微精选

试题内容

解法分析（1）

等边三角形的判定与性质

∠BCE=60°.(过程略)

解法分析（2）

方法1：圆周角定理

连接OA，OC.设∠AEC=∠ACF=α.
由圆周角定理得：∠AOC=2∠AEC=2α.
∵OA=OC，
∴∠OCA=(180°-∠AOC)=90°-α.
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=90°-α+α=90°，
即OC⊥CF，
又∵OC是圆O的半径，
∴直线CF是圆O的切线.

方法2：圆周角定理的推论

作圆O的直径CG，连接AG.
由圆周角定理的推论得：
∠CAG=90°，∠AGC=∠AEC，
∴∠AGC+∠ACG=90°.
∵∠AEC=∠ACF，
∴∠AGC=∠ACF，
∴∠ACF+∠ACG=90°，
即OC⊥CF，
又∵OC是圆O的半径，
∴直线CF是圆O的切线.

解法分析（3）

因为等式含有线段的乘积，所以寻找相似三角形是解题关键. 题目中三角形较多，等式中，的值尚未确定，直接证明难度较大， 我们不妨从条件入手，尝试将问题逐步转化，以寻找解题思路.

等圆周角→等弦

∵AC平分∠BAE，

寻找含有AC和BC的相似三角形

在△BCM和△ACB中，
∠BCM=∠ACB，∠3=∠2，
∴△BCM∼△ACB，
∴=，即BC=AC·CM.
问题转化为：
AC=AC·CM+AB·AE.

寻找含有AC，AB和AE的相似三角形

在△AEM和△ACB中，
∠1=∠2，∠4=∠5，
∴△AEM∼△ACB，
∴=，即AB·AE=AC·AM.
问题转化为：
AC=AC·CM+AC·AM，
即：AC=CM+AM，
显然：=1，=1.

结论与证明

结论：AC=BC·CE+AB·AE.
证明：∵AC=CM+AM，
∴AC=AC·CM+AC·AM.
…（后续证明过程略）

类比

与上述方法同理，选择下面两组相似三角形亦可解决问题.