神普遍的特征，就是像泰勒斯这样，日常会观察研究分析思考，尝试去从现象中提取规律形成概念。

他们往往会自己去定义概念。

哪怕是书上的概念，他们也会自己去思考概念怎么来的，完成研究推导分析提炼的过程。

然而大多数同学，就是死记硬背，把书上的概念抄几遍背下来。

老师就是这么教的。

这背后的问题，是老师普遍也理性心智欠缺，大多数老师以前也是靠死记硬背刷题考大学的，而不是靠研究分析理解形成底层智慧。

低认知水平培养低认知水平。

认知水平低下的人，本能的觉得概念不重要。然而高认知的人，对基础概念无比重视。

假聪明只关注How，真聪明关注Why

了解事物有三个基本维度，我称之为WWH模型:

• Why：为什么
• What：是什么
• How：怎么做/怎么用

对于WWH核心关注点的差异，反应了学习者的层次：

• 学神（最关心的是Why）
• 学霸（会关注到What）
• 学渣（只关注How）

大多数同学包括老师，最关注的就是How，怎么解题。

这种水平都很渣。

低层次的家长、老师和同学，往往how搞不定，去咨询什么的，又抱着一种观念「不要跟我讲什么原理、概念，告诉我怎么做」。

这种想法非常愚昧。

理科之所以叫做理科，意思就是「探索原理的学科」，原理是Why和What。

你只管How学什么理科啊。

顶尖的同学，往往是深度探索底层原理Why的，进而把概念的What搞清楚，而原理搞懂了，概念扎实，解题的How其实简单很多。

用泰勒斯研究提炼圆的概念的例子。

我们看到车轮、盘子、月亮的相似性，可能会提炼出一个概念例如圆，就完了。

这个比较容易，因为看上去就像。

但是泰勒斯会研究思考，到底为什么（Why）它们看上去很像呢？它们的共性是什么呢（What）。

研究分析发现，原来它们共同的规律是，它们的那一圈边缘，到某个点的长度相等。

把为什么搞清楚了，圆的定义也就呼之欲出了。未来可以运用这个知识点。

Why -> What -> How。

通过搞清楚来源去提炼产生概念知识。

哪怕我们学习，课本上已有的知识，要学透，也要经过这个逻辑，重新分析推导。

大多数同学并不是这样的，他们直接背定义。

顶尖学神会怎么学习呢？

课本上看到了定义（What），也会反过来研究思考为什么（Why）会产生这个概念。

很多时候课本上是有相关内容的，只是大多数同学忽略了。哪怕没有，顶尖学生也会自己思考尝试建立推导逻辑。

例如你先看到了圆的定义，反过来思考这个推导出来的。

我们看月亮、看盘子，能看出来到定点的距离等于定长的规律吗？

好像直接看比较困难。

看车轮呢？

我靠，车轮好像比较容易，因为很多车轮是有辐条的，辐条都连接到一个中心上。

而这些辐条好像都有一个规律，长度差不多啊。

你从这个角度思考，理科祖师爷泰勒斯，可能是从车轮来发现这个规律的吧，相对简单。

当然这只能是猜想了。

提升难度，如何从月亮、盘子这种东西，来发现识别这个规律呢？

车轮辐条跟他们相比，貌似加了一系列辅助线，从而让规律更容易浮现出来。

那么到底如何加辅助线，这个逻辑是什么？

让我们观察月亮、盘子这种东西，至少有一种特征比较明确，那就是貌似它们有对称性。

让我们想象折叠，会产生对称轴。

这样的对称轴有多少根呢？好像会很多。

那这些对称轴之间有什么关系呢？

我们尝试再折叠一次，或者画对称轴。发现它们会有一个交点。

再来，好像还是会相交在一点。

这一个点非常特殊了。

很有意思。

它特殊在那里呢？

比较容易发现，它和边缘上的点貌似距离相等。

这也出来结论了。

于是这样，我们利用「对称性」、「折叠」，自己干出辅助线来发现了规律。

重新走完了研究定义「圆的概念」路程，自己提炼创造了这个概念。

就是费曼所说：

凡我不能创造的，我就没有理解。

你把基础概念重新创造了，就理解了。

这才是学神的学习方式。

无需记忆，只需理解。

为了理解，研究创造。

假聪明回答别人出的题，真聪明提出自己的问题

另外需要注意一点，大多数同学，是做老师出的题目。

而前面，我们研究圆的概念时，其实是反过来，从这个定义结论出发，反向出题：

如何从盘子、车轮、月亮这些日常现象中，提炼出圆的定义？

通过这个反向的问题，从What去寻找Why，从而实现真正深刻的理解。

而且通过这个自创问题，我们还研究出两种解法。

一种从车轮入手，简单（因为自带辐条甚至辐心的辅助线）。

一种从更抽象的只有边缘没有辅助线的月亮、盘子等研究思考，利用「对称性」等入手探索。

这道题目自己研究思考下来，那对思维的训练很不错了。

第二种情况还是有难度的。

你这样走一遍，不仅仅是深入创造理解了概念，还做了一题多解，有了对对称性、辅助线利用的新思路。

头脑就是这样灵活起来的，逻辑就是这样强大起来的。

解题经验丰富了，概念透彻了。

完全是在研究课本阶段就能变得很厉害。

这里就有一个结论：

吃透课本知识的What-Why-How，不用额外的习题，就已经可以成为一流水平。

当然你还是要刷一些题巩固提升，但整体水平直接在吃透课本层面搞定了。

这时候就非常省事。

知识扎实、解题经验丰富，大多数题目一看就知道怎么回事跟哪些知识有关系。少数难以解决的，也可以研究分析。

我在中学时代就发现一件事情，就是绝大多数题目，我看一眼就知道考察什么知识点，直接干出来就完了。核心在于研究理解搞清楚了基础概念。

我的同学就不行，他们需要用那种「题型资料」，靠题型反过来刷熟练度，看到题型要形成条件反射，才知道哪种情况用什么知识点。

但是题型教辅里面又是一啪啦新的内容和知识啊，题型本身也是知识。

我只需要学课本，他们还要学题型教辅刷题，我根本就没有后面这块工作量。

这里面有个荒谬之处，就是我的学习能力更强，但我只需要学好课本；他们学习能力不足，课本学不好，但课堂内容还得学，同时还有增加要「熟悉各种题型能应用自如」的任务，工作量还比我大很多。

他们更没这个能力呀，又回到能力圈的问题了。

你连课本基本概念知识都没搞清楚，还去搞题型，这些题型五花八门，你有那个精力和本事吗。

关键是还不止数学一科，其他的还要花费时间呢。

为了解决一个问题，制造出更大的问题。

但他们认为是对「基础知识不牢」的解决方案。

这又是认知水平不同导致的差异。

砍掉学习任务量，一个核心就是砍掉你去套题型的任务量。不管千变万化，回归基础概念和思维，用吃透课本解决95%的问题。

归根到底，你先要对「基础概念知识体系」有深刻的认知，这才是应对千变万化题目的基础。

以不变应万变。

简单愉悦省事。

要变聪明，就要跟顶尖聪明人学习

回顾我们谈到的真聪明3大标准：

• 扎实沉稳（底层厚重）
• 敏锐创新（中层灵活）
• 高瞻远瞩（高层宏大）

想要变聪明，就要跟顶尖聪明的头脑学习。

这些人在哪里呢？

从理科角度，顶尖的聪明人，他们的知识在教科书上，例如你看到的数学证明法、圆的定义，这些源于泰勒斯的创造。

然而知识背后，像泰勒斯这样顶尖头脑的思想，大家往往难以看到。

少数同学能够领悟，但它超出了大多数同学的认知范畴。

所以我设计了数学思维扑克牌，把这些顶尖头脑和他们的思想，提炼为5种智慧、5种花色：

• 王炸：原则智慧
• 红桃♥️：表达智慧
• 方块♦️：观察智慧
• 黑桃♠️：谋略智慧
• 梅花♣️：哲思智慧

写作了数学思维启蒙教材「数学思维就是5种智慧」，让大家可以认识这些顶尖头脑，向聪明人学习。

教材和扑克牌可以这里获取：数学思维入门套装：教材与扑克牌。

要学好数学，拥有一流的头脑，你要破除一个障碍，那就是「智力天赋论」。事实上，迷信天赋本身就是一种智力缺陷。

在下一篇，我准备谈谈「破除智力天赋论」的问题。