Day251/Total365
(一) 基本性质
设三次函数为：f(x)=ax^(3)+bx^(2)+cx+d(a、b、c、d∈R且a≠0)，其基本性质有：
性质1：①定义域为R．②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：
性质2：三次方程f(x)=0的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数f(x)=ax^(3)+bx^(2)+cx+d(a≠0)
其导函数为二次函数:f′(x)=3ax^(2)+2bx+c(a≠0)，
判别式为：△=4b^(2)-12ac=4(b^(2)-3ac)，设f′(x)=0的两根为x1、x2，结合函数草图易得：
(1)若b^(2)-3ac≤0，则f(x)=0恰有一个实根；
(2)若b^(2)-3ac>0,且f(x1)⋅f(x2)>0，则f(x)=0恰有一个实根；
(3)若b^(2)-3ac>0,且f(x1)⋅f(x2)=0，则f(x)=0有两个不相等的实根；
(4)若b^(2)-3ac>0,且f(x1)⋅f(x2)<0，则f(x)=0有三个不相等的实根.
说明:(1)(2)f(x)=0含有一个实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴只相交一次，即f(x)在R上为单调函数(或两极值同号)，所以b^(2)-3ac≤0(或b^(2)-3ac>0，且f(x1)⋅f(x2)>0);
(5)f(x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所以b^(2)-3ac>0，且f(x1)⋅f(x2)=0;
(6)f(x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴有三个公共点，即f(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以b^(2)-3ac>0且f(x1)⋅f(x2)<0.
性质3：对称性
(1)三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；(-(b)/(3a)，f(-(b)/(3a)))；
(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
(二) 常用技巧
(1)其导函数为f′(x)=3ax^(2)+2bx+c=0对称轴为x=-(b)/(3a)，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y=f(x)图象的对称中心在导函数y=f′(x)的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
(2)y=f(x)是可导函数，若y=f(x)的图象关于点(m,n)对称，则y=f′(x)图象关于直线x=m对称.
(3)若y=f(x)图象关于直线x=m对称，则y=f′(x)图象关于点(m,0)对称.
(4)已知三次函数f(x)=ax^(3)+bx^(2)+cx+d的对称中心横坐标为x0，若f(x)存在两个极值点x1，x2，则有(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)=-(a)/(2)(x1-x2)^(2)=(2)/(3)f′(x0).
附：高一、高二上学期期末备考专题
<本文完>
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