这可能是笔者写得最天马行空的一段文字。天马行空，意味着不明了、有错误，因此显得粗陋。恭请读者谅解包涵。
1. 引子
笔者 Ising 常因为胡读书、瞎联想而乱弹琴，习惯于用各种表面上“高大上”、实际却有些“空洞虚无”的说辞，对物理学进行“掺杂 doping”。随着年龄增长，自身能继续从事具体而殷实研究的能力越来越弱，只好不甘寂寞、效仿一些耄耋老者那般去讨论非自己专业、距离遥远的宇宙。过往一段时间，笔下行文越来越放肆，开始对那些天文和远古中发生的所谓大物理而津津乐道。一般而言，这样做，相对比较安全，因为那些高远之处发生的事情虽难以证实、亦难以证伪，所以不会被行家批驳得体无完肤。
本文亦是如此！笔者听说，远古大爆炸发生之前，宇宙是完全无序、混沌的，呈现一种高度对称 U(0) 的高能态。今日寰宇世界之诞生，得益于大爆炸后极短时间 (10-40 s 以内) 开始发生的对称性破缺。宇宙从混沌高对称态分叉，形成几类不同对称性类别。其中，我们熟知的四种基本力：引力、电磁力、核强力、核弱力，均在大爆炸后按照一定时间顺序发生对称破缺，通过相变演化到各自对称性类别 (看起来很完美的叙事)。图 1 所示，乃笔者取自所用《电磁学》授课课件之一页，展示时空演化过程中四种对称性和四种基本力依次出现的图景，极为壮观。这幅图是笔者见过的、渲染对称性及其破缺的最牛掰的图画，没有之一。
然后，四种基本力，各自统治自己的那方领地，大致上按照各自的运行规律演化与行进、互不干扰。于是，地球上的物理人，也分门别类，“皈依”到这不同领地中，朝耕夕耘、日出日落。很大程度上，不同学科的物理人相互之间交流不多，构成了经典物理学发展的脉络景观。“隔行如隔山”的谚语，也能在物理学中行走江湖！
当然，物理人对这种景观很早就颇有微词，对这种“春秋四国”的分裂之态不满意，希望能像秦始皇一般一统华夏。物理学大统一的理论构想，很早就被提出来，并取得很亮眼的进展。这一进程中，最令人乐道的例子，就是爱因斯坦的相对论和格拉肖、温柏格、萨拉姆他们的弱力 – 电磁力统一理论。对前者，时空弯曲的观念影响深远，其基本点是：时空中物质质量分布不同，会改变时空曲率。而时空曲率，反过来影响物体运动。很显然，将引力放在可变的时空中进行讨论，会让原本绝对时空对称的物理思维面临复杂性挑战。对后者，微观物理和基本粒子物理得到极大推进，对称性观念在其中亦大行其道，并推动诸多基本粒子的发现，助力标准模型日趋完善。
即便大统一理论还算成功，引得物理之外的大众瞩目、景仰，但完备的统一大业还远未完成、或者还不确定是否能完成。长征之路漫漫，还没有看到终点。当前与黎民百姓文明生活密切联系的主流物理，依然是这春秋四国的春夏秋冬，最多是偶有胶着之态而已。本文所要呈现的，绝不可能是相对论和电弱统一这样远非笔者所能驾驭的大问题。本文讨论的，只是个中物理世界的沧海一粟，可能有一丁点触及这些力之间的耦合。这种耦合，if any，甚至与基本力本身没有太多关系，更多是量子材料这个凝聚态物理分支学科之一种类比。
具体而言，凝聚态物理，主要被电磁力主导，其中牵涉到一点电磁力与弱力耦合的唯象对应，即有关“轴子 (axion)”电动力学 (electrodynamics) 的一些初等知识。特别指出，为让物理问题的描述显得通俗易懂，笔者将舍弃那些高端的对称性保护的语言 (事实上笔者也不会这些语言^_^)，转而用不严谨但易于理解的大学物理语言来呈现主题。
图 1. 宇宙大爆炸之后四种基本力的诞生演化。其中，对称性保护和对应的诺特守恒律是关键知识点。
看起来，四种力各自有其对称性守护着，特别是规范对称性，很难被打破。万千世界的纷繁复杂，就在这四大分支中演化。具体分析之，有如下几类：(A) 引力，服从时空度规协变一类的规范对称性，尚无打破这种对称性的理论或观测。(B) 电磁力，具有 U(1) 规范对称性，表现为电磁场在相位变换下的不变性，服从电荷守恒定律。目前尚无打破电荷守恒律的对称破缺机制。(C) 弱力，涉及 SU(2) 规范对称性，服从弱同位旋守恒律。目前的观点是希格斯机制能够打破这种对称性，为质量之源提供物理支撑。(D) 强力，由 SU(3) 规范对称性描述，对应夸克的色荷守恒 (量子色动力学 QCD)，一般情况下很难被打破。总之，宇宙大爆炸后形成的四种基本力，各自具有本征对称性守护，不可轻易招惹它们！图中右侧特别标注了本文将要涉及的“电荷–宇称 charge – parity CP”联合对称图像，图上部也标注了 CPT 的物理意涵。
from M. Livio, Nature 490, 472 (2012), http://www./nature/journal/v490/n7421/full/490472a.html。from 知乎问答，https://www.zhihu.com/question/302410503/answer/1069341900。
2. 磁电耦合的“相对论效应”
如上所述，在电磁学领地中，由于 U(1) 规范对称性保护，麦克斯韦方程组是不可撼动的。这一方程组亦位居物理人公认的十大完美物理方程之首，享有无上地位。也或许，正是这种高尚地位，主观上给了物理人一种惯性或惰性认知：不允许其被评头论足，而只能被赞美称颂。这其实是说，任何尝试去诘问、修正、推广麦克斯韦方程组的努力，未必 100% 是无用功，但大约不过如此。
这一教训，古往今来，有很多例子。便是以笔者风餐露宿二十余年的磁电耦合与多铁性研究领域来看，应该也是有说服力度的：
(1) 图 2(A) 所示乃最简洁表示的麦克斯韦方程组：四个方程，前两个归静电学组，后两个归“静磁学”组。后者打引号的原因在于：经典电磁学的磁性产生于电荷运动，不能称之为“静”。如果不考虑含时过程，即假设准静态条件 (∂ / ∂t = 0)，则两组方程之间没有联系。由此，得出结论，在经典牛顿坐标系下，静电与磁性无关，即所谓“电磁无关”。这是笔者二十多年前接触“磁电耦合 (magnetoelectric coupling, ME)”、“多铁性 (multiferroicity)”的第一份早餐：极其难吃，因为没有“磁电耦合”牌味精。
(2) 注意到，虽然这里电与磁无关，但第四个方程右边含有电流 j0。如前提及，经典电动力学将磁性与电荷运动即电流联系起来，从而巧妙而隐晦地为“磁电耦合”留下了一丝机会。麦克斯韦的追随者们或许是故意忽视这一机会，直到爱因斯坦们提出相对论后才弥合了电磁力不自洽 (即运动电荷之间作用力大小依赖于坐标系选择) 的矛盾。这里用“们”，是因为历史上相对论发展史有很多人物参与。
(3) 正是基于相对论效应，固体介质中的电极化 P (Pi, i = x, y, z) 与磁矩 M (Mi, i = x, y, z) 之间就有了图 2(B) 所示的“协变关系 covariant relativistic formulation”。即是说，相对论电动力学中磁电耦合原本就是存在的，虽然是超越麦克斯韦方程组的二阶及二阶以上、很显然相当微弱的耦合。这一体系的磁电自由能，可表达为图 2(C) 所示的一般性展开式 F(E,H)。其中，线性磁电耦合就体现在能量项 (α·E·H) 中，这里 E 和 H 为电场磁场、α 为磁电耦合系数。
(4) 事实上，这一自由能并不能完备反映本征的基态磁电耦合，因为 F(E, H) 被写成了外场的依赖形式，是低能激发的表达。更本征的表达，应写成自发磁电序参量 P 和 M 的关系，才能反映本征对称性。朗道似乎就是基于此而提出基于对称性的铁性相变理论。由于电极化 P 破坏空间反演对称性 (r→ – r 时 P → – P)、磁性 M 破坏时间反演对称性 (t→ – t 时 M → – M)，而自由能对时空变号必须保持对称不变，因此基态自由能只能包含 P 或 M 或 M·P 的偶次方项。容易证明，可能的、最低阶次磁电耦合项是 (M·P)2。简单推导，亦可知由这一磁电耦合项所能产生的 PM = 0 或 MP = 0 (下标表示驱动根源，如 PM 表示由磁性 M 产生的 P)，虽然介电极化率对 M 的变化有响应、磁导率对 P 的变化有响应。也就是说，这一体系中，存在本征的磁电耦合 (PM ≠ 0 或 MP ≠ 0) 之可能性很小，如果不是不可能。
如上所列，在电磁力这一物理分支领域辛勤耕耘的物理人，费尽心机，将经典物理不可撼动的电磁学与相对论交会耦合，算是在多铁性和磁电耦合这一问题上取得进展。遗憾是的，进展远不尽人意。即便是 2003 年后第 II 类多铁性研究开拓出新天地，但也还是基于自旋 – 轨道耦合和自旋 – 晶格耦合这些源于相对论和量子力学的电磁微观机制，并未有跨越式或变革性的进展。或者说，第 II 类多铁性，在物理观念上有所跨越，但磁电耦合表现却依然意兴阑珊、死水微澜。
既然如此，除了继续这一长征之路外，另外开辟战线，也是一种方案！
问题是，麦克斯韦方程组都说了磁电耦合没可能，那还能有什么机会？！当然，继续在电磁力范畴内寻寻觅觅，肯定是“只是当今已惘然”。必须要超越这个范畴。
图 2. 磁电耦合的基本物理元素。
(A) 麦克斯韦方程组的最简洁表达。其中物理量 (D, E, P) = (电位移、电场、电极化)，(H, B, M) = (磁场、磁感应强度、磁矩)。头像乃对称性物理的鼻祖 L. D. Landau 先生。很显然，如果不考虑时间 t 变量，麦克斯韦方程组可以分为静电学和静磁学两组，互不隶属和关联。因此，这个方程组一开始就告知电与磁是无关的，所以磁电耦合在静态下不可能存在。唯一的门缝在于外加电荷输入 (j0) 的存在。(B) 爱因斯坦相对论给出的电磁之间之协变对应关系 (covariant relativistic formulation)，由此磁电耦合就成为普适效应：电极化 P = (Px, Py, Pz) 与磁矩 M = (Mx, My, Mz) 之间通过协变关系联系起来。简单变化之后，至少线性磁电效应是可以定义的。(C) 磁电耦合体系的自由能 F(E, H) 之一般性表达式，其中线性磁电耦合项是 (α·E·H)。如果用序参量 (P, M) 替代电磁场 (E, H) 而重写自由能 F(P, M)，表达式就引入了对称性：只有那些 (P, M) 的偶次方项及其乘积项才能存在，意味着基态条件下磁电耦合效应不存在或很弱。
(A) & (C) 由笔者编辑。L. D. Landau 头像来自网络。(B) https://www.hikari./research/multiferroics/coupling-of-electric-and-magnetic-order-parameters。
3. 磁电耦合的“轴子物理”
物理人的牛掰之处，就是他们总能找到一些机会。而且，很多情况下，寻找这些机会之过程充满无心、偶然和美妙。这是物理学能傲立于自然科学之巅的品质，无出其右者！
其中一个机会，就是在凝聚态物理中“发现”轴子 (axion) 这个准粒子的叙事。关于这一准粒子故事，中科院物理所年轻的“超导科普帅哥”罗会仟教授，曾写过一篇公众号文章《假想粒子“轴子”，终于被找到了？》。感兴趣的读者，可点击阅读一二。笔者对此 topic 完全是外行，都是临时抱了网络和会仟的佛脚、囫囵吞枣出来几点笔记，但也挺有意思。
事情的起源，乃是物理学描绘基本粒子的那个最高级标准模型。基本粒子物理中，所谓 CP 对称性，如图 1 和图 3(A) 所示，是基本要求。即便再考虑自旋自由度，基本粒子物理也应该满足 CPT 对称性 (charge – parity – time symmetry, CPT)。结果，强力物理中出现了一些小的不和谐 (其实，弱力作用中也有宇称不守恒的不和谐问题)。其中，1960 年代，两位米国物理人 (James Cronin 和 Val Fitch) 在处理夸克中介子湮灭过程时，发现了这种不和谐：不和谐的发生，可能源于 CP 对称被打破、哪怕是被打破一点点。为了挽救这一困局或者弥补这一瑕疵，另外两位物理人 (Roberto Peccei 和 Helen Quinn)，再加上维尔切克 (Frank Wilcze) 和温伯格 (Steven Weinberg) 这两位大佬，大概是于 1970 年代提出补救措施：不妨引入一种新型场来消除这种不和谐。这一新型场，就是“轴子势 / 场 axion potential / field θ”，或者传递轴子场的粒子 ―― 轴子 (axion)。
当然，我们知道，这一粒子到目前为止并未被观测到。可能的原因有两重：(1) 它不存在；(2) 或者它存在，但因为天生太弱而难以被探测到。难以探测，是因为这一粒子与其它粒子或场的作用很微弱 (其质量是电子质量的 ~ 10-9)。总之，如果不存在，那好办，忘掉它就是了。物理人最怕的是它太胆怯、弱小、孤僻，羞于同周围交流作用，使得物理探测就如泥牛入海、悄无声息。物理人最怕的是“无法探测”的物理！研究这样的粒子，感觉是如鲠在喉，让物理人进退两难：进无路；退，物理人又不认识这个汉字！
图 3. 强子物理的基本对称性要求：CP 对称 (后拓展到 CPT 对称)。
(A) 自然界只有两种电荷，电荷变号意味着周围电场性质变化，即电荷对称破缺。考虑一对电荷，电荷变号导致宇称反转。如果再配合宇称反转，则电荷对称性被恢复。此乃所谓 CP 对称。(B) 轴子物理的电磁学效应。定义轴子作用量 Sθ (相当于能量) 和拓扑不变的轴子势 θ (或轴子场 ▽θ)，将使得麦克斯韦方程组发生改变：必须添加轴子场 (▽θ) 到方程组中，导致新的拓扑磁电耦合效应。注意到，在不同的拓扑约束条件下，轴子作用量可能有不同的表达形式。而且，添加项包含了轴子 θ 的空间梯度 (场) 和时间微分 (动态)，因此轴子场是时空 dynamical 的。
(A) 笔者绘制的CP对称操作的示意图。(B) 来自南京大学张海军 private communications。
后注 (1)：轴子场可能出现在哪里呢？！且看笔者开始瞎掰。考虑一拓扑绝缘体 TI，则轴子 θ 用拓扑不变量描述。在 TI 体内，轴子 θ = π 是常数。体外是拓扑平庸态，轴子 θ = 0。因此，在 TI 的界面表面边缘处，就有了 ▽θ ≠ 0，而且还可能很大。因此，可以粗暴想象 TI 表面存在很大的轴子场。
后注 (2)：电磁学中相对论效应导致的自旋– 轨道耦合等都是横向场，即叉乘物理 (如 E × B 和 P × M)。这里的轴子作用量 Sθ 中包含的是点乘物理 (E · B)，因此它是奇特的，所产生的磁电耦合物理是与传统多铁性磁电耦合不同的物理。
果然，在凝聚态物理和量子材料领域工作的物理人，基于对固体量子物理展开的旷日持久而日久弥新的探索，反而找到了低能区的准粒子对应。参照会仟老师对此历史脉络的梳理，笔者写下的读书笔记大概是这样的：
(1) 固体中因为存在原子和 / 或电子之间复杂的电磁互作用，在电磁力和量子力学主导下可以存在很多传递这些互作用的“准粒子”，如声子、狄拉克费米子、外尔费米子、马约拉纳费米子等，还有最近的引力子。
(2) 类似地，理论也预言，二维异质结电子气中，存在互作用形式上类似于轴子的固体准粒子，对应的固体成之外“轴子绝缘体 (axion insulator)”。轴子绝缘体中，电子受到某种低对称性约束而局域化成绝缘体。但是，与对称性联系的非平庸拓扑性质，保证了体系具有拓扑磁电响应：施加电场 E 会影响磁性，反之亦然。事实上，这一轴子绝缘体态的确具有非平庸的拓扑特性，可用轴子作用量 Sθ 和轴子势场 θ 来定义 (在一定对称性约束条件下，θ 是体系的拓扑不变量，体内 θ = π 是常数)，如图 3(B) 所示 (参见图题下两条后注)。这一定义，乃仿照量子色动力学 QCD 中 CP 对称性破缺强度而来。因为时间反演对称破缺对应磁化 M、空间反演对称破缺对应电极化 P，轴子绝缘体本质上就是一种磁电耦合材料，所谓的拓扑磁电耦合系数 α 则正比于这一拓扑不变量 θ ―― 看看，果然又来了一个“磁电响应”机制。上一节提及的、要开辟另一条战线的提议，在这里出现了契机。更进一步，这一磁电效应，至少形式上，出自于电磁力与基本粒子物理中强力之间的“耦合交会”，因此是超越传统磁电耦合的物理，暗示着经典电磁学的麦克斯韦可被动动手脚了！
(3) 这一轴子绝缘体，现在已不再是理论预言 (多年前若干物理人，如张守晟、徐勇等学者，都针对不同场景讨论过这一效应)，亦被实验在磁性拓扑绝缘体中观测到。2019 年前后，复旦大学王靖和南京大学张海军两个团队合作，就预言了在类范德瓦厄 (van der Waals, vdW) 反铁磁拓扑绝缘体 MnBi2Te4 (MBT) 中存在轴子绝缘体态 [D. Q. Zhang et al, PRL 122, 206401 (2019), https:///10.1103/PhysRevLett.122.206401; H. Q. Wang et al, PRB 101, 081109 (2020), https:///10.1103/PhysRevB.101.081109]。令人欣慰的是，五年后，所预言的 MBT 轴子态及其准粒子磁电效应，被哈佛大学 Su – Yang Xu (徐苏杨) 教授领导的团队证实 [J. X. Qiu et al, Nature 641, 62 (2025), https://www./articles/s41586-025-08862-x]。相关理论和实验细节，感兴趣读者请前往御览相关论文。作为科普展示，这里从徐苏杨教授文章中取来几幅示意性物理图像，集成于图 4 中。相关说明见于图题，在此不再啰嗦。
行文至此，值得特别指出，图 3(B) 所示的轴子作用量 Sθ，带来的后果是实实在在在经典电磁学的麦克斯韦方程中添加了一些东西：新的、拓扑非平庸的磁电效应项，一共两项―― (α/π)(▽θ·B) 和 (α/π)[▽θ×E + (∂tθ/c)B]，其中 c 是光束 (涵义解读可见图 3 图题中的两条后注)。这两项，分别添加在麦克斯韦的第一个和第四个方程中，为本文标题“又要改动麦克斯韦方程吗”给出了答案！
需要说明，在不同的拓扑约束条件下，轴子作用量可能有不同的表达形式，本文只是写了一种特定形式。如果再度审视轴子作用量 Sθ，有两个重要特征值得提及。其一是 Sθ 本身，其二是其中的能量项 (θ·α/4π2)(E·B) ~ (θ·α)(E·B)。前者是后者对时空 (t, x/ y / z) 的积分，意味着 α 可以被外场操控，磁电耦合或者轴子场可以是动态的 (dynamical)。初步估算这种动力学特征时间在皮秒 (10-12 s, ps) 甚至更短，也意味着实验探测之非超快技术而无能为力。
更进一步，再简单讨论能量项 (θ·α)(E·B)。姑且粗暴地将这一项重写为 (θ·α)(P·M) 以反映磁电耦合。首先，既然轴子态是拓扑态，意味着拓扑量 θ 非零 (θ ≠ 0, θ = π)，因此磁电效应总是存在的，只要体系处于拓扑非平庸态 (θ = π)。其次，再重复一遍，这一能量项要在物理上有意义，体系必须时间反演和空间反演同时破缺，以保证时空对称性破缺时能量项不会变号(能量是标量，无对称性特征)。这一特性，其实正是磁电耦合应用所需求的：得来全不费工夫，善莫大焉？！
图 4. 哈佛大学徐苏杨 (Su – Yang Xu) 教授领导的团队对 MBT 中轴子绝缘体及其磁电耦合效应的实验探测。
(A) 量子色动力学中描绘的轴子准粒子：(A1) 准粒子在轴子势阱 (axion potential & potential well) 中发生振荡的物理图像。(A2) 对的轴子不变量 θ 围绕静态值 θ0 发生振荡，特征时间是 ps 量级甚至更短。(B) 凝聚态物理中对应的轴子准粒子的可测量磁电耦合效应：(B1) 这一效应的测量原理，表现为施加交变电场 E(t) 导致磁矩 M = α·E，其中系数 α 为磁电耦合系数。(B2) 外磁场驱动下，自旋发生进动，导致系数 α 围绕静态值 α0 进行振荡。振荡特征周期为 ps 甚至更短，必须通过光学方法如磁光效应或二次谐波效应等方法测量。(C) 针对层状结构 MBT (层内面外铁磁、层间面外反铁磁，即 A 型反铁磁序) 的光谱测量示意图 (C1)；由此得到磁光克尔角与外加交变电场 Ez 的线性关系，斜率即为磁电系数 α (C2)。(D) 动态轴子准粒子的测量：(D1) 测量示意图，其中交变电场面外施加，磁场 B‖ 表示面内磁场。由此，这一动态效应可以粗略理解为面外指向的自旋在面内磁场作用下发生进动。而这种进动导致磁电耦合系数 α 随时间振荡。(D2) 测量得到系数 α 与测量延时之间的衰减振荡关系，展示了动态轴子准粒子 (dynamical axion quasiparticle) 行为。
From J. -X. Qiu et al (徐苏杨团队), Nature 641, 62 (2025), https:///10.1038/s41586-025-08862-x。
4. 如何获得大的磁电效应
物理人终于从物理原理角度，为麦克斯韦方程增添了一项，这是多大的荣耀。也正因为如此，拓扑磁电效应是磁电耦合这株花甲老槐树之新分枝。
当然，基本粒子物理说这个轴子作用量实在是很小、很孤僻，大多数情况下不需要去关注。这种说辞并不一定适用于凝聚态。凝聚态中的这一轴子准粒子，是低能激发态，未必就一定很小、很孤僻。所以，我们未必不可以放开思维上的谨慎小心，来一次胆大包天，不计较物理对错高低。
首先看看，在凝聚态中，如何显著提升或调控这个轴子作用量？
Sθ ~ (θ/2π)(α/2π)∫(P·M)d3rdt
从这一定义式直观去看：
(1) 这一磁电耦合效应在外场作用下可以是动态的，会随时间作周期振荡 (ps 量级)。物理人预期可以操控这一振荡的周期长短和大小，使得轴子态可用于未来的量子信息处理。通过选择不同的材料体系或者探索调控不同磁电态，这一动态特性应可被显著影响。但是，如何调控这一动态性质，似乎还没有好的途径。从徐苏杨老师他们的实验结果看，磁电效应的振荡周期 (频率 frequency) 在磁性相变温度附近变化最大。
(2) 在拓扑态前提下 (θ = π)，大的 M 是提升这一效应的重要一环。因此，磁性拓扑材料就是观测这一效应的必要前提。理论预言磁性拓扑绝缘体如 MBT，或 vdW 多铁体系如 CrI3 等，都可能有轴子态和拓扑磁电效应，道理即是如此。
(3) 在大 M 基础上，还要有大的 P。物理人马上意识到这样的好事很少，要同时做到这两点很不容易。例如，拓扑半金属未必是好的选择，因为金属体态未必能容许大的 P 存在。反过来，拓扑绝缘体的金属表面态可被磁性 gap 掉，只剩下 1D 或 0D 边缘态 (edges)，体内和表面容纳 P 是可能的。更一般性讨论，过往半个多世纪寻找多铁性 (同时具有大的 M 和 P) 的研究实践，也证实同时实现大的 M 和大的 P 是很大的挑战。
这些要求或困难堆在一起，使得寻求大的磁电耦合变得不容易！从磁性 (最好是铁磁)、拓扑绝缘体、低对称极性磁体等关键词中寻找公约数的思路，看起来挺好，但存在很大不足。大部分磁性绝缘体 (不是磁性金属!) 都呈现 3D 反铁磁基态，意味着 M ~ 0。而且，长程反铁磁自旋晶格对称性也较高，不利于大的 P 出现。由此而悲观地推知，凝聚态中所谓的轴子磁电耦合，即便存在，也许强不到哪里去，似乎没有逃出基本粒子物理中那轴子场效应微弱的宿命！
事实上，复旦王靖、南大张海军和哈佛徐苏杨他们预测和实验针对的体系，之所以都是具有层状和类 vdW 结构的磁性拓扑绝缘体，是有道理的。这些体系，都由铁磁性原子层和拓扑绝缘体分子层 TI 叠层组成的超晶格：TI 层提供拓扑态，磁性层 (每一层都是面外排列的铁磁态, M > 0) 提供等效磁场而 gap 掉 TI 的表面态。当然，磁性层之间反平行排列构成呈现 A 型反铁磁结构，但不影响物理的展现。物理世界幸亏有这种自然天成的 A 型反铁磁 TI，玉成这轴子磁电耦合效应。
当然，除了 MBT 之外，既要拓扑、还要铁磁性、又要绝缘的 TI 体系，还有 EuCd2As2、EuSn2As2、EuSn2P2 等材选 (稀土离子提供铁磁性)。但是，总体而言，材料少、效应弱的问题依然顽固。
图 5. John W. Harter 和 James G. Analytis 他们利用 RA – MD – SHG 测量 EuSn2As2、EuSn2P2 得到的 SHG 信号与温度的关系，TN 是体系反铁磁 Neel 点。
5. 磁涨落与量子相干
怎么办呢？没事，因为总有一些物理人能够新奇迭出。来自米国加州大学圣巴巴拉分校材料系的 John W. Harter 和伯克利分校物理系的 James G. Analytis 两位教授，都是量子材料领域年轻一代的活跃学者，常有新颖的研究工作问世。他们最近又完成了一项实验探索，刊登在《npj QM》上。笔者正是阅读了这篇文章后，才萌发出写这篇天马行空读书笔记之冲动。
虽然他们在论文中没有明确论及，但经过笔者粗略整理、添油加醋地发挥一番后，大概有如下几点感想：
(1) 一种有些新意的思路是，去看看那些磁性拓扑材料在反铁磁 Neel 点 TN 附近、甚至 TN 以上温度区间的电磁性质。这一探索尚未被广泛尝试，而此温度区间的磁涨落与磁相变伴随的临界现象也许对轴子磁电及其动态特征有显著影响。
(2) 先看临界动力学特性。Neel 点 TN 附近普遍存在的临界性，自然会影响量子相干性，有利于调控轴子的动力学效应 (磁电系数振荡周期与幅度)，以满足量子信息处理的操控。例如，临界弛豫慢化，对轴子振荡动力学频率调控可能有用。
(3) 再看磁涨落。相变点附近磁涨落的低能激发，是自旋波 (磁子magnon) 或涡旋 (vortices)。这些激发态常伴随局域磁矩 (M ↑)，进而利于增强轴子磁电耦合效应。
(4) 再再看相变点附近磁结构涨落的附加后果。磁结构涨落，特别是非共线自旋涨落，只要能形成低能调制激发态，就可能通过不同的多铁性微观物理而增强局域电偶极 (P ↑)。
(5) 最后看温度。他们关注的是相变点附近而不是低温端的磁有序态，最直接的好处是温度较高，利于实际应用需求。
用如上五点动机去支撑一项研究工作，应该足够了。
Harter 和 Analytis 他们，使用光谱技术进行探测。事实上，利用其它方法，也无法探测到轴子磁电效应的动态特征 (时域在 ps 量级)。他们采用的，是一种称之为“near-resonant magnetic dipole optical second harmonic generation (RA – MD – SHG)”，对几类磁性拓扑绝缘体 (EuSn2As2、EuSn2P2、EuSn2AsP) 在反铁磁 Neel 点 TN 附近的磁电行为展开探测。笔者不了解这一技术的中文名称是什么，姑且称之为“近共振磁偶极二次谐波”技术。
注意到，这一技术有两个重要特点：
► 既然是光学 SHG，对电偶极响应自然很敏感。将 SHG 信号与局域极化 P 联系起来顺理成章、理所当然。
► 既然是共振磁偶极 (near – resonant magnetic dipole)，对磁涨落自然也很敏感。将 SHG 信号与局域磁偶极信号联系起来，也不算没有章法。
很显然，对一个反铁磁基态体系，TN 附近是最可能获得大 M 之区域。而如果探测到的 SHG 信号很大，则表示此一区域的 P 涨落亦很大。M 和 P 均很大，轴子磁电效应亦可能很强。
(i) 首先，在温度从高至低跨过 TN 时，他们观测到显著的 SHG 信号，峰值出现在 TN 附近，显示了很强偶极涨落，背后的物理可能是临界性导致的涨落慢化效应：动力学显著慢化、时空关联长度都限制增强，有利于磁电耦合增强。
(ii) 测算得到的量子相干时间 (发生在 4f7→ 4f6 的磁激发) 大约在 ~ 16 fs 以内。如此快的相干过程对利用磁涨落与拓扑表面态耦合来实现量子信息应用极为有利。
(iii) 即便在 TN 以上很高温区范围内，依然存在面内的铁磁涨落，表明磁性拓扑态可以维系到高温区，或者说拓扑磁电耦合效应可以延续到高温区，对实际应用有利。
(iv) 一个附加成果是 RA – MD – SHG 这一技术对于探测拓扑量子态中的量子相干、自旋和对称性涨落很有价值，是一项可资依赖的高性能拓扑量子材料光谱技术。
作为不是总结的评论，J. W. Harter 和 J. G. Analytis 的工作，只是围绕磁性拓扑材料中磁电耦合物理而展示了一项探索，但却是值得品味的。拓扑轴子体系 (topological axion materials) 的量子信息与自旋电子学应用，可能是到目前为止磁性拓扑量子材料应用前景最为明确的方向。磁性拓扑体系，除了大的反常霍尔效应外，轴子磁电效应是前沿。而提升轴子磁电耦合性能、提升温度、发现新材料，是其中主体和重心。
很显然，他们的这一工作还是很初步的。他们没有测量拓扑磁电效应本身，也就无从讨论 TN 甚至是更高温区到底有无强轴子磁电效应。而这一目标，显然是值得追逐的。基于此，笔者以为这一工作的创新性并不那么突出，也猜想 Harter 和 Analytis 他们面临着挑战，亦或许这一目标可能根本无法达成。谁知道呢？要么等待他们下一个结果报道，要么是物理人在他们的基础上尽快去展开探索。
于是乎，笔者在这里能兜售的观点，就放在了“麦克斯韦方程可被动一动了吗”这样的问题上。这样的讨论，对一些读者，也许是有意义的，但与 J. W. Harter 和 J. G. Analytis 的工作关系其实不大。