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压轴题“一题精讲”(六):等腰三角形的存在...

压轴题“一题精讲”(六):等腰三角形的存在...

等腰三角形的存在性问题是压轴题中常见的一种类型。问题解决的方法主要有以下两类:
1、寻找与目标等腰三角形(B)相似的已知等腰三角形(A)其中这个等腰三角形(A)的三边中有某些别是已知的或某些角的三角比是确定的对等腰三角形(A)进行分类讨论,以此简化运算。
2016年上海中考25题(2)问

2021年上海宝山期中24题(2)问

2直接对目标等腰三角形进行分类讨论,借助相似三角形、锐角三角比或勾股定理得途径助力问题解决。而此类问题的难度也相应增大。涉及的典型问题如下表:
一线三等角模型中的等腰三角形存在性问题

2021崇明一模25(3)

2021虹口一模25(3)

2021长宁二模25(3)

2021浦东二模25(2)

2022闵行一模25(3)2020宝山期中25(3)2021.11各区县期中考试:等腰三角形存在性

(1)本题的第一问是整道题的关键,帮助梳理出题目中所蕴含的两个基本图形,以及线段间的比例关系。由于图中有一个菱形和一个平行四边形,因此蕴含着丰富的线段平行的信息。如图(a),由BE//CF,可以得到一组BE-CF-A型基本图形,并且BE是△ACF的中位线;如图(b),由BE//CF,可以得到一组BE-CF-X型基本图形,并且CH=2BH,这些数量关系贯穿整道题,是问题解决的关键。

最后借助EF⊥BC的特殊位置关系,利用射影定理求出AE的长。

(2)本题的第二问的背景增加了圆的背景,其中第①问是建立函数关系,可以借助发现(构造)直角三角形,建立函数关系式

第二种解法是联结OB后,得到了和(1)相似的A/X型基本图形,从而有效地建立了函数关系式。

(3)本题的第二问的背景增加了圆的背景,其中第②问是等腰三角形的存在性问题。由于是以DG为腰,因此需要分类讨论:
DG=EG时,联结OG后,通过证明OG是梯形的中位线,从而得到OG=OE,得到了y与x的另一层函数关系。

DG=DE时,则可以充分利用圆的性质助力问题解决。
解法1利用四点共圆。通过证明△DEG∽△CHF,得到△CHF为等腰三角形,从而得到CF=CH,解出AE的值。

解法2通过构造“筝形”形成解题思路。然后采用代数法,将DE、DG分别用不同的代数式表示,联立求解。此问题重点在于求DG的代数式,不妨将DG表示为DG=DC-CG。


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