能看到这里的不容易，反正来来回回就这几个公式，这次的文章是对前面两篇的轻量化总结，适合速记和一些定性的分析；所以从理想低通滤波器的冲激响应（就是一个 sinc）这个议题开始
什么是“理想低通滤波器”？
在频域，理想低通指的是：
也就是：通带完全平坦 = 不衰减、不失真;截止频率非常尖锐 = 全或无;阻带完全阻断 = 无限衰减,这是数学理想模型，现实根本无法做出这种过滤器;但数学上，它给出了许多重要性质。
傅里叶变换：矩形频谱 ↔ sinc 时域
我们要的冲激响应 h(t)，来自公式：
带入矩形频谱：
积分可得：
整理：
这就是 sinc，仿真图中，我就是用这个公式画出来的。
为什么会出现 sinc？（本质原因）
因为出现了 “时域截断 / 频域矩形” → sinc 这对经典傅里叶变换对。
矩形和 sinc 是最典型的一对傅里叶变换互为伴随的函数：
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矩形窗口在频域本质上是对指数函数积分，对指数函数积分就会得到 这样的因子，再经过 sin 的展开，会变成 。（这也是上个文章花大篇幅解读的结果）
所以：
只要在一个域使用“硬截断/方形”，另一个域就会出现 sinc。
理想低通 = 频域矩形 → 时域一定是 sinc。
重要性质：理想低通的冲激响应是“无限长”的
你看公式：
sinc 的重要性质：
在 t → ±∞ 时以 1/t 衰减，但永远不会变成 0；支持范围无限长，对称（偶）函数，不是因果系统。
也就是说：
现实中不可能实现真正的理想低通滤波器
因为它需要无限长的冲激响应，必须提前知道“未来”的输入。
所以现实世界能做的永远是近似：FIR / IIR / 模拟 LC 都只能做到“近似低通”。
这就是你看到的：Hann，Blackman，Kaiser。这些窗函数的出现本质是要把无限长 sinc 截断成有限长度 FIR，同时尽量减少频域的旁瓣问题。
从信号的角度：为什么 sinc 是“理想插值核（Shannon kernel）”？
如果把理想低通的 h(t) 按采样频率选取：
这就是香农采样定理中的“理想重构核”：
原因是：
理想低通 = anti-aliasing 滤波器= reconstruction 滤波器= sinc 插值核
这是三位一体的关系。
用更深层方式理解：sinc 是“最小带宽”的函数
这个非常关键：在时域内固定能量；在频域想要“最紧凑”的主瓣；能做到“最窄带宽”的，就是 sinc
换句话说：
如果你希望在频域能量集中、通带最陡最窄最干净，那唯一能产生这种矩形频带的时域信号就是 sinc。
从数学优化角度这是一个极值性质（利用 Paley-Wiener theorem）。
这也解释了：实现越理想 → sinc 会变得越长；sinc 越短 → 低通越差,这就是“时宽带宽积”的体现。
从建模角度重新总结
为什么“理想低通的冲激响应就是一个 sinc”？
因为：理想低通在频域是矩形函数,矩形函数的傅里叶逆变换就是 sinc
并且：时域无限长 → 因果系统无法实现,频域完美矩形 → 需要时域无限长度来保证,sinc 出现在信号处理所有“插值/滤波/带限建模”的核心位置,所有窗函数法 FIR 设计都源自“截断 sinc”;方波、矩形波、矩形窗的频谱都包含 sinc.
简而言之：
sinc 函数是“完美带限”的唯一形状，而“完美带限”就是理想低通的全部定义。
推导“窗函数 FIR = 截断 + 平滑 sinc”
我们要实现一个 有限长度 FIR：
但理想低通的冲激响应是：
无限长，不可实现。
解决方法：乘上窗函数
这是窗函数法的核心。
为什么“乘窗”可以搞出一个可实现的滤波器？
因为“时域乘 = 频域卷积”
是矩形频响
是窗函数频响（通常呈 sinc 形）
卷积后：边缘被平滑（sinc 主瓣），旁瓣产生（窗函数的旁瓣），过渡带从理想的 0 展宽到某个有限的宽度；窗口越平滑 → 频域越窄 → 旁瓣越低。
三个常见的窗
Rect（矩形窗）：旁瓣很高
Hann：旁瓣下降快
Blackman：旁瓣极低但主瓣更宽
所以：
FIR 低通滤波器本质上就是 截断 sinc + 窗函数平滑边缘。
不同长度 N 的 sinc 截断滤波器对比（频域收敛）
随着 FIR 长度 N 增加：对理想矩形的逼近更好，频域过渡带更窄（transition band），旁瓣结构更接近 sinc 的理论形状
截断 sinc 的时域长度增大 → “乘以更长的矩形窗”；频域卷积中的 sinc 主瓣变得更窄，所以你得到的低通频谱边缘更陡
数学依据是傅里叶对偶的缩放性质：
因此：
时域拉长 → 频域缩窄
时域截短 → 频域变宽
这就是 FIR 长度决定过渡带宽度的根本原因。
sinc 的频域泄漏（旁瓣）解释
sinc 的频域含义是：
主瓣宽度固定（由矩形宽度决定），旁瓣高度衰减 ~1/x，第一旁瓣大约 -13 dB，旁瓣无限多，不会为 0。
因此：截断时间会引入频域泄漏（矩形窗的必然结果），这也是为什么 FFT 会“泄漏”，我们必须加各种窗函数；方波的 Gibbs 现象也是 sinc 旁瓣叠加导致的。
小小Tips～
理想低通的冲激响应为何是 sinc？
因为频域矩形的逆傅里叶变换就是 sinc。
为什么无限长？
因为 sinc 不会为 0，永远有尾巴 → 理想低通不可实现。
FIR 如何逼近理想低通？
截断 sinc + 窗函数平滑边缘。
为什么截断长度决定过渡带？
傅里叶缩放性质：时域越长 → 频域越窄。
为什么窗口形状决定旁瓣？
因为频域卷积矩形与窗函数频谱，旁瓣来自窗频谱。
为什么 FFT 会泄漏？
矩形窗本质是 sinc 频谱 → 有旁瓣。
可视化
做了3 个 FIR 长度（N = 11、51、101），每个长度 3 种窗函数（Rect、Hann、Blackman） → 每种窗函数包含：冲激响应 + 频率响应合计 3 × 3 × 2 = 18 张图。
时域：不同截断长度的 sinc（sinc × window）
频域：窗函数主瓣宽度、旁瓣抑制差异，完整 dB 归一化对比
FIR 长度 N = 11 / 51 / 101
Rect / Hann / Blackman 三种窗函数
每个窗函数：冲激响应 h[n]；频率响应 |H(ω)| (dB)。
窗函数：Rect（最能体现 sinc 截断效应）
直观看到：主瓣变窄，旁瓣数量变多，频率分辨率提高，滤波器越来越接近理想低通。
Rect（黄色）
第一旁瓣约为 –13 dB，旁瓣衰减速度 ~ 1/f
Hann（蓝色）
第一旁瓣约 –31 dB，旁瓣衰减更快
Blackman（绿色）
第一旁瓣约 –58 dB，极低旁瓣，最适合频域泄漏敏感场景（EEG、振动、精密测量）
log-log 视图非常清晰地展现，窗越平滑 → 旁瓣越低，旁瓣下降越快 → 频域越干净。