如何评价 2022 全国乙卷理科数学题？-微精选

我试着给出导数题的不使用极限等超纲工具的解法。可能不是很完美甚至有错误，望海涵。

题目：函数 $f(x)=ln(x+1)+axmathrm{e}^{-x}$ 在 $(-1,0)$ , $(0,+infty)$ 各恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围。

解： $f(x)=ln (x+1) + axmathrm{e}^{-x}$ 在 $(-1,0),(0,+infty)$ 各有一个零点，当且仅当 $g(x)=mathrm{e}^{x}f(x)=mathrm{e}^{x}ln (1+x)+ax$

在 $(-1,0),(0,+infty)$ 各有一个零点。求导数，得

$g'(x)=mathrm{e}^{x}left(ln (1+x)+frac{1}{1+x}right)+a$ $g''(x)=mathrm{e}^{x}left(ln (1+x)+frac{2x+1}{(1+x)^2}right)$

当 $x > 0$ 时， $g''(x) > 0$ 。若 $ageq -1$ ，那么 $g'(0)=1+ageq 0$ ，于是 $g'(x)geq 0 (xgeq 0)$ ，则 $g(x) > g(0)=0$ 在 $(0,+infty)$ 没有零点。下证 $a < -1$ 时满足题目条件。

先证明： $a < -1$ 时， $g(x)$ 在 $(0,+infty)$ 有且只有一个零点。

注意到 $mathrm{e}^{x} > 1+x+frac{1}{2}x^2$ （ $x > 0$ ），所以 $g'(x) > frac{mathrm{e}^{x}}{1+x}+a > frac{x^2}{2(1+x)}+a$ ，那么取 $frac{x^2}{2(1+x)}+a=0$ 的正根 $t$ ，就有 $g'(t) > 0$ ，而 $g'(0)=1+a < 0$ ，由 $g''(x)geq 0$ 知存在唯一的 $x_0in(0,+infty)$ ， $g(x_0)$ 是极小值，于是 $g(x_0) < g(0)=0$ 。

由不等式 $mathrm{e}^{x} > frac{1}{2}x^2$ 得 $g(-2a)=mathrm{e}^{-2a}ln (-2a+1)-2a^2 > mathrm{e}^{-2a}-2a^2 > 0$

因此存在 $x_1in(x_0,-2a)$ ，使 $g(x_1)=0$ 。结合单调性知 $x_1$ 是 $g(x)$ 在 $(0,+infty)$ 上的唯一零点。

再证明： $a < -1$ 时， $g(x)$ 在 $(-1,0)$ 有且只有一个零点。

令 $h(x)=mathrm{e}^{-x}g''(x)=ln (1+x)+frac{2x+1}{(1+x)^2}$

求导得到 $h'(x)=frac{x^2+1}{(1+x)^3} > 0, xin(-1,0)$

所以 $h(x)$ 在 $(-1,0)$ 严格单调递增。又由于 $h(0)=1$ ， $h(-frac{1}{2})=ln frac{1}{2} < 0$ ，所以存在 $x_2in(-1/2,0)$ ， $g''(x_2)=0$ 。于是 $xin(-1,x_2)$ ， $g'(x)$ 严格单调下降； $xin(x_2,0)$ ， $g'(x)$ 严格单调上升。

由于 $g'(0)=1+a < 0$ ，所以 $g'(x) < 0$ ，当 $x_2leq x < 0$ 。

注意到 $xin (-1,0)$ 时成立不等式 $ln (1+x) > -frac{1}{sqrt{1+x}}$

于是 $begin{aligned} g'(x)&=mathrm{e}^{x}left(ln (1+x)+frac{1}{1+x}right)+a\ & > mathrm{e}^{x}left(-frac{1}{sqrt{1+x}}+frac{1}{1+x}right)+a\ & > frac{1}{mathrm{e}}cdotfrac{1-sqrt{1+x}}{1+x}+a end{aligned}$

当 $x < -1/2$ 时上式进一步

$begin{aligned} g'(x)& > frac{1}{mathrm{e}}cdotfrac{1-sqrt{1+x}}{1+x}+a\ & > frac{1}{mathrm{e}}cdotfrac{1-sqrt{1/2}}{1+x}+a\ & > frac{1}{4mathrm{e}(1+x)}+a end{aligned}$

所以 $g'(-1-frac 1{4mathrm{e}a}) > 0$ 。进而存在 $x_3in left(-1-frac{1}{4mathrm{e}a},x_2right)$ ， $g'(x_3)=0$ 。

因此，当 $xin(-1,x_3)$ ， $g'(x) > 0$ ，当 $xin(x_3,0)$ ， $g'(x) < 0$ 。所以 $g(x_3) > g(0)=0$ 。

注意到当 $-1 < x < 0$ ，有 $begin{aligned} g(x)&=mathrm{e}^{x}ln (1+x)+ax\ & < frac{1}{mathrm{e}}cdot ln (1+x) -a end{aligned}$

所以 $g(mathrm{e}^{mathrm{e}a}-1) < frac{1}{mathrm e} ln (1+mathrm{e}^{mathrm{e}a}-1)-a=0$ 。

根据 $g(mathrm{e}^{mathrm{e}a}-1) < 0$ 和 $g(x_3) > 0$ ，又由于 $x < x_3$ 时 $g(x)$ 严格单调上升， $0 > x > x_3$ 时 $g(x) > 0$ ，就可以判断出存在 $x_4in left(mathrm{e}^{mathrm{e}a}-1, x_3right)subseteq (-1,0)$ 是 $g(x)$ 在 $(-1,0)$ 上的唯一零点。

于是我们就证明了，当且仅当 $a < -1$ 时， $g(x)$ （从而， $f(x)$ ）在 $(-1,0)$ 和 $(0,+infty)$ 各恰有一个零点。

闲来无事做做圆锥曲线

第一问规规矩矩，得 $frac{x^2}{3}+frac{y^2}{4}=1$ ，竟然是竖着的，比较意外

第二问不是见过的题型，显然这条线不能是横的，故设 $x=ky+b$ ，有 $b=2k+1$ ，一个自由度—— $k$

交椭圆于两点，设 $M:(x_1,y_1)$ ,容易计算AB方程： $2x-3y-6=0$ ，于是得到

$T:(frac{3}{2}y_1+3,y_1),H:(3y_1+6-x_1,y_1)$

再设 $N:(x_2,y_2)$ ，写出HN方程：

$frac{y-y_2}{x-x_2}=frac{y_1-y_2}{3y_1+6-(x_1+x_2)}$

该方程自由度只有一个——k，下一步就是证明过定点，这里是难点

极限情况——相切时的切点（0，-2）既是M又是N，既是T又是H，猜这个点就是定点，直接带入验证：

$frac{-2-y_2}{-x_2}=frac{y_1-y_2}{3y_1+6-(x_1+x_2)}$

去掉负号，用下合比定理：

$frac{y_2+2}{x_2}=frac{y_1+2}{3y_1+6-x_1}$

x换成y，稍作整理:

$frac{y_2+2}{ky_2+b}=frac{y_1+2}{(3-k)y_1+6-b}$

乘开：

$(3-k)y_1y_2+(6-b)y_2+2(3-k)y_1+2(6-b)=ky_2y_1+2b+2ky_2+by_1$

整理：

$(3-2k)y_1y_2+(6-b-2k)y_2+(6-2k-b)y_1+12-4b=0$

合并一下：

$(3-2k)y_1y_2+(6-b-2k)(y_2+y_1)+12-4b=0$

现在可以联立方程求两根和和两根积了，大家都熟，这两个结果是：

$y_1+y_2=-frac{8kb}{4k^2+3},y_1y_2=frac{4b^2-12}{4k^2+3}$

带进去，乘一下分母：

$(3-2k)(4b^2-12)-(6-b-2k)8kb+(4k^2+3)(12-4b)=0$

约掉4：

$(3-2k)(b^2-3)-2(6-b-2k)kb+(4k^2+3)(3-b)=0$

展开：

$3b^2-9-2kb^2+6k-12kb+2kb^2+4k^2b+12k^2+9-4k^2b-3b=0$

消掉 $pm 9,pm4k^2b,pm2kb^2$ 整理：

$3b^2+6k-12kb+12k^2-3b=0$

再约个3：

$b^2+2k-4kb+4k^2-b=0$

整理：

$(b-2k)^2+2k-b=0$

你还记得 $b=2k+1$ 吗？

所以最后上式成为 $1-1=0$ ，显然成立，于是确实过定点 $(0,-2)$

我的评价：还是挺有难度的，我花了快半小时才写完，考试的时候真不一定能写出来。我也暂时没想到正统做法，这个猜的办法比较邪道，虽说不是不严格（确实是个证明），但比较冒险，猜不出来就寄了，考场上会徒增心理压力哈哈

乙卷难度稳中向好（

认真说下吧。这张卷子计算量挺大的，比如臭名昭著的19统计题，另外21题关于导数的讨论也很繁琐，思想不难，写过程却很头疼。但总体来说，绝对难度确实一般，葛军、陶平生的时代一去再难返了。

大二学生，还急着预习期末，其他题不多讲，只想整个小活，做下20圆锥曲线题：

（1）易知为 $frac{x^2}{3}+frac{y^2}{4}=1$

（2）

如图，由（1）知过点P关于E的极线为 $frac{x}{3}-frac{y}{2}=1$ 过点B。设直线PMN交AB于点C，则P C M N为调和点列，故 $MN·PC=2PM·CN$ ，注意到 $MT//AP$ ，T是HM中点，故 $frac{CN}{NM}=frac12·frac{CP}{PM}=frac12·frac{CA}{AT}=frac{TH}{HM}·frac{CA}{AT}$ ，即有 $frac{TH}{HM}·frac{MN}{NC}·frac{CA}{AT}=1$ ，由梅涅劳斯定理，A H N三点共线，证毕。

高中生别学，至少考完没拿到分不要打我（狗头）。

导数有一定难度

要是先考数学，语文那个恍惚感还能多得几分。

入场前：高考必胜 985211 我来啦

出场后：高考倒计时365天

别对别人的答案，影响心情。考一科就丢掉就好了，再去想也不能改变什么，现在又不需要估分填志愿，考完就玩儿，就去了解志愿填报和专业选择。以前估分报志愿，估分不准有不少拿着985的分数读个普通本科。

想搜卷子看看，没想到是这种形式搜到的。也知道是不是原题。

谢邀，还没有来得及看完全卷的所有题目，但乙卷压轴题比较难，比2022年新高考的I卷难。这份试题题量过大，如果要免于套路，考察思维，那应该适当减少试题数目，给同学思考的时间。

评价：本题难度较高，我也用了十来分钟才完成。用到的最重要数学思维是翻译 – 数形结合（利用几何），特殊化，以及解决问题先解决其一部分（“大事从小处入手”，“取值范围”需要满足充要条件，我们先由图像，从充分性下手）还没有来得及看完全卷的所有题目，但乙卷压轴题比较难，比2022年新高考的I卷难。这份试题题量过大，如果要免于套路，考察思维，那应该适当减少试题数目，给同学思考的时间。

评价：本题难度较高，我也用了十来分钟才完成。用到的最重要数学思维是翻译 – 数形结合（利用几何），特殊化，以及解决问题先解决其一部分（“大事从小处入手”，“取值范围”需要满足充要条件，我们先由图像，从充分性下手）

跟整一下老师说的d12，对我没影响

借鉴的，b2等于22，5/13dayub6 填空答案，十分之三，我写的那个半径根号十三，w等于三，我自己十二选的c，其他都对的，填空写的1～e，我算扣十分，立体几何，我第一问乱证的，但我感觉应该差不多，然后那个第二问发现量没问题答案我算的跟好四十二/7，应该扣五分，概率扣六，圆锥扣五连立写出来了，讨论了k不存在，导数五，我写的-eln2到正无穷，七七八八加起来，大题二十分吧，应该120，我们经过讨论今年一百二大概相当于去年一百三十五，??难十分左右

选择标答aaccbbadcdcb错一个，填空错一个，大题只有导数和三角写出来了，运气好一百二吧，圆锥连立应该七分，复读生一般数学120江南十校124去年高考93

我让你韦神附体不是让你附卷子上

2022年高考全国乙卷理数21题导数题，个人解析

题源来自网络

第一问跳过

（2）

第一部分

易知 $xrightarrow -1$ 时， $f(x)rightarrow -∞$