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20世纪世界数学中心的变迁

20世纪世界数学中心的变迁

(华东师范大学数学系)

目前数学的符号体系有多混乱?

“Differential Geometry is the study of invariants under change of notations.”微分几何的记号确实多得令人挠头。比如:黎曼曲率张量的定义可以差一个负号,但不论怎么取,总要保证球面的截面曲率和Ricci曲率是正的(要不然没法讨论了,鸡同鸭讲)于是又有了1,3缩并和2,4缩并(啊差点忘了还有1,4缩并....)局部坐标下的协变导数分量记号(nabla_k T_ij 和 T_ij;k 是两种常见的,还有更奇葩的....)协变导数 更多

一部近代世界史表明:凡是世界经济、军事大国,一定也是数学强国。17世纪的英国产业革命,使得牛顿的微积分诞生在英伦三岛。18世纪法国大革命催生拿破仑帝国,法国数学学派于是称雄欧洲。19世纪中叶,德国资产阶级崛起,数学王子高斯带来德国数学的辉煌。到了20世纪初,国际数学界形成法国与德国数学争雄的格局。那时的美国尚未称霸世界,数学也处于二流水平。至于20世纪中叶以后,则是美国数学与苏联数学对决的年代了。清代学者赵翼有诗云:“江山代有才人出,各领风骚数百年”。在数学界,能领先数百年是不可能的,能当几十年的霸主就很不容易了。回顾20世纪数学中心的变迁,会给我们带来许多有益的启示。

1900年,第二次国际数学家大会在巴黎召开。法国的庞加莱任大会主席,德国的希尔伯特作大会报告,这反映了法、德两国当时在国际数学界的领导地位平分秋色。庞加莱是一位牛顿式数学家,关注天文学、物理学等自然科学中的数学问题,开创了定性理论、拓扑学等许多影响深远的新学科。主张马赫主义的庞加莱被称为“科学上的巨人,哲学上的侏儒”。他的科学功绩也许会越来越被人们深切地感受到。希尔伯特也是一位全才的数学大师,曾有证据显示他和爱因斯坦独立地提出了相对论。不过,希尔伯特更以纯粹数学的创见、提倡形式主义的数学哲学而著称,可以说更具欧几里得那样的古希腊数学的特色。

事实上,希尔伯特赢得了更高的声誉。他在大会上提出了20世纪将要解决的23个问题,引无数英雄竞折腰——能够解决其中一个问题都是极高的荣誉(著名的哥德巴赫猜想是第8个问题的一部分)。希尔伯特引导的现代公理化数学思潮,成为人类数学文明的又一个高峰。

庞加莱于1912年去世后,法国数学渐渐走下坡路。不久前披露的档案表明,鉴于庞加莱的数学工作大气磅礴,在证明的严密性上有时不甚讲究,法国同行(包括他的导师毕卡)颇有非议。结果是权威的领导决定不让庞加莱教数学课,只能教天文学和物理学。上世纪20年代的法国数学,逐渐远离庞加莱的:数学路线,研究领域缩小在纯粹数学的一个狭小领域,简直成了“函数论王国”。于是一批年轻的数学家从20世纪20年代开始,向格丁根学派学习,继承发扬希尔伯特的数学传统,努力走出函数论王国的圈子——这就是著名的布尔巴基学派。20世纪法国数学的这一亮点,却是德国希尔伯特的形式主义时尚。布尔巴基学派的结构主义的数学,曾经在20世纪50年代领导世界数学潮流,风靡一时。至于庞加菜的研究大自然中数学问题的传统曾一度有所搁置,真正加以恢复则是20世纪70年代以后的事了。

20世纪的前30年,世界数学中心在德国的格丁根大学——那曾是高斯、黎曼等大家工作的地方,以后则是希尔伯特为首的格丁根数学学派大本营。爱因斯坦发表相对论,这里的闵可夫斯基就发展四维的时空几何。量子力学刚刚形成,外耳的《量子力学数学基础》立即问世。当过希尔伯特助教的冯 · 诺依曼,则建立起希尔伯特空间上的算子谱论,成为量子力学的数学框架。迄今为止最伟大的女数学家E · 诺特在这里发表影响深远的“一般理想论”,开抽象代数的先河。那时的欧洲,还从未有过女性的教授。希尔伯特为此忿忿不平:“大学评议会不是浴室,为什么不准妇女进入?”

1933年的那个黑色的春天,立即把格丁根的辉煌葬送了。希特勒法西斯上台迫害犹太人,驱逐犹太籍的科学家。爱因斯坦是犹太人,冯 · 诺依曼、诺特都是犹太人,外耳的太太是犹太人,格丁根数学研究所的所长柯朗也是犹太人。他们先后被迫到达美国的普林斯顿,美国也因此成为新的世界数学中心。

美国的经济实力在20世纪已经达到世界前列,爱迪生那样的发明家已经领导着先进技术的世界潮流。但是基础科学的水平还远落在欧洲后面。1930年,一位零售业富商想捐款建造——所医学院造福社会。当时的科学名流富莱斯纳告诉他,这些钱造一所医学院是不够的,而且纽约附近的医学院已经足够多。如果设立一个以数学为主的研究院,投资较少,而且美国正需要这样的基础性研究。

20世纪初德国格丁根大学曾是世界数学中心;图为具有古典风格的格丁根大学音乐厅

这样,普林斯顿高等研究院便开始筹备。富莱斯纳到欧洲,请来爱因斯坦、外耳、冯 · 诺依曼三位顶尖的数理科学家,加上美国本土的三位数学家,强大的阵容一下子就把普林斯顿的学术声誉推到云端。诺特在普林斯顿附近的一所女子学院任教,柯朗则在纽约大学工作。大批的数学难民从欧洲来到美国,造就了美国的数学辉煌。

冯 · 诺依曼来到普林斯顿高等研究院时只有26岁。他不仅在纯粹数学和应用数学上独树一帜,更伟大的创造是用数理逻辑方法设计数字电子计算机的方案。这一使用至今的科学精品,不仅是数学的骄傲,更是人类文明的里程碑。美国本土出生的数学家也有杰出的成就,尤其是应用数学方面。例如,首创控制论的N · 维纳,提出信息论的C · 仙农,都是划时代的数学英雄。

差不多也在20世纪30年代,另一个世界数学中心出现在莫斯科。大数学家欧拉曾在俄国工作多年,数学的积淀很深。1917年十月革命胜利之后,国家经济一度十分困难。人们都在期待“面包会有的,牛奶也会有的”。可是,苏联的科学政策保证了科学研究的优先发展,数学家们可以经常出国访问,特别是到德国的格丁根大学。例如苏联的天才数学家乌雷松访问德国和法国之后,就因在海边游泳时溺水去世,时年仅26岁。苏联的莫斯科大学有鲁金为首的数学学派,起先以函数论为主,以后全面出击,泛函分析、变分学、概率论、集合论、偏微分方程等等学科,都有一流成果展现。

鲁金是沙俄时代留下来的数学家,在历次政治运动中倒也平安。据说斯大林曾经出面“保”过鲁金。鲁金招收了许多具有数学天才的年轻学者。其中,尤以P · 亚历山大罗夫和A · H科莫哥洛夫两人最为杰出,前者是世界拓扑学前驱,后者是20世纪少有的全能数学家。第二次世界大战期间,科莫哥洛夫建立了火炮自动跟踪技术,和维纳同时创立控制论。到了50年代,苏联数学可以和美国数学全面抗衡。

冷战时代苏美在军事上争霸,在数学上也处于彼此争雄的年代。不过,两国的数学家之间还是相当友好(难免有些小的摩擦),大家都统一在国际数学家联盟的数学大家庭中间。

自从电子计算机问世以来,数学更趋向于应用。一张纸、一支笔、一个脑袋的研究方法,已被计算机的介入而打破。美国和苏联在军备竞赛中投入了大量的人力物力,更有航天登月工程、CT医学扫描技术、DNA生物科学等等,都需要大量的数学投资,这就刺激和带动了数学科学的进步。美国和苏联的数学技术也长期在世界上处于领先。美国强大的经济力量,也支持了纯粹数学的研究计划。

1991年苏联解体和东欧政治变化之后,莫斯科数学中心的地位大为下降,一些优秀的苏联、东欧数学家相继到西方工作。最突出的例子是苏联数学大师I · M盖尔范德,以80岁高龄接受了美国罗格斯大学之聘,目前仍在美国数学界发挥作用。

苏美数学争雄结束之后,美国数学一枝独秀。但是数学中心也呈现多元化趋势。俄罗斯数学的威势存在,莫斯科和彼得堡都有十分优秀的数学家在工作。以阿蒂亚为首的英国的牛顿数学研究所,法国的庞加莱数学研究所,德国的马克斯-普朗克数学研究所,日本京都大学的数学研究所,都是一定范围的数学研究中心。即使在美国,除了普林斯顿高等研究院之外,还有加州伯克利的美国数学科学研究所、明尼苏达的美国应用数学研究所,纽约大学的柯朗数学研究所也负盛名。

目前国际数学大势是:美国继续领先,西欧紧随其后,俄国蓄势待发,日本正在迎头赶上。至于中国数学,目前还是未知数。一旦潜在的力量释放出来,北京也许是又一个国际数学中心。21世纪的数学大国,这已经不是一个梦想。随着国家实力的进一步增强,数学也正在一步步地走向世界。2002年国际数学家大会在北京召开,就是一个新的起点。

目前数学的符号体系有多混乱?

“Differential Geometry is the study of invariants under change of notations.”微分几何的记号确实多得令人挠头。比如:黎曼曲率张量的定义可以差一个负号,但不论怎么取,总要保证球面的截面曲率和Ricci曲率是正的(要不然没法讨论了,鸡同鸭讲)于是又有了1,3缩并和2,4缩并(啊差点忘了还有1,4缩并....)局部坐标下的协变导数分量记号(nabla_k T_ij 和 T_ij;k 是两种常见的,还有更奇葩的....)协变导数 更多

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