试题内容
解法分析(1)
矩形ABCD的周长为10.
解法分析(2)
尺规作图
在作出垂线(直角)的基础上，通过构造等腰直角三角形，得到45°角.
作法：
1.以点E为圆心，EO长为半径画圆，交BE于点M.
2.作直线MO交AD于点N. 直线MN即为所求作.
(作法不唯一，但原理相同.)
作图原理的说明
由作图过程得：∠OEM=90°，EM=EO，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴∠NMC=45°，
∴直线MN与BC所夹的锐角是45°.
根据ASA/AAS证明△AON≅△COM，
∴AN=CM，
∴DN=BM，
∴AB+BM+AN=CD+DN+CM，
∴直线MN将矩形ABCD分成了周长相等的两部分.
解法分析(3)
作图原理的说明
需要注意的是：既要说明直线MN将矩形ABCD分成了周长相等的两部分，还要说明直线MN与BC所夹的锐角是45°.
由作图步骤①得：BG=AB=1，
∴△ABG是等腰直角三角形，CG=3，
∴∠AGB=45°.
由作图步骤②得：GM=CG=1.5.
由作图步骤③得：AN=GM=1.5，
∴AB+BG+GM+AN=5=C矩形，
∴直线MN将矩形ABCD分成了周长相等的两部分.
∵AN=GM，AN∥GM，
∴四边形ANMG是平行四边形，
∴MN∥AG，
∴∠NMB=∠AGB=45°，
∴直线MN符合要求.
解法分析(4)
锐角三角函数
1.将∠BCH置于直角三角形中，根据正切函数的定义求解即可.
2.在构造直角三角形时，应充分考虑到已知条件(等腰直角三角形BHQ)的使用.
3.直线PQ的隐藏性质：过矩形的对称中心.
连接BD交PQ于点O，作OM⊥BC于点M，作HN⊥BC于点N.
∵直线MN将矩形ABCD分成了周长相等的两部分，
∴AB+AP+BQ=5，即AP+BQ=4，
∵AP+DP=4，
∴BQ=DP.
根据ASA/AAS证明△BOQ≅△DOP，
∴BO=DO.
根据A型相似求得：
OM=CD=，BM=BC=2.
∵∠BQH=∠PQC=45°，∠BHQ=∠OMQ=90°，
∴△BHQ和△OMQ都是等腰直角三角形，
∴QM=OM=，HN=BN=NQ=BQ=(BM-QM)=，
∴tan∠BCH===.
隐圆与最值
在没有计算机辅助的情况下，我们主要有以下处理方法：
1.绘制点H的初始位置(点Q与点B重合)和终止位置(点Q与点C重合)， 获取准确的运动路径.
2.将运动轨迹看作整圆，只要能够画出符合题意的图形(点Q在BC上)，亦可解决问题.
∵∠BHO=90°，
∴点H在以BO为直径的圆上运动(记圆心为K).
当CH与圆K相切时(切点在AD上方)，∠BCH最大.
作KL⊥BC于点L，
根据A型相似求得：KL=CD=，BL=BC=1，CL=3.
由勾股定理求得：HK=BK=，CK=，
∴CH==2.