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这篇讲关于三角形分类讨论

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在中考中，填空压轴题，基本都涉及分类讨论。

分类讨论的类型有很多：旋转的、折叠——这两类我都说过。

还有一类是关于三角形的，通常涉及等腰三角形和直角三角形。

我们来分别说说。

01

等腰三角形

等腰三角形从小学就开始引入，其中一个目的便是“让学生开始接触分类讨论”。

小学的数学里题中涉及分类讨论的不多，主要是让孩子有这样一个概念。

题目类型多是：

• 一个等腰三角形，它其中一个角是50度，那么，它的底角度数是多少？
• 一个等腰三角形，它的两条边分别是5和9，那么它的周长是多少？

小孩子需要分情况讨论一下边和角，难度不高。

不过，到了初中，难度会升级：

• 在角度上会改变问法；
• 在边长上会引入坐标系和动点。

• 角

下面我们看一下例子。

这是小学角度分类讨论的升级版，它改变了一种问法——还考察学生能不能读懂题。

对，在初中，阅读能力也是一种考察。

近年来，有越来越明显的趋势。

话说回来，在初中，角度的分类讨论题目变换不多，主要还是边的考察。

这一题算是比较难的了，普通小孩基本上都能想到45度。

另一个度数知道有，也知道大概怎么分，但不好算。

这个时候就要利用学过的方程知识了——初中也学方程，只是对方程的学习要求跟小学不同。

初中的要求是：会用，知道什么时候用。

在这里要设x，然后用字母表示角度，找到等量关系，再算出底角度数。

再看一道关于角度的题目。

这道题涉及一个动点，又牵扯到圆的知识，等于更综合了。

但整体难度还是不高——在角度这里，分类讨论难度上不来。

还是等腰三角形边的分类讨论，更难一些。

这道题我们只需要利用圆心角和圆周角的知识，分别讨论∠BEC=∠BCE,角∠EBC=∠ECB的情况就可以了。

大家自己探索一下。

• 边

下面我们看一下边的分类讨论。

首先是引入坐标系。

引入坐标系这种题目是让你分类讨论等腰三角形成立的情况。

两条边相等通常有两种可能，根据这些可以算出坐标点。

难点不在于你怎么算出这些坐标点，而在于你对可能情况的讨论上。

很多同学讨厌分类讨论的题目，原因是总觉得自己会漏掉一些情况。

这就是平时只做浅层思考，想出那个最简单的情况，难的，没有想出来过的经验，所以脑子里就没有应对难题脑回路。

没有脑回路，以后遇见就想放弃。

其实耐着心去分析，也没有那么难——祛魅，然后试一试，掌控感慢慢就来了。

我们来看一个例题。

这个就是边的考察了，需要我们分别讨论AP=AB， AB=BP，AP=BP，这三种情况下p点的坐标。

这种题目综合度不算太高，属于基础知识考察。

在初中还有一类综合度比较高的三角形边的分类讨论。

会结合其他知识来考察，看你能不能用所学到的知识解决问题。

比如下面这道题，就结合了动点和直角三角形中线的知识。（比较简单，我就不做了）

而下面这道题难一点，要用到动点、三角形相似、全等的知识点。

我们来看一下。

先排除一种可能——BQ=BP这种情形，不成立。

给的图有一定的误导性，看起来好像BQ=BP,其实一想，∠BQP≠∠BPQ,因为∠BQP=∠A+∠QPA,而∠BPQ=∠A

排除之后，我们试试看BQ=PQ，这个时候OP等于多少？

乍一看没思路，但仔细看图上可能有相似或者相等的三角形——△BCP与△PQA。

这样，就可以往下走了。

这种情况的计算还是很复杂的，不小心就转不过来了。

下面我们再看另外一种情况。

这种情况简单一些，但也需要综合运用各种知识——其实还是三角形的各种知识，最终所有的问题都是要到三角形中解决的。

02

直角三角形

直角三角形的分类讨论，主要集中在“哪个角是直角”上。

比如下图这道题，要使△BPD为直角三角形，求BP的值。

这时候我们要讨论哪个角是直角，是直角时对应的数量关系。

其实直角三角形的分类讨论要比等腰三角形容易些。

• 因为直角三角形是特殊三角形，本身有很多性质可以利用。
• 而等腰三角形求度数和边长，我们多数时候还得做辅助线来到直角三角形中解决。

直角三角形的性质中有最常见的勾股定理、中线、特殊三角形、正弦余弦，还有通用的全等和相似等，有时候都会用到，有时候只需要一些。

比如下面这道题就简单一些。

利用特殊直角三角形的边角关系就行了，很容易处理。

下面这道题就复杂一些。

需要用到相似、相似比、正弦余弦、折叠的知识、直角三角形中线的知识。

如果哪一点卡顿了，这道题就不容易做出来。

第一种情况，我就差点卡住。

第二种情况简单许多，因为第一种情况我们打通了思路——这也是一个小技巧，分类讨论里，一般第一问的思路和第二问没差。

好了，关于三角形的分类讨论就这些了。

我们上面举的例子都是压轴填空题，难度算中等。

不要怕，无非就是分类讨论一下：

• 等腰三角形成立时，那两边相等；
• 直角三角形成立时，哪个角是直角；
• 然后利用三角形知识解决问题。

初中有两大块——因式分解和三角形掌握好，基本就稳了。

初中数学有两个关窍

最后：

其实，关于三角形的分类讨论也有大题。

在二次函数压轴题里，也会结合坐标轴，考察直线与坐标轴相交所成三角形为直角或等腰三角形时，某些点的坐标……

这类题难吗？其实也不难，只不过是需要你把三角形的知识迁移到坐标轴里，做一下结合。

这篇到这里，下次我们讲一下。