一九九五年秋，由于自己连续执教了三届高三毕业班，身心有点疲惫，想缓冲一下，便向学校申请执教高一学年。领导经过全面考虑，安排我执教高二学年三班和四班的数学课，并担任三班的班主任。
在四班上的第一节课，给我留下了良好的印象。同学们个个全神贯注，专心听讲，积极互动，使我轻松完成了当堂的教学任务。
我见还有几分钟时间，为了巩固高一学过的相关知识，便出了几道求复合函数定义域的习题，让同学们写到作业本上。
下午，我在批改作业时，发现求复合函数定义域的第一种类型的题，大家基本上都做对了。而第二种类型的，只有一个叫刘洁的同学做对了，其他同学还是仿照第一种类型题的思路去解，犯了同样的错误，感到刘洁同学很有培养前途。
恰好这时四班的班主任王老师来向我介绍她班同学们的情况，王老师在介绍中，特别强调刘洁同学是学年尖子，担任班学习委员，希望重点培养。听完她的介绍，使我感到刘洁有别于一般同学，很想了解一下她的学习状况，便让王老师把刘洁同学给叫过来。
不一会儿传来了敲门声，接着进来一位身材苗条，眉清目秀，白白净净的女孩。她走到我跟前说：“老师好！您找我是什么事呀？”
“我想问一下，你做这道题的思路是怎么想的？”我指着有关第二类复合函数定义域求法的一道题说道。
“我觉得这道题和上面的几道题不是同种一类型，所以不能套用上面的方法。再仔细观察，发现老师是把上面题型的条件和结论互换了，这样，我就从上面题型的结论上手，试着往条件推，就得出了结论。不知对不对？请老师指教。”刘洁口齿伶俐，逻辑思维严密，表达清楚。
“完全正确，而且全班只有你一个人做对了，实在是可喜可贺。这种思路叫做逆向思维，是高中学生必须建立的思维模式，你做到了，真是令人鼓舞。”我说道。
“以前的老师也没有讲过，我是瞎琢磨的。”刘洁说道。
“数学就是要勤动脑思考，不能光依赖于老师，有道是’师傅领进门，修行在个人’，’青出于蓝而胜于蓝’，社会才能向前发展啊！”我说道。
“明白了，谢谢老师。”刘洁说道。
刚好这时候，四班课代表来取作业本，我便让刘洁给她讲讲这道题。
刘洁讲完后，课代表说：“刘洁讲得真好，我全听懂了，谢谢你。”
“不客气，互相学习。”刘洁说道。
“现在你们已经掌握了两类复合函数定义域的求法，还有一类，是前两类的综合，即以第二类的题设为条件，求第一类结论的问题，我再举个例题，看看你俩能否做出来？”我说完，便在草纸上写了个例题，让她俩做。
不一会儿，刘洁就做出来了。从解答过程看，她思路清晰，步骤到位，答案正确。
又过了一会儿，课代表也做对了。
“不错，不错，有潜质。希望你们回去总结一下，然后把笔记拿给我看看。只有通过不断的归纳总结，学习才能有效的进步。”我说道。
放学前，她俩把笔记本送过来，我仔细翻看她们的笔记，觉得刘洁总结得具体全面，便推荐给课代表观看。
“刘洁总结得真好，都赶上老师了。”课代表看后赞道。
“刘洁总结得确实不错。你看，有题目《复合函数定义域求法》，下面依次是归纳的三种类型的解决方法以及例题，具有较高的实用价值。希望你向她学习，做好笔记，尽快提升自己换位思考的能力。”我说道。
作者和刘洁
在第二天的四班数学课上，我讲评了作业，并把刘洁的笔记展示给大家。号召同学们向刘洁学习，开动脑筋，做好笔记，向开放、创新思维的方向发展，争取数学不断进步。
从此以后，四班以刘洁为核心，掀起了比学赶帮超热潮，有效促进了学习成绩地提高。
课活时，刘洁经常来问题，我解答完后，顺手又给她留几道有创意的习题，让她回去做。
时间长了，她的分析问题和解决问题的能力有了明显的进步，在班里独树一帜，遥遥领先于其他同学。
班级里有一个叫韩青的男同学，有点儿不服气，暗地里较劲，欲和刘洁一试高下。
我听说后，对韩青道：“要想提高学习成绩，光靠意气是行不通的，应该把具体行动，落到实处。这就要求你不仅课堂上要专心听讲，课后认真完成作业，而且还要勤学好问，努力探索，和同学开展研究，才能促进学习进步。老师相信你，看你的行动。”
“一节课就那么点儿知识，我背都能背下来，就不信成绩上不去。”韩青不以为然。
“知识是系统的，前后相连。听课不能仅满足于听懂，既要注意和学过的关连，更要注重开发和挖掘，培养自己创新和开放的思维能力。”我说道。
“老师能说得具体些吗？”韩青说道。
“例如换位思考，逆向思维，分类化归等。”我说道。
“这些，刘洁都做到了吗？”韩青问道。
“她全做到了，而且还有一定的创意，提出的问题也具有较高的质量，令我欣喜。”我实话实说。
“没有难倒老师吧？”韩青问道。
“有问必答，尽量达到她的满意，这也是教学相长，有利于提升教学质量。”我说道。
随着时代地发展，知识也在不断地进步，为了顺应潮流，我始终坚持学习，不断充实自己，以适应当前教育发展的需要。在多年的教学实践中，我始终鼓励学生提出问题，并耐心科学解答，受到学生的拥护和欢迎。
“水涨船高，希望老师以后多多提问我。”韩青说道。
“应该是互相促进，以后课堂上我会给你创造条件的，加油。”我鼓励道。
在一次上课时，讲到复合函数的单调性，涉及到基本函数的单调性求法，需复习相关知识，我便开始提问。下面不少学生举起了手，韩青手举得最高，人都快站起来了。
我忍住笑，便提问韩青。
“在函数定义域里，随便代入两个不同的数，比较一下大小，单调性不就一目了然了吗？”韩青得意的说道。
我让他坐下，然后问道：“同学们还有没有不同的意见？”
又有几个同学举手，其中有刘洁，我便让她回答。
“判断函数单调性的作法分三步，即作差——变形——判断，从而得出结论。韩青同学的方法在严格单调时还是可以尝试的，例如一次函数的单调性，若不是严格单调，就会出错的。”刘洁有条不紊道。
“韩青那是耍小聪明。”有人嘀咕道。
“不许抵毁人。”我严肃道，接着说：“韩青同学勇于回答问题，还是应该肯定的，值得大家学习。刘洁同学说得对，现在考察函数的单调性，只能按照她说的三步走，没有捷径。”
“老师，现在讲的是复合函数单调性，若用刘洁同学的三步论，那可就太麻烦了。”一个叫王欣的同学提出了疑问。
“王欣同学问得好。我们可以把这个复合函数分成两层，变为两个基本函数，然后分层考察单调性。考察完后，若是一增一减，复合起来就是单调递减函数，若是同增或是同减，那就是单调递增函数。”我说完，在黑板上写了个例题，让同学们分层研究，再得出结论。
待同学们得出正确结论后，我问道：“谁能归纳总结一下复合函数单调性判断的方法？”
“我说，我说。”韩青边举手边喊道。
“那就请韩青同学回答。”我说道。
“相同为增，相反为减。”韩青答道。
“谁还有补充？”我又问道，并看向刘洁。
刘洁随即举起了手，经我允许后，她说道：“同增异减。”
“好！”不少人喊道，有人还鼓起掌来。我看到，韩青同学也跟着鼓掌，心中顿感欣慰。
有一天，我去四班上课，看到后面坐了七八位听课的来宾。我略一打量，便知是邻县进修学校的，因以前在省研讨会上见过面，其中有一个人，还曾当过中学数学老师。
当堂的课题是反三角函数公式归纳，主要是以学生训练为主。看到有来宾听课，我临时改变主意，以讲授为主，决定在课本两组公式的基础上，再增加三组公式，启发学生归纳总结。
开始上课后，我按照授课基本要领：复习相关知识，引入新课，讲授新课，师生互动，巩固练习等，一切均比较顺利。在我讲完课本上的两组公式后，开始启发学生，运用创新思维，进一步归纳出相应的公式时，课堂上沉寂起来，无人举手。
我估计是同学们见有来宾听课，压力较大，担心出错，故不敢贸然回答。于是启发学生，开动脑筋，积极思考，同时要注意课本上的公式全是同名函数，那么异名的会是什么样子呢？让大家在这方面下功夫。
同学们还是没有回应，这时，我注意到在听课的来宾中，那个曾当过数学老师的，他的脸上掠过一丝不易察觉的嘲笑。
于是，我再次耐心启发学生，结合以前学过的同角三函数关系以及反三角函数的值域，综合考虑后，进行分类归纳。我说到这里，刘洁同学举起了手。
“好的，你说我来写。”我说道。
刘洁一口气说出三个公式，我在写时故意在最上面空出一行。待我写完后，刘洁又说：“再补充一个，把正弦和反正弦也写上。”
我听后，便把这个公式写到上面预留的空白处，示意刘洁坐下，然后说：“刘洁同学归纳得很好，希望同学们能从中得到启迪，悟出规律，接着归纳。”
我的话音刚落，十多个同学举起了手，其中竟有韩青同学。
我很受鼓舞，立即叫韩青回答。
“余弦和四个反三角函数也可以组成一组公式，同样，正切、余切和四个反三角函数还能组成公式。”韩青说道。
“韩青回答得好！虽然余切和反三角函数组成的公式用处不大，但韩青同学的化归能力确实有了明显地提高，希望大家向他学习，勤于探索，总结规律，不断进步。”我说完，示意韩青坐下，然后将他说的前两组公式写到黑板上。
接下来开始练习巩固，我在黑板上写出练习题，同学们争抢着到黑板做题，课堂活跃，效果明显。
临下课前，我扼要总结一下本课内容，刚布置完作业，铃声响了，我宣布下课。同学们起立后，原地不动，礼貌地让听课的来宾们先走。待来宾走出教室，经我示意，同学们才开始自由活动。
我出了教室，看到当过老师的那个人站在门口等我，见我出来，他说道：“这节课你是不是提前演练过了，要不同学们怎么能配合得那么理想啊？”
我还没来得及回答，后面传来了严厉的声音：“纯属侮蔑。这是新课，老师第一次在我班讲，而且三班还是下一节课上。昨晚上我预习时，见课本上只有两组公式，以为这节课比较轻松，没想到老师又增加了三组公式，让我们又得到了新的收获。你这是无中生有，说话是要负责任的。”
我转身看到，原来是韩青同学义正辞严地在为我辩护，他一脸的怒气，身后的几个同学，也都冷冷地瞪着那个人。
“我和你们老师开个玩笑，别当真啊。”那人讪笑道。
“我们是朋友，说着玩的，同学们可别多想啊。”我说完，拉着那个人走了，心里为韩青等同学敢于为正义挺身而出，感到无比的欣慰。
从此以后，韩青同学学习更加投入，经常和刘洁一起研究问题，中午放学也不回家吃饭，而是买个盒饭对付，抓紧时间钻研知识，学习不断进步。
后来韩青同学以优异成绩考上河南大学，毕业后聘到哈理工任教，工作卓有成效。
我在哈尔滨工作期间，韩青经常携带礼物来看望，浓浓的师生亲情，尽显其中，令我的同事很是羡慕。
刘洁在做手术
话说回来，刘洁不仅学习成绩优异，而且乐于奉献，主动帮助后进同学，团结同学共同进步，在同学中享有较高的威望，每年都被评为三好学生和优秀干部。
在家长会上，我认识了刘洁儿父母，知道刘洁的父亲是市医院放射科主任，母亲是乡镇干部。在交流中得知，刘洁的大姨是我初中同学，毕业后考入牡丹江师范学校，现在进修学校工作。刘洁大舅是我的七五届学生，现在部队担任团长，二舅为市宣传部领导。从而，让我相信刘洁在这样的家庭熏陶下，一定会不负韶华，砥砺奋进，学习不断登上新台阶，考上理想的大学。
一次课活，刘洁前来问题，刚好我在给电大的一学生解答问题，她便站在一旁边听边等待。
当时我给电大学生解答的是利用导数求函数的单调区间。待我解答完，送走电大学生。刘洁说道：“还有这种方法求单调区间，真是太方便了，老师教教我好吗？”
“这是大学课程，八十年代初，曾下放到高中教材，几年后又删掉了，估计过几年还能加上，你先记下常用函数的求导公式。”我边说边写下常用的求导公式，刘洁立刻记到笔记本上。
接着我讲了利用导数判断函数的单调性以及求单调区间的方法，演练了两道例题后，然后出了几道题，让她训练巩固。
刘洁很快就做完了，而且全都正确，令我鼓舞。
“老师，这个方法好，又快又准确，考试可以用吗？”刘洁说道。
“当然可以，你还可以把这个方法介绍给同学们，带动大家共同进步，”我说道。
“好，那我就先在数学兴趣小组上讲讲试试，若反响较好，再在班里推广。”刘洁不愧为学习委员，想得就是周到。
后来，在学习立体几何时，经常需要计算空间角，即异面直线所成的角；直线和平面所成的角以及二面角。我见刘洁兴趣浓厚，学得比较投入，便又教她建立适当的空间坐标系，运用空间向量解决。刘洁很快掌握了这种方法，使立体几何学习，有了新的突破。
两年的学习时间很快过去了，一九九七年高考，刘洁以优异的成绩，被名校同济大学医学专业录取，秉承父志，准备在医学领域里闯出一片天地。
刘洁大学毕业后，被聘到上海市第十人民医院妇产科工作，专业为妇科肿瘤。
二十多年来，刘洁注重理论与实践相结合，勇于创新，在治病救人、救死扶伤方面做出了令人瞩目的贡献，享有较高的声誉。
刘洁胸怀天下，心系世界劳苦大众，自愿报名援外医疗队，得到上级领导批准，于二〇一三年至二〇一五年参加了援非医疗队，工作两年。期间，她不辞辛劳，精心为非洲妇女手术治病，成绩显著，深受当地人民的欢迎，为国家争得了荣誉。
由于刘洁医术精湛，贡献突出，在二〇二四年被评为正教授，成为了上海妇科领域里一颗璀璨的新星。
今年五月二十八号，我应上海老同学王冠生和金友林邀请，去上海和他们相会。
行前，我给刘洁打电话说：“我准备二十八号乘高铁去上海，晚十八点四十八分到虹桥车站，二十九号晚上咱们见见可以吗？”
“好的，欢迎老师，学生想您啊！届时摆宴给您接风，并邀我父母作陪。”刘洁爽快道。
二十八号下午，我乘上高铁后，给刘洁发微信说：“我已上车，晚上六点四十八分到上海，准备住到同学冠生兄家里。明晚咱们相见，饭店能否选在我同学家的附近？这样于我方便。定个一般的饭店就行，咱们叙的是友情，不在意档攻。现在我就把同学的地址发过去，以便于你安排。”
“我听老师的，定好饭店，我就把地址发给您。”刘洁回道。
不一会儿，刘洁就把饭店名称和地址发了过来，并告诉我，离我住的地方不到一公里，届时让她爸妈先陪我，她和爱人下班较晚，争取尽快赶过去。说完，就把她妈妈的手机号发给我，以方便联系。
作者和刘洁父母
二十九号下午四点半钟，我在同学冠生兄陪同下，前去饭店赴宴。果然，没走多远，就来到饭店，刘洁父母早已在那里等候。
分别二十八年的老友相见，分外亲热，感慨不已。落座后才得知他们夫妇早已退休，现在上海颐享天年。
“你们培养了一个好女儿，现在女承父业，悬壶济世，造福一方。”我说道。
“这都是老师的功劳，没有老师，就没有孩子的今天。”刘洁父亲说道。
说话间，刘洁和爱人赶来了，非常热情，让我很是感动。我拿出《杏坛漫步五十年》和《津门随笔》两本拙作赠与她，刘洁说：“想不到数学老师又转行写作，数学家变成作家，老师了不起啊！”
“退休后闲着没事，写着玩的，多提意见啊！”我说道。
“你老师已经出了五部大作，不愧为著名作家。”同学冠生兄说道。
“老师太厉害了。”刘洁赞道。
作者和刘洁夫妇
那顿饭，我们边吃边聊，其乐融融。谈起往事，历历在目，仿佛又回到了二十八年前，重现当年校园的情景，共享美好的回忆。
酒宴结束后，刘洁又亲自驾车送我俩。路上，她关心道：“希望老师保重身体，适当活动，做点自己喜欢的事情，开心快乐每一天。”
我说：“看到你的成长，老师由衷的自豪，希望你百尺竿头，更进一步，老师等你的喜讯。”
“名师出高徒，强将手下无弱兵。祝你们师生心想事成，一顺百顺，万事顺意！”同学冠生兄说道。
正是：
天道酬勤古风传，
教学相长敢为先。
寒窗苦读精神抖，
荣登金榜美名传。
白衣天使鸿志远，
悬壶济世绘新篇。
牢记初心砥砺行，
妙手回春宏图展。
2025.6.26于天津
作者和刘洁交流