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本月主题：
1. 纠缠烷Perplexanes，一类新型分子拓扑结构
2. 几何学与大脑遗传学
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作者：Tony Phillips（石溪大学数学教授）2025-7-30 译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-8-1 |
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1. 纠缠烷Perplexanes，一类新型分子拓扑结构
图源：JACS 147期 CC BY 4.0
分子拓扑结构在纳米技术中的重要性日益凸显。分子结已被用于加速化学反应 https://www.chem./catalysis ，并被用作癌症治疗的递送剂。Fredrik Schaufelberger在2020年发表于《自然通讯化学》的一篇文章 https://www./articles/s42004-020-00433-7 中详细阐述了这些应用及其他应用。他在文中写道：“分子结正从学术好奇演变为一类具有实际应用价值的机械互锁分子，能够在纳米尺度上执行独特的任务。”
《美国化学会志》五月刊发表的一篇论文分享了一种改进的工艺 https://pubs./doi/10.1021/jacs.5c04268 ，用于生产这些复杂拓扑的分子。据该研究的作者称，合成分子结和链的尝试一直“挑战合成化学的极限”，因为构建块通常是亚基的线性链，而结和链本质上是曲线的环状物体。
为了解决这个问题，他们采用了一种新的分子合成方法，使用三足（Y形）构建块。这使得他们能够以66%的产率合成四面体笼状分子。相比之下，他们报告称，之前最先进的方法的产率为0.8% – 20%。当他们利用允许非平面耦合的柔性肽来丰富合成时 https://en./wiki/Zirconocene ，反应产生了具有“不寻常的互锁和交织组合”的新型分子。这些新型分子就是Perplexanes（纠缠烷）。
模拟霍普夫连接和右手三叶结的Perplexanes。
SCXRD代表单晶X射线衍射（single-crystal X-ray diffraction），该技术用于确定精确的分子结构。
图源（裁剪自）：JACS 147期 https://pubs./doi/10.1021/jacs.5c04268 CC BY 4.0。
这对拓扑学家来说是个挑战吗？作者评论道：“分支成分越多，复杂性越高，这应该能让我们探索到一些尚未被数学界定的新的拓扑子类。”（加粗重点是Tony教授强调的。）
2. 几何学和大脑遗传学
在6月13日发表于《科学进展》Science Advances https://www./doi/10.1126/sciadv.adr1644 的一篇报告中，一组神经科学家研究了人类基因组如何控制大脑内部的形状。这些形状非常不规则，那么他们是如何量化的呢？他们借用了一项可以追溯到18世纪的数学研究工具：振动膜研究。
核心观察结果是，不同形状的膜会以不同的频率振动。这也是不同乐器产生不同声音的原因之一。大鼓的音调比小鼓低，因为小鼓只能以高频振动，而大鼓的振动速度更慢。一个曲面可能振动频率（实际上是振动频率的平方；参见下文）的集合称为其频谱（spectrum，谱）。
从计算角度来看，曲面的频谱由一个称为波动方程（wave equation）的偏微分方程确定。对于非常简单或对称的曲面，波动方程及其频谱可以用几何和微积分在纸上计算出来。
举个例子。木板上两个钉子之间拉着一根绳索，称为弦（cord，我们可以把它看作一张一维的“膜”），拨动它就会振动，在很多情况下会产生可听见的声音。
为了简化记谱，我们以长度为π的弦为例。选择一端作为起点，用x表示沿弦的距离。用f(x,t)表示弦从其在静止位置x，经过时间t之后移动了多远。使用这些项，波动方程就写成 ∂²f/∂t²=c² ∂²f/∂x²，其中c是波沿弦传播的速度。
该方程表明，在弦上任何一点，其垂直加速度都与其凹度（concavity）成正比。这是有道理的，因为当x处的形变向下凹陷（ ⌢）时，弹性会向下拉x（↓），而当形变向上凹陷（ ⌣）时，弹性会向上拉x（↑）。
函数f_k(x,t)=sin(kx) cos(kct)（其中k=1,2,3,…）是波动方程的解。每一个基本解，设定t=0，都对应于弦的一种特定初始配置。这些配置被称为振动模式（modes of vibration）。通过傅里叶分析，弦的任何初始配置都可以写成这些模式的线性组合。对于拨动弦的情况，其初始垂直速度为零，波动方程的解是f_k的相应线性组合。
基本解的可能频率均为c/(2π)的整数倍，而弦的频谱是这些频率的平方： c²/(4π²)， c²/π²， 9c²/(4π²)等等。（就调性tonality而言，如果 c/(2π) 是音符的音高，则 c/π 是其高八度音，而 3c/(2π) 是八度音上方的纯五度音）。
两端固定的弦的前三种振动模式。弦长度等于π，实线分别为 sin x 、sin 2x 和 sin 3x 的图形。每幅图下方是该模式的示意图：蓝色表示对应函数值为正，红色表示对应函数值为负，白色表示函数接近于零。
图源：Tony Phillips
一旦我们知道了基本解的结构，这种方法就可以推广到更复杂的情况。每个解的形式为 h(x) cos(kct) （其中h是以x为唯一变量的函数）。写出满足波动方程
∂²(h(x) cos(kct))/∂x² = 1/c² ∂²(h(x) cos(kct))/∂t²
的解，得到
∂²h/∂x² cos(kct) = 1/c² h(x) ∂²(cos(kct))/∂t²
简化为
∂²h/∂x² = -k²h
这意味着算子 ∂²/∂x²（测量每个点的凹度）取 h(x)的倍数（-k²）。我们称 h 是 ∂²/∂x²在特征值为 -k² 时的特征函数（eigenfunction）。在弦的例子中， sin (2x) 是特征值为-4时，算子 ∂²/∂x² 的特征函数。
对于曲面， ∂²/∂x² 有一个类似算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米（Laplace-Beltrami）算子。该算子通常表示为 Δ ，包含有关局部几何的信息；波动方程现在是
∂²f/∂t² = c²Δf
其中 f 是曲面变量和时间的函数。计算谱的过程与一维情况相同：如果在曲面上定义的函数 h(x,y) 是 特征值为-k²时 Δ 的特征函数，则 h(x,y) cos(kct) 将是该曲面上的波动方程的解。
假设我们可以确定足够多的特征函数 h₁, h₂, … ，使得曲面的任何初始配置 f(x,y) 都可以写成线性组合 a₁h₁+a₂h₂+ …，其过程类似于傅里叶分析。然后，如果 -kᵢ² 是与 hᵢ 相关的特征值，则和
a₁h₁ cos(k₁ct) + a₂h₂ cos(k₂ct)+ …
是初始配置为 f(x,y) 的波动方程的解。
特征值的集合（按照惯例，不带负号：k₁², k₂², … ），按升序排列，即为曲面的拉普拉斯-贝尔特拉米谱，或者简称为“谱”。注意，各个特征函数的振动频率是相应特征值的平方根乘以 c 得到的。
拉普拉斯-贝尔特拉米算子在半径为 1 的二维球面上的第一个非零特征函数，其蓝红白约定规则同上，在各列中列出了它们对应的特征值。这些函数传统上称为球谐函数（spherical harmonics，球面谐波函数）
图源：Mireia Crispin（剑桥大学）的视频演示 https:///5PMqf3Hj-Aw 经许可使用
曲面的谱在多大程度上决定了它的形状？马克·卡克（Mark Kac）在其1966年的论文《能听到鼓的形状吗？》Can one hear the shape of a drum? 中提出了这个问题。https://www.math./~hunter/m207b/kac.pdf
通常情况下，我们无法听到鼓的形状，但反例却很难构造。对于绝大多数曲面，如果两个谱相同，则它们必定是等距的，即几何上等价。
在最近的论文中，作者假设人类海马体的形状属于这一类，并使用计算出的频谱作为形状的数值表征。海马体过于复杂，波动方程无法精确求解；因此，他们利用计算机构建了一个由微小三角形组成的三维模型，并使用离散版本的波动方程计算频谱。
正如他们所写的，“这种多维内禀的形状表示，作为等距不变量，与坐标系的旋转、平移和缩放无关，无需进行容易出错的个体间图像配准，并且会随着（曲面）的任何变化而连续变化。”
成人脑干的拉普拉斯-贝尔特拉米特征函数 (Sci. Adv. 11(24), 10.1126/sciadv.adr1644 https:///10.1126/sciadv.adr1644 )
图中显示了前五个特征函数，以及特征函数 10、20、30、40 和 49 及其对应的特征值。颜色约定与上述类似，但蓝绿色表示正值，棕色表示负值。
根据 CC BY-NC 许可使用，略作编辑
Primus及其同事研究了拉普拉斯-贝尔特拉米谱（Laplace-Beltrami spectrum），该谱由其前49个特征值表示。他们发现了19862个人的22 个不同大脑区域的谱图，并记录了他们的基因组。
由于作者关注的是形状而非大小，因此对谱图进行了归一化处理。对于每个大脑区域，他们进行了多元综合统计检验 https://pmc.ncbi.nlm./articles/PMC7360598/ ，以寻找谱图与基因组之间的相关性。
他们报告了DNA中的 80 个单字母变化，其中 31 个此前是未知的，这些变化“与至少一个大脑结构的形状独立相关”。具体来说，他们发现大脑形状与高血压、缺血性中风和精神分裂症易感基因标记之间存在显著相关性，“表明（拉普拉斯-贝尔特拉米谱）可能作为早期疾病的生物标记。”
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参考资料 |
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https://mathvoices./mathmedia/tonys-take-june-2025/
小乐数学科普：Tony Phillips教授的数学读报评论2025-05
小乐数学科普：Tony Phillips教授的数学读报评论2025-04
小乐数学科普：Tony Phillips教授的数学读报评论2025-03
小乐数学科普：Tony Phillips教授的数学读报评论2025-02
小乐数学科普：Tony Phillips教授的数学读报评论2025-01
https://www.chem./catalysis
https://www./articles/s42004-020-00433-7
https://pubs./doi/10.1021/jacs.5c04268
https://en./wiki/Zirconocene
https://pubs./doi/10.1021/jacs.5c04268
https://www./doi/10.1126/sciadv.adr1644
https:///5PMqf3Hj-Aw
https://www.math./~hunter/m207b/kac.pdf
https:///10.1126/sciadv.adr1644
https://pmc.ncbi.nlm./articles/PMC7360598/
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