欧拉公式，被数学界广泛公认的世界上最优美最伟大的公式，同时被称为“上帝公式”。
数学家卡尔·弗里德里希·高斯曾说过这样的话：一个人能否感受到欧拉公式的魅力，决定了他是否有成为数学家的潜质。
而本文，就是要让诸位读者具备数学家的潜质，下面会保姆式手把手的给大家推导出这个公式。
这个公式其实很简洁：
这看似简洁的公式，却是公认的人类现代科技文明大爆炸的起点。
因为没有这个公式的发明（或叫发现），就没有复分析，没有傅里叶变换，没有线性微分方程，那么电磁学就无法发展，雷达、反导技术、4G、5G信号科技就不会存在，量子力学也会受到根本性阻碍，广义相对论的张量分析和量子场论中的路径积分也无法存在；拉普拉斯变换也不会存在，于是自动化系统设计困难，机器人、航空航天技术发展受限等等。
总之，没有欧拉公式，就没有大部分的现代科技突破，人类对自然规律的理解更肤浅。
为什么欧拉公式被称之为“上帝公式”？
因为它以极致的简洁性，将数学中五个最核心的常数和三个基本运算完美统一，展现出一种近乎神性的和谐。 欧拉公式里面，一次性汇聚了数学史上最重要的五个常数，这五个常数分别来自算术、代数、几何、分析和复数理论，本属于完全不同的数学分支，却被欧拉公式用一个等式紧密联结，仿佛揭示了宇宙的某种终极设计。
公式中隐含了数学的三种核心运算，它表明加法、乘法和指数运算在复数域中存在深层次的联系，这种统一性在数学中极为罕见。
欧拉公式的推广形式
，是描述旋转、波动和周期性的终极工具，而这三者正是自然界的基本现象，它暗示数学不仅是人类发明，更是宇宙的固有语言。
数学家克莱因（Felix Klein）曾说：“这是数学中最神秘的公式，仿佛上帝在一瞬间将真理写给了欧拉。”
物理学家费曼称其为“数学中最卓越的宝石”。
欧拉公式之所以被称为“上帝公式”，是因为它像一把钥匙，打开了数学与自然之间的神秘之门。它的美不在于复杂性，而在于用最简单的符号揭示了最深刻的真理——仿佛宇宙的设计者悄悄留下的签名。正如数学家保罗·纳欣（Paul Nahin）所说：“如果你想用一句话向外星文明证明人类的智慧，就发送欧拉恒等式。”
如果你是理科专业，你就知道欧拉公式有多重要，并且这也是很多理科生的瓶颈，如果无法理解这个公式，那么基本上你的理科探寻之路到此为止了。
而本篇文章，何老师我并不仅仅是让你知道这个公式，而是要让你彻底的理解与精通，让它成为你智慧的一部分，能够像数学家一样以高维视角看待事物。
首先第一个问题，什么是虚数i？
虚数i的定义很简单，就是它的平方就是-1：
因为实数里面没有这样的数能让这个式子成立，于是人类凭空定义了一个数，称之为虚数i，你也可以理解成根号下-1
为什么人类要定义这样的一个数？
在带大家探讨虚数i之前，我先带大家简单的思考下，数学的本质是什么？
数学的其中一个本质，是人类为了描述客观世界规律而发明的一种语言（尽管后面人类愈发觉得并不是发明了数学，而是发现了数学）。
就像1，2，3，4，5，6这样的自然数，最初是为了描述事物某方面属性而存在的。
例如我们描述一个容器的容量是2升，意味着它可以装两个1升的水。
你瞧，我们给事物贴上标量，1个是2升，1个是1升，仅仅贴上这两个数并不是目的，而是手段，通过这样我们知道，前者能装下两个后者，这才是目的。
同样的，我们用数字来定义温度这样的标量，在标准大气压下，把水的冰点定义为 0℃，把沸点定义为 100℃，两者之间分为100等份。然后用水银这种具备均匀的热胀冷缩特性的物质，用它在不同温度下的膨胀度来对应不同的温度，我们就能知道不同地方不同时间的温度——温度这样的标量不是目的，而是手段，通过这样的手段，我们能预期到自己去到那地方或那时间会是怎样的感受。
你可以看成数字是我们为了描述事物属性而建立的独立参照系，而这样的参照系虽然独立，但如果完全脱离现实事物，那它是没有意义的。
想象一下，假如我们发现了远离太阳系的外星文明，并且彼此建立了沟通渠道。
外星人问我们人类的身形大小是多少。
如果我们回答我们地球人平均身高是175cm，外星人是无法理解这个数字的。
首先我们需要跟外星人表达我们的数学用的是十进制（其实应该说是九进制），我们对外星人那边发9次信号，告诉对方9次以后就开始进入下一个循环。
于是外星人就能理解我们的运算体系最底层的逻辑。
然后我们跟外星人说，你们能观测到太阳吗？并用你们的数学体系定义太阳大小吗？
外星人回答说能。
然后我们就可以说，我们地球人把太阳的直径大小定义为1,392,700 km，而我们地球人的平均身高是0.00175km。
外星人：嗦嘎！那我们知道你们人类的大小了。并且我们也知道你们的单位长度1km是多长了。
接下来外星人又问：那你们地球的温度是多少呢？
当然你不能直接回答28摄氏度，而是要说“我们地球人把水的冰点定义为 0℃，把沸点定义为 100℃，两者之间分为100等份，而地球的平均温度就28℃。”
这样，外星人才能理解我们地球的状态。
我想通过这例子，是为了让大家明白，数字存在的意义，就是为了建立一个参照系，从而能够描述不同事物的属性。你瞧，如果单单只给一个事物贴上标量，是没有意义的，你只说某样东西的温度是10摄氏度是没意义的，你只有给出了水的冰点是0摄氏度、沸点是100摄氏度这样的参考，你才能理解10摄氏度是怎样的状态。
在讲虚数前我之所以做以上铺垫，只是像让大家深刻的明白一个道理——是数学为人类与现实客观规律服务，而不是人类与现实客观规律为数学服务。当人类发现了一个新的现象，而原来的数学体系里面没有对应的语言去描述新的现象或规律的时候，这时候人类就会发明新的数学规则，并且这个新规则是能够跟已有的体系自洽的。
再讲一个冷知识，其实人类对负数（例如-1）的接受，其实比微积分的发明还要晚。
大家现在对负数习以为常了，但你能想象当初的人们对负数这个概念的难以理解程度，不亚于现在的你对虚数的难以理解程度吗？
那时候的人们都觉得，0已经是最小的数了，就是代表没有了，有什么比0更小的吗？比没有更没有？
负数的存在，是人类对数学本质的进一步理解与拓展。
你瞧，上文说到，数字的意义就是为了建立一个参照系，来描述不同事物的某种属性。它的本质就是要通过参照来定义事物的标量，数字是为这个功能服务的，是数字成全了参照系，而不是参照系成全数字。
例如我们定义了水的冰点温度是0，那如果出现比水的冰点更低的温度呢？我们又该如何定义比0更低的温度？
当然，你也可以修改水的冰点温度标量，你可以把水的冰点温度定义为10、或者20、100都可以。但还是会出现，比10度低11度的温度，那该怎么定义？又要修改吗？
何不把格局放高点，本来我们发明1、2、3、4这样的数字，就是为了参照而存在，那我们也可以定义新的数字，用来表示比0更低的标量啊！
于是负数发明了。负数的出现，进一步深化了数字为参照而服务。
并且接受了负数之后，后面人类才能发明坐标轴、向量这样的数学工具。
我们研究运动状态的时候，把初始位置设为原点，也就是0点，如果把正东方视为正数方向，那么正西方就是负数方向，以此来记录物体的运动轨迹。当然你也可以不纳入负数的概念，把向东与向西分开两个独立的运算系统，只不过这样会很低效。
然后到了虚数的提出，数学的语言库又再一次拓展。
虚数最初是怎么诞生的？
在16世纪，数学家们研究三次方程时，发现即使方程有实数解，计算过程中也会出现负数的平方根，这让他们非常困惑。
意大利数学家卡尔达诺在《大术》（Ars Magna）中给出了三次方程的解法（卡尔达诺公式）（这里我们就不展开探讨了）
他发现，对于某些方程如，解应该是实数（其中是x=4)，但在用卡尔达诺公式的计算过程中却出现这样的无意义的数，虽然最终结果里我们看不到这个数。
于是当时数学家们把这样的数称之为“虚数”，意思是虚构出来的不存在的数。
用他们的话说，这些虚数如同幽灵一样鬼魅的出现，让计算得以推进，最后为了避免尴尬，又识趣的离开。（就像游戏辐射4里的神秘客那样。）
直到一些不识趣的数学家，硬要较真，提出类似这样的式子求解，硬要把虚数这个害羞的只想默默无闻的数推出大庭广众之下。
原本的数学体系里不存在能平方后等于负数的数。
但我们何不换个角度想， 这样的式子本来也是虚构且无意义的啊！在当时这个式子能找到对应的现实意义不？既然是虚构且无意义的问题，那我给个同样是虚构且无意义的答案，很公平合理啊！
但是！如果现实中确实有对应 这样的式子的现实问题，那你就不能说它是无意义的了！那么它的解，,也同样具备了现实意义。那么这时候，数学的语言库不得不拓展，设立一个数对应这个解。
还记得前面强调的吗？是数学为人类与现实客观规律服务，而不是人类与现实客观规律为数学服务。
就如同以前定义了负数一样，只需前面加个负号，人类可以同样定义这样的虚数，只需要加个i，i就是虚数单位。
我们回想下，为什么说负数无法开平方根？
那是因为平方根的结果，是两个相同的数相乘得出原来的数的那两个相同的数。
而我们找不到两个相同的数相乘会得出负数的。
为什么？
因为负负得正，两个负数相乘只能得出正数，同样的，两个正数相乘还是等于正数。
为什么两个负数相乘只能得出正数？
因为不这样的话，原来的加减乘除运算就会出现矛盾。
还记得小学知识不，一个数，不管是正数还是负数，只要乘上另一个负数，那么正负号就会发生改变。
例如4乘以-1，得-4
如果不这样设定，就会产生怎样得矛盾呢？
举个例子，5=6-1，按既有的数学法则，也可以写成5=6+（-1）
4✖5=20，那么就可以写成4✖[6+(-1)]=20
按照既定的乘法分配律，上式就可以写成4✖6+4✖（-1）=20
这时候，你只能让4✖（-1）=-4 ，才能让上式成立，否则原有的数学体系就存在矛盾了。
你瞧，之所以任何数乘以负数后，原来的正负号就要发生变化，是为了成全原来的数学体系不让其产生矛盾，而推出的一个设定。
那么，我们完全可以增加一个设定，只要这个设定不跟原来数学体系矛盾就行了。
数学家们发现，一个数乘以-1后，就相当于在数轴上转了180°，如下图：
乘两次根号下1，就得出-4，那么只乘一次根号下-1呢？
是不是就可以看成，旋转了90°？
可问题来了，这原本就是个一维数轴啊！这硬生生的变成了二维。
是的，我们在一维数轴上，添加了一条新的数轴，这个数轴称之为虚数轴。
这个虚数轴，跟实数轴共享一个原点，也就是0点是重合的。
我们设一个i，表示这个虚数轴的单位，并且这个i的模长，跟实数轴上1的模长是一样的（什么是模长，现阶段你就简单的理解成长度就行了。）
那么上图就是：
于是，我们把某个实数乘以虚数i后，定义为把数轴上0到某个实数的线段，逆时针转了90°后的状态。
（我们默认这个虚数轴在这虚构的空间与实数轴垂直，但其实很多人不知道，这并不是一个强条件，我们可以设这个虚数轴从0点出发，与实数轴0点两边都同时呈30°角，也就是同时与正数轴、负数轴呈30°夹角，这在我们现实三维空间看似不可能，但别忘了毕竟这是我们虚构的亚空间，我们可以随意制定规则，实数乘以i后就是在复平面上旋转了30°，再乘一次 i 就是又旋转了30°，因为我们设定了这个虚数轴是同时与正数轴、负数轴呈30°夹角，于是又回到了实数轴上，这与我们原来的数学体系依然是自洽的，并且你若要仔细深究的话，会发现这个系统依然可以运作，依然可以与后面要讲的欧拉公式自洽。
关键是，必须有一个数轴，用来容纳虚数，因为这些虚数，实数轴上不收留它们，至于这个数轴怎么设定，只要能够自洽就行。之所以设定为与实数轴呈90°，是因为这样更直观，运算更方便。）
记住，数学是人类创造的语言，你可以大胆的进行创造。
例如，你可以说我觉得实数乘以虚数就在复平面上转90°，这个设定不好，我觉得设定成实数加虚数 i 就是在复平面上转90°，再加一次 i 就是再转90°，回到了实数轴上，我觉得这个设定也挺好。
完全没问题。
又或者，你可以设定一个数，规则就是，任何实数乘以它后就回回到数轴原点，再乘一次就是去到数轴另一边与原来的数对称。
也可以啊。
又或者创造一个新的数学符号，新的运算来表示复平面。
这些都没毛病。
数学是自由的，我鼓励大家大胆的去创造新的数学语言，新的运算法则。
但上面这些都无法与原来的数学体系自洽，也会带来诸多矛盾，于是你只能在一个你创造的独立的运算系统里面反馈出结果后，再用这个结果值融入到公共数学体系中。这就类似计算机中用了两套互不兼容的程序或系统，可以是可以，但效率很低，也无法进行更有深度的运算。
而把的结果设定成虚数 i，乘一次 i 就是原本在实数轴上的数作圆周运动移动了90°，去到虚数轴上，再乘一次就是又旋转了90°，去到了实数轴的另一边，与原数值形成原点对称。这个规则本身就跟原数学体系是自洽的。
于是我们就有以下几种虚数运算规则：
i乘以一个实数，例如 ,它表示的是沿着与虚数轴平行的方向行进了a，因为i的模长是1，那么ai也可以称为是模长为a的虚数。
i乘以0等于0。
在此基础上，我们提出了复数这一概念（不是负数，我一直都吐槽为什么中文区要把负数跟复数用同一发音啊，这太容易混淆了，我真是吐了。）
复数就是一个实数加一个虚数的组合，它的通用表达式是：
其中a是实部，bi是虚部。
它表示的是复平面上的坐标，怎么理解呢？
我们先回到一维数轴上，在一维数轴里面，我们怎么理解3+2这样的概念呢？
就是数轴从原点先往右移动3，再移动2，最后到5这个点上：
那么如果是复数3+2i该怎么表示呢？
上面这个复平面里面的点，就是3+2i
上面的两张图，你要抱着这样的心态，就是把这个坐标轴仍然视为一维坐标轴，只不过这些一维的存在似乎不甘于自己只是个一维生物，凭着自己的努力，愣是突破了维度壁垒。
就如同一般二维坐标轴一样，复平面上的坐标，亦可以表示为复平面上的向量，也就是3+2i也可以视为向量。但我为了让本篇内容的信息量不要太多，我后面会尽量避免用到向量这个概念。
这时候，我们尝试把3+2i再乘以一个i，看看会发生什么？
还记得前面说的，i的平方等于什么？等于-1，于是，上式就可以写成：
你会发现，在复平面上-2+3i这个点，恰好是3+2i这个点，以原点为圆心，从原点到3+2i的连线为半径，逆时针旋转了90°：
这很好证明，运用的是初中的几何知识，只需要证明从原点到3+2i跟到-2+3i的点的距离一样，并且原点跟这两个点的连线，与实数轴或虚数轴形成的夹角加起来是90°，就可以证明出从3+2i到-2+3i是走了1/4圆弧，这种初中几何题就不在这里展开了。
你瞧，这也跟我们一开始的设定，实数乘以i后，就是相当于以原点为圆心，原点到这个实数的线段为半径，在复平面上逆时针转90°。
现在我们神奇的发现因为虚数的运算法则，使得这个设定可以扩展到整个复数域，复平面上任意一个点，只要乘以i，就是相当于以原点为圆心，旋转了90°。
这个与虚数相乘的结果，与原先的设定形成了自洽。
同时，复数的表达式可以写成另一种形式，就是极坐标形式：
复数坐标与原点的连线，跟实数轴上的实部线段、虚数部分的线段，形成了直角三角形：
那么其实就是实部，就是虚部，斜边长度就是r。
复数其实还有一种表现形式，就是
你瞧，乘以一个i 就是旋转了90°，那么很容易推出，乘以 就是旋转了45°
亦可以写成
同时，亦可以用实部加虚部的表达式表示，只需要算出这个点到实数轴的距离、跟到虚数轴的距离就可以了，其实有正负两个解，所以，它两个解的点，以实部加虚部的表达形式就是：
同样的，任意一个实部加虚部的复数表达式，都可以写成 ，字母的意思，是指必然存在一个实数，使等式两边成立。
以上就是一维数轴下，虚数运算的最基本法则。
下面我们进一步探讨，如果在二维平面坐标轴下，复数函数的表现形式。
带虚部的二维平面坐标轴默认是这样：
这时候有人要说了，何老师你是不是糊涂啦！说好的二维坐标系平面，可你画的是三维啊！
那是因为原本是实数轴上的生物，不甘于自己只是个一维，硬生生的突破了维度壁垒，还记得吗？
所以你看这个三维图像，你要心里默认成它是个二维坐标系。
这个二维坐标系里，首先这个虚数轴，必须要明确是哪个轴的虚部。
记住！虚数轴只能对应一个实数轴，它是不能够几个实数轴共享一个虚数轴的。
如果我们视y为函数值，那么一般设定虚数轴就是y的虚部，虚数轴是属于y轴的，就像一夫一妻制一样，虚数轴嫁给了y轴，就跟x轴没关系了！
但共享一个原点0。
我们知道虚数轴跟y轴相互垂直，那么虚数轴跟x轴是不是也相互垂直呢？其实这个是不确定的。因为虚数轴是y轴的，跟x轴是完全割裂的，除了共享同个原点。只不过我们为了直观的表示函数关系，把它画成也跟x轴垂直。
那么在这个坐标轴，yoi就形成了复平面，记住不存在xoi复平面。
而复数a+ib，就是复平面上的点：
好了，接下来一个重要的问题，带复数的函数图像，该如何呈现？
例如最简单的：y=ix
该如何画？
首先我们知道y=x的函数图像是这样：
这个好理解，没毛病吧？
那么y=ix，就是把它转90°，问题是以哪个轴为轴心转90°呢？
这也是刚开始学的同学们最容易犯浑的点。
很多人以为是以y轴为轴心转90°，其实是错的：
很多人在这里就懵了！
刚刚不是说好的，复数是在yoi平面上吗？？不是说好的x轴跟复平面无关吗？？你这怎么画到xoi平面上了？不是说好的不存在xoi复平面吗？
首先我们重温下坐标的意义。
就拿一般的二维平面坐标轴来看，某个点的坐标（x,y)
其实可以看成是，从这个点，做一条线段垂直于x轴，这个线段上这个点到x轴的距离，对应的是y值；同理，做一条线垂直于y轴，这个线段上这个点到y轴的距离，对应的是x值。
其实，我们可以看到，y值其实是这条从坐标点出发垂直于x轴的线段在y轴的投影；而x值其实是从坐标点出发垂直于y轴的线段在x轴的投影。
理解了这个，我们再来看看有复平面的二维坐标轴。
函数y=ix的函数值y，其实是这个往x轴方向的直线在复平面上的投影：
为了方便大家理解，我再给一个函数图像，这次函数是
而所有的y值，其实就是这个三维图像在复平面yoi的投影，记住这个，很重要。
如果还不明白的话，需要自己慢慢琢磨下。如果这个理解不了，那就先不要往下看了，后面你就更理解不了了。
好了，理解了二维坐标轴下，带复数的函数图像后，接下来，我们证实开始讲欧拉公式了。
欧拉公式的思想，其实是在一维坐标轴上的运动轨迹，其实是以原点为圆心，半径为1的圆周运动
——该如何理解与证明，就是本文的重点。
首先e是自然常数，自然常数是一个在数学界里的重要程度不亚于的无理数，但本文就不展开讲了，这里只需要知道并记住：函数的导函数就是它自己，这是这个自然常数最重要的性质。
为什么呢？
这就是欧拉最伟大的发现之一，这是我们本篇要去推导的。
其证明方法有几种，我后面会把几种证明方法都放出来。
但最重要的一种，就是以直观的方式去理解，也是接下来的重点。
首先我需要说的是，网上一些视频的说法，其实是错的，或者说非常不严谨。
一些up主会这样说：
因为带着系数i，乘以i就是表示旋转90°，那意味着导数值总是垂直于这个点的运动方向，于是这个点的运动方向总是垂直于这个点与原点的连线。
上述其实证明的方向，还有结果是对的，但过程错的很离谱，是把读者带到坑里。
首先，导数的意义是什么？是两个变量的相互变化率
它能在一维数轴上表示吗？
不能！
导数的意义，是函数图像中，代表着每一点的即时运动方向的切线的斜率，称之为导数，而由这些导数形成的函数称之为导函数。
你在一维数轴上讨论导数，是没意义的！
你看这个图：
导数与导函数，只有在二维平面坐标轴，才有意义。
所以对求导，其实是对这个函数表达式求导
它是一个以x轴为中心的无限延伸的螺旋体。
而这个无限延伸的螺旋体，投影到yoi这个复平面上，会重合成一个半径为1的圆。
其实，这个在复平面上的圆的投影，就是所有的取值，这个圆包含了所有的y值。
当然，上面的图像是我们现在要去证明的，只不过提前让大家知道我们的目的是什么。
而它的导函数,其实是上图这个螺旋体里的点的即时运动方向所在的切线的斜率的函数。
而这条线的斜率，是
而现在我们的目的是，证明任意一点点的切线，在复平面yoi上的投影，是与复平面上原点至点连线垂直，且经过复平面上点，这样就能证明复平面上是圆周运动。因为圆周运动的充要条件，就是它每一时刻的运动方向都是垂直于它与圆心的连线。
而很多人犯的另一个错误，就是以为只要带个虚数i作为系数，那它的运动轨迹就是圆周。
我随便举个反例就行了。
例如前面的最简单的例子y=ix
它的导函数就是i
它是带着i啊，可原函数是螺旋体吗？不是。
如果你说i后面必须带着由自变量x的函数表达式，也行。我举一个
它的导函数
可原函数是螺旋体吗？
不是！
所以重点不只是那个系数i ,而是系数i与另一个复数的组合。
下面是正确的证明方法：
首先，是一个复数，于是它是可以用实部加虚部的表达式来表示：
它的实部与虚部，是随着x值得变化而变化，于是是自变量为x的函数。
因为它的导函数
又是一个复数，还记得前面怎么说的吗？复数乘以i，就是把原先复平面上的点，以原点为圆心，这个点到原点的线段为半径，旋转90°。
你瞧，这个乘以i后得来的新的复平面上的点，与原点的连线，是垂直于原来的点与原点的连线。
这时候恐怕有学渣跳出来说，妥了！这是不是就说明原来的点的运动方向就是垂直于与原点的连线！
还没到那步！
要知道，导数值，代表的是这个点的即时运动方向所在的切线的斜率！
所以，这个点，代表的是斜率值！而不是这个切线！
一条线的斜率是个复数，该如何理解呢？
其实，学过向量的就知道，一个点的坐标，也可以视为从原点到这个点的线段代表的向量，而这个向量所在的直线的斜率也可以用向量表示。还记得前面提到，复数本身也可以视为向量吗？如果向量A与向量B垂直，那么由向量B作为斜率的直线，是与向量A垂直的，于是就证明了这个点的即时运动方向垂直于它与原点连线。
但我知道大家肯定对这种证明方法不满意，这就好像强行加了一个设定。
不要紧！接下来我们抛开向量的概念，因为我前面承诺过尽量不用向量，下面就用上文已有的设定，去证明。
我们回顾下，在一般的图像为直线的函数表达式里面，斜率是怎么表示？
例如 y=kx+b
这条直线的斜率就是k
那么，如果是斜率为k，且经过原点的直线的函数表达式，就是：
y=kx+0，也就是 y=kx
如果斜率k是个复数，那会怎样呢？
那就直接乘来看看呗。
例如斜率是3+2i的且经过原点的直线
那么函数表达式就是
y=(3+2i)x
它在二维坐标系的函数图像大概是这样：
函数图像在复平面上的投影就是所有y值的取值，也就是值域，记得不？
所以你瞧，斜率是复数的、经过原点的直线，在复平面上的投影，就是从原点出发经过这个复数的直线。
这时候如果系数乘以个i，也就是斜率乘上个i，就变成了（-2+3i）x，这条线不就与原来的（3+2i)x 垂直嘛！
回到，我们在函数图像上任取一点，我们从原点出发，做条直线连上，那么这条直线的函数表达式，是不是就是
而 至原点的连线，恰好是与在二维平面坐标系中斜率为的经过原点的直线在复平面的投影重合。
但注意！这条直线，还不是的函数图像上某个点的运动方向的切线。
真正切线的函数表达式，高中学过了，是：
那么在这里，切线的表达式就是：
因为这个表达式里面x的系数跟是一样的，都是，所以这两条直线是平行的！
那么这条直线在复平面上的投影，与直线在复平面的投影是平行的！
所以，这条直线在复平面上的投影，是与复平面上原点到点的连线垂直！并且经过点。
这就相当于把线在复平面的投影平移到刚好经过复平面上点。
所以，最终我们证明出，复平面上 点的运动方向，是垂直于复平面上原点与点的连线。
而运动轨迹在复平面上投影的每个点都可以用上述方法证明，于是它在复平面上的的运动轨迹必然是个圆！因为圆的性质，就是每个点的运动切线方向都是垂直于这个点与圆心连线的半径。
而当x=0时，, 这时候这个点落在了实数轴上1的位置。
可以得出，这个圆的半径就是1.
其实上面我为了让大家不要太过懵逼，故意少了一步，现在大家理解了整个证明思路后，我下面再加上这一步。
复平面上从原点到函数图像运动轨迹在复平面投影的某个点 的连线，其实是在二维坐标系里从原点出发，连到的点的连线，其实它有无穷多条，而这无穷多条连线在复平面上的投影恰好重合成一条：
而这无穷多个的点，在复平面上的投影都重合成一个点，就是
而所有点的运动方向的切线，在复平面上的投影都重合成一条垂直于从原点到的直线并经过点。
以上才是完整的证明过程。
现在我们回到复平面上。
我们成功证明了在复平面的投影是个半径为1的标准圆。
那么我们就可以在一维数轴上用一个半径为1的标准圆表示
到这里，很多人以为就大功告成啦！
错啦！
欧拉公式的思想，除了推导出是个单位圆，还有一个更重要的定理，就是x的取值恰好就是等于弧长。
欧拉公式是这样：
看到其中的特点没？x的取值就是半径为1的单位圆的弧长，而x取值的时候，恰好就是个半圆，去到了-1的位置
很多视频up主只讲到了是个单位圆，然后就直接给出了x的取值就是弧长的结论，这直接跳过了证明。
这个需要严谨证明的，也是欧拉公式最重要的部分，下面就给出证明。除此之外，还会给出欧拉公式另一种更简单的推导
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还记得前面提的，复数的另一种表达方式，也就是极坐标表达方式：