圆锥曲线全息图谱
椭圆·双曲线·抛物线｜定义+方程+性质+技巧四维整合
一、核心定义与方程
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曲线 |
定义 |
标准方程 |
离心率e |
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椭圆 |
到两焦点距离和=2a |
x²/a² + y²/b² = 1 |
0<e<1 |
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双曲线 |
到两焦点距离差|=2a |
x²/a² – y²/b² = 1 |
e>1 |
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抛物线 |
到焦点=到准线距离 |
y²=2px |
e=1 |
参数关系：
- 椭圆：c=√(a²-b²), e=c/a
- 双曲线：c=√(a²+b²), e=c/a
- 抛物线：焦点(p/2,0), 准线x=-p/2
二、几何性质全景
椭圆必记：
· 长轴2a, 短轴2b, 焦距2c · 通径长=2b²/a · 焦点三角形：S=b²·tan(θ/2)（θ为顶角） 双曲线核心：
· 实轴2a, 虚轴2b, 渐近线y=±(b/a)x · 焦点三角形：S=b²·cot(θ/2) · 等轴双曲线：a=b时渐近线垂直 抛物线特性：
· 通径长=2p · 焦点弦长：|AB|=2p/sin²θ（θ为倾斜角） · 光学性质：平行光聚焦于焦点 三、解题工具箱
1. 弦长万能公式
直线 y=kx+m 截曲线：
|AB|=√(1+k²)·|x₁-x₂|=√(1+1/k²)·|y₁-y₂|
※ 联立消元 → 韦达定理求 x₁+x₂, x₁x₂
2. 切线方程速写
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曲线 |
过点(x₀,y₀)的切线 |
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椭圆 |
x₀x/a² + y₀y/b² = 1 |
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双曲线 |
x₀x/a² – y₀y/b² = 1 |
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抛物线 |
y₀y = p(x₀ + x) |
3. 离心率妙用
· 椭圆：e越小越圆（e=0时是圆） · 双曲线：e决定开口大小（e越大开口越阔） · 抛物线：离心率恒为1 ⚡四、高考高频题眼
焦点三角形：
- 椭圆：|PF₁|+|PF₂|=2a, cosθ=(|PF₁|²+|PF₂|²-4c²)/(2|PF₁||PF₂|)
- 双曲线：||PF₁|-|PF₂||=2a, |cosθ|=||PF₁|²+|PF₂|²-4c²|/(2|PF₁||PF₂|)
二级结论：
- 椭圆焦点弦：1/|AF| + 1/|BF| = 2a/(b²)
- 双曲线渐近线夹角：cosφ = (a²-b²)/(a²+b²)
❗ 终极避坑指南
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经典错误 |
正确答案 |
案例验证 |
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双曲线焦点写(c,0) |
c=√(a²+b²) |
x²/9-y²/16=1 → c=5 |
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抛物线准线漏’负号’ |
标准方程 y²=2px → 准线 x=-p/2 |
y²=8x → 准线x=-2 |
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椭圆忽略a,b大小 |
a>b>0（长轴在x轴） |
方程x²/4+y²/9=1 → 短轴在x轴 |
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弦长公式忘乘√(1+k²) |
** |
AB |