数学学习的本质，不在于死记硬背，而是在于尝试着重走数学创造的过程，尝试着理解数学概念，尝试着去推导数学公式，在不断地重走数学创造的过程中逐步积累数学灵感，久而久之你也能诞生神来之笔。
已知a<b<c,x代表实数，求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值。
站在不同的思维角度探索这道问题会产生不同的解法，本文通过三种不同的思维视角展开讨论。绝对值问题在初中学习的一个知识点，这类问题成为初中数学和小学数学的第一个分水岭，是数学各级升学考试中经久不息的考察点。
为什么这类问题会成为经久不息的考点呢？因为绝对值问题涉及了分类讨论的思想，更重要的意义在于代数和几何产生相互结合。
绝对值在几何上的意义表示一个数在数轴上所对应的点到原点的距离，因为表示距离，所以不会是负数。
一、基于绝对值几何意义的直观解法
|x-a|的几何意义是：在数轴上，表示数X和a的两点之间的距离。
同理，|x-b|的几何意义是：在数轴上，表示数X和b的两点之间的距离。
|x-c|的几何意义是：在数轴上，表示数X和c的两点之间的距离。
由此，|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值在几何上的意义就是在数轴上一个点x,使之到a,b,c三个点的距离之和最小。所以，当x处于b点距离之和最小，即最小值为c-a。
为什么当x处于b点距离之和最小呢？
结合其几何意义，我们假设任意一点x不在点b处，|x-a|,|x-b|,|x-c|三个线段一定存在重叠的部分，其总距离一定会大于c-a。
这种解法的关键在于将代数表达式转化为几何直观，通过数轴上点的位置关系直接找到最优解，体现了数学概念的本质理解对解题的关键作用。
二、借助数形结合的函数图像法
将问题转化为函数 f(x)=∣x−a∣+∣x−b∣+∣x−c∣ 的最小值求解。当数形结合的思想深植于心，我们不妨画出该函数的图像。其实，第一种方法也利用了数形结合的思想，只不过第一种解法需要结合绝对值的几何意义，否则也不会产生第一种如此简单的方法。
结合图像，显然，当x=b时，函数f(x)取得最小值，即c-a。
这种方法通过图像直观呈现函数变化规律，将抽象的代数最值问题转化为几何图形的最低点判断，体现了数形结合思想的强大威力。
三、分类讨论视角下代数解法
站在分类讨论的视角下解法，最容易想到，但是，计算却是最复杂的。
去绝对值符号，这一步和方法二是一样的，由此，就把函数f(x)转化为在各个区间内的一次函数求最值问题。
区间一：当x小于等于a时，由于x的系数是-3，即函数单调递减。所以，当x=a时，f(x)取值最小，最小值为-2a+b+c。（1）
区间二：当x大于a且小于等于b时，由于x的系数是-1,即函数单调递减。所以，当x=b时，f(x)取最小值，最小值为c-a。
区间三：当x大于b且小于等于c时，由于x的系数是1，即函数单调递增。所以，f(x)>f(b)=c-a。
区间四：当x>c时，由于x的系数是3，即函数单调递增。所以，f(x)>f(c)=2c-a-b。（2）
因为，a<b。所以，(1)式=-2a+b+c=c-a+b-a>c-a。
因为，b<c。所以，(2)式=2c-a-b=c-a+c-b>c-a。
综上所述，f(x)的最小值为c-a。由此，问题得以解决。
三种解法背后的思维过程
回望上面三种解法，显然第一种解法最简单。但是第一种解法却是最不容易想到的，虽然第一种解法只要能想到利用绝对值的几何意义就能顺利解决。那么，为什么这种解法最不容易想到呢？因为大部分人学习数学并不是去尝试着理解数学，而是去背诵数学，死记硬背数学概念，并不能使你诞生这样的神来之笔。如果你在平时的训练过程中尝试着去理解绝对值的几何意义，那么，在遇到此类问题时，你就有很大的可能诞生这样的灵感。
第二种解法更加具有通用性。通过函数图像将代数关系可视化，不仅能快速定位最值，更能揭示函数的整体变化规律。这种方法在函数问题中具有普适性，是连接代数与几何的桥梁。数形结合把函数抽象的变化关系用直观的方式呈现出来，更容易给问题的求解带来灵感。
第三种方法最容易想到，不需要太多的思考，只要按部就班的找到每个区间的最小值，然后在所有的最小值中寻找最小值即可，但是这种解法计算量却是最多的，而且也很容易出错，第二种和第三种解法本质的差别就在于是否结合数形结合思想这个直观的思维利器。
所以，数学学习的本质，不在于死记硬背，而是在于尝试着重走数学创造的过程，尝试着理解数学概念，尝试着去推导数学公式，在不断地重走数学创造的过程中逐步积累数学灵感，久而久之你也能诞生神来之笔。