可以为 2022 高考生预测一道数学题吗？-微精选

还有不到半个月就高考了，这次给大家预测7道高中数学题！

精彩回顾：

可以为 2021 年高考生预测一道数学题吗？ – 搓米问答 (zhihu.com)

可以为 2020 年高考生预测一道数学题吗？ – 搓米问答 (zhihu.com)

11.(5分)【多选】 对于定义在 $(0,+infty)$ 上的函数 $f(x)$ , 如果存在由正整数构成的数列 ${a_n}$ , 使得函数 $f(x)$ 在区间 $(0,a_n]$ 中有 $n$ 个零点, 那么称 $f(x)$ 是“零点可控函数”. 下面几个定义在 $(0,+infty)$ 上的函数是“零点可控函数”的为:

12.(5分)【多选】 在数学研究中, 我们关心一个含有变化参数的数学对象的“不变量”. “不变量”就是不随着参数变化而变化的量, 例如函数 $y=x^2+a$ 的对称轴和极小值点都是该函数的“不变量”. 设 $f'(x)$ 是函数 $f(x)=dfrac{1}{3}x^3-ax^2+(a^2-1)x-dfrac{1}{3}a^3+a^2+1$ 的导函数. 下列选项中, 函数 $f(x)$ 的“不变量”有

15.(5分) 某公司在 $x$ 年的销售额 $y$ (万元)如下表, 根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为 $hat{y}=2x+35$ .

则当关于 $a,b$ 的表达式 $sumlimits_{k=1}^6(y_k-bk-a)^2$ 取最小值时, $a+b=$ _________________.

16.(5分) 投掷一枚均匀的硬币 $n(nge 2)$ 次, 把硬币正面朝上的次数与反面朝上的次数的乘积记为随机变量 $X$ . 则 $P(X=0)=$ ________________ , 随机变量 $X$ 的数学期望 $EX=$ _______________. (用含有 $n$ 的最简表达式表示. 题第一个空2分, 第二个空3分.)

21.(12分) 为了更好地实现中小学减负, 某地教育局的领导要视察当地学校并检验教学成果. 领导需要在每一所学校中随机抽取几个班级进行教学质量评估, 在视察之前领导完全不确定每所中学的各个班的具体情况, 现在要确定一个合理的抽取方式使得评估结果最客观. 设随机变量 $X$ 的所有可能的取值为 $x_1,x_2,cdots,x_n$ , 且 $X$ 的分布列为

其中 $p_i>0(i=1,2,cdots,n)$ . 定义 $X$ 的熵为 $H(X)=-sumlimits_{i=1}^np_iln p_i$ . 熵可以衡量一个事情的不确定性, 熵越大代表不确定性越高.

(1)求函数 $f(x)=ln x-x$ 的单调性.

(2)假设正实数 $q_1,q_2,cdots,q_n$ 满足 $sumlimits_{i=1}^nq_i=1$ , 其中 $ninmathbb{N}^*$ . 证明: $H(X)le -sumlimits_{i=1}^np_iln q_i$ , 并写出等号成立的条件.

(3)证明最大熵原理: $H(X)le ln n$ , 并结合你所学的概率统计知识, 根据最大熵原理的等号成立条件, 帮助教育局的领导确定一个最客观的抽取方式.

22.(5分) 冰壶是2022年北京冬奥会的一个项目, 红黄两队轮流掷壶. 如图1, 最外层的大圈构成的区域叫做圆垒, 而场上的壶状石球叫做冰壶. 比赛的目标是往圆垒的中心掷尽可能多的壶. 每个冰壶的规格(重量和形状大小)相同, 我们可以把冰壶看作半径为1的圆, 并称“冰壶的位置”为冰壶中心所在位置. 如图2, 在平面直角坐标系上, 记冰壶 $A,B$ 的初始位置分别为 $A_0,B_0$ , 假设冰壶 $A$ 从 $A_0$ 开始沿着直线运动, 当运动的冰壶 $A$ 碰撞静止的冰壶 $B$ 后, 碰撞时冰壶 $A$ 的位置为 $A_1$ , 碰撞后冰壶 $B$ 的运动方向为 $overrightarrow{A_1B_0}$ , 冰壶 $A$ 的运动方向记为 $overrightarrow{A_1D}$ , 满足 $overrightarrow{A_1D}cdot overrightarrow{A_1B_0}=0$ 并且 $overrightarrow{A_1D}cdot overrightarrow{A_1A_0}<0$ .

在一局冰壶比赛中, 假设圆垒中含有黄队已经投掷的两个冰壶 $B$ 、 $C$ , 其所在位置分别为 $(0,0)$ 、 $(m,2)$ . 考虑到场地宽度限制, 我们假设其中的实数 $min(0,12)$ . 现在轮到红队掷壶, 红队打算采用“双飞”战术, 即掷壶 $A$ 使得 $A$ 在碰撞冰壶 $B$ 之后, $A$ 也能碰撞到冰壶 $C$ , 这样红队就能在比赛中占据优势. 记碰撞时冰壶 $A$ 碰撞 $B$ 时的位置为 $A_1$ , $A_1$ 位于第四象限. 我们不考虑碰撞的速度变化情况, 也不考虑 $B$ 与 $C$ 碰撞的情况.

(1)当 $m=2sqrt{3}$ 时, 如果冰壶 $A$ 碰撞 $B$ 后可以“正碰”冰壶 $C$ (即碰撞后冰壶 $A$ 朝着冰壶 $C$ 的中心运动), 求 $BA_1$ 与 $x$ 轴正方向构成的夹角.

(2)把可以使得“双飞”战术成功的 $A_1$ 全体形成的轨迹记为 $Gamma_m$ .

22.(12分) 设函数 $f(x)=x^2+sin x$ .

(1)(5分) 证明函数 $f(x)$ 存在最小值点 $x_0$ .

(2) 已知有恒等式 $cosalpha-cosbeta=-2sindfrac{alpha+beta}{2}sindfrac{alpha-beta}{2}$ , 以及不等式 $sin x < x$ 在 $x>0$ 时恒成立.
请在下面两个小题中选一道题作答, 注意下面这两道题的满分分值不同, 如果都选做, 则按第一小题计分.

1. ACD. 提示: 一个定义在 $(0,+infty)$ 的函数 $f(x)$ 的所有零点从小到大排列后记为 ${x_n}$ . 可以证明, 如果 $x_{n+1}ge x_n$ +1 恒成立, 那么 $f(x)$ 是零点可控函数. 如果存在 $k$ 使得 $x_{k+2}-x_k<1$ , 那么 $f(x)$ 不是零点可控函数. (注意如果存在 $k$ 使得 $x_{k+1}-x_k<1$ , 那么 $f(x)$ 依然有可能是零点可控函数!)

A正确. $sin(pi x)$ 的所有正零点是 $1,2,cdots,n,cdots$ , 所以存在由正整数 $a_n=n$ 构成的序列 ${a_n}$ , 使得 $y$ 在区间 $(0,a_n]$ 有 $n$ 个零点.

B错误, $cos(x^2)$ 的所有零点是 $x_n=sqrt{dfrac{pi}{2}+npi}$ , 当 $n$ 充分大 $(n>pi)$ 时, 零点 $x_n,x_{n+2}$ 的差距是

$begin{aligned} x_{n+2}-x_n&=sqrt{dfrac{pi}{2}+(n+2)pi}-sqrt{dfrac{pi}{2}+npi} \ &=dfrac{2pi}{sqrt{dfrac{pi}{2}+(n+2)pi}+sqrt{dfrac{pi}{2}+npi}} \ &< dfrac{pi}{sqrt{npi}} < 1. end{aligned}$

于是 $f(x)$ 不是零点可控函数.

C正确, $y=sin x-dfrac{sqrt{3}}{2}$ 的所有正零点是 $x=dfrac{pi}{3}+2npi(ninmathbb{N})$ , 以及 $x=dfrac{2pi}{3}+2npi(ninmathbb{N})$ , 相邻两个零点的最小差距是 $dfrac{pi}{3}>1$ , 对于这两个相邻零点, 记为 $x_k,x_{k+1}$ , 必定存在整数 $m$ 使得 $x_kin (0,m]$ 但 $x_{k+1}notin(0,m]$ . 容易验证 $f(x)$ 是零点可控函数.

D正确, 由三角函数的有界性, $sin(cos x)=0, x>0$ 等价于 $cos x=0, x>0$ , 其所有正零点为 $x_n=npi+dfrac{pi}{2}$ . 取 $a_n$ 为不小于 $x_n$ 的最小整数, 那么 ${a_n}$ 是单调递增的整数列.

2. BCD. 提示: $f'(x)=x^2-2ax+a^2-1=(x-a-1)(x-a+1)$ . $f(x)$ 在 $(-infty,a-1)$ 单调递增, 在 $(a-1,a+1)$ 单调递减, 在 $(a+1,+infty)$ 单调递增, 极大值点为 $a-1$ , 极小值点为 $a+1$ .

$f(0)=-dfrac{1}{3}a^3+a^2+1$ , 当 $a=1$ 时 $f(0)>0$ ; 当 $a=9$ 时 $f(0)<0$ , 故A错误.

$f'(x)$ 的最小值为 $f'(a)=-1$ , 故B正确.

$f(a-1)=dfrac{1}{3}(a^3-3a+2)-dfrac{1}{3}a^3+a^2+1$ , $f(a+1)=dfrac{1}{3}(a^3-3a-2)-dfrac{1}{3}a^3+a^2+1$ , 两式作差可得 $f(a-1)-f(a+1)=dfrac{4}{3}$ , 故D正确.

由于 $f(a+1)=a^2-a+dfrac{1}{3}>0$ , 故 $f(x)$ 在区间 $(a-1,+infty)$ 上满足 $f(x)ge f(a+1)>0$ , 从而没有零点. 从而 $f(x)$ 恒有1个零点, 故C正确.

3. 4067. 提示: 最小二乘法可以求残差的平方和 $Q=sumlimits_{k=1}^6(y_k-sx_k-t)^2$ 的最小值. 在这一题中, $x_k=k+2015$ . 而当直线 $y=sx+t$ 为经验回归直线时, $Q$ 取到最小值. 在本题中

$begin{aligned} &sumlimits_{k=1}^6(y_k-bk-a)^2 =sumlimits_{k=1}^6(y_k-bx_k+2015b-a)^2, \ &s=b, \ &t=a-2015b. end{aligned}$

所以当 $b=2, a-2015b=35$ 时 $Q$ 最小. 所以 $a=35+2015b=4065$ . $a+b=4067$ .

4. $dfrac{1}{2^{n-1}}$ ; $dfrac{n(n-1)}{4}.$ (本题第一问2分, 第二问3分.)

提示: (1) $X=0$ 当且仅当硬币全部正面朝上或者全部正面朝下, 所以

$P(X=0)=C_{n}^nleft(dfrac{1}{2}right)^nleft(dfrac{1}{2}right)^0 +C_{n}^0left(dfrac{1}{2}right)^0left(dfrac{1}{2}right)^n=dfrac{1}{2^{n-1}}.$

(2)注意到

$begin{aligned} EX&=sumlimits_{k=0}^nunderbrace{C_n^kdfrac{1}{2^n}}_{ktext{次正面概率}} cdot underbrace{k(n-k)}_{text{正反面次数乘积}} \ &=dfrac{1}{2^n}sumlimits_{k=1}^{n-1}dfrac{n!}{k!(n-k)!}cdot k(n-k) \ & qquadqquadqquad text{【当$k=0$或$k=n$时该项为0】} \ &=dfrac{1}{2^n}sumlimits_{k=1}^{n-1}dfrac{n!}{(k-1)!(n-k-1)!} \ &=dfrac{n(n-1)}{2^n}sumlimits_{k=1}^{n-1}dfrac{(n-2)!}{(k-1)!(n-k-1)!}\ &=dfrac{n(n-1)}{2^n}sumlimits_{k=1}^{n-1}C_{n-2}^{k-1} =dfrac{n(n-1)}{2^n}sumlimits_{j=0}^{n-2}C_{n-2}^{j} \ & qquadqquadqquad text{【令$j=k-1$】}\ &=dfrac{n(n-1)}{2^n}cdot 2^{n-2}=dfrac{n(n-1)}{4} . end{aligned}$

最后用到了二项式定理求和公式: $C_n^0+C_n^1+cdots+C_n^n=2^n$ .

5. (本题第(1)问3分, 第(2)问5分, 第(3)问4分).

(1) $f'(x)=dfrac{1}{x}-1$ , 当 $xin(0,1)$ 时, $f'(x)>0$ ; 当 $xin(1,+infty)$ 时, $f'(x)<0$ . 所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增, 在 $(1,+infty)$ 上单调递减.

(2)下面证明 $H(X)le -sumlimits_{i=1}^np_iln q_i$ , 这等价于证明 $sumlimits_{i=1}^np_ilndfrac{q_i}{p_i}le 0$ .

由(1), $f(x)le f(1)=-1$ , 即 $ln xle x-1$ , 等号成立当且仅当 $x=1$ . 所以 $lndfrac{q_i}{p_i}le dfrac{q_i}{p_i}-1$ , 故

$begin{aligned} sumlimits_{i=1}^np_ilndfrac{q_i}{p_i} &le sumlimits_{i=1}^np_ileft(dfrac{q_i}{p_i}-1right) \ &=sumlimits_{i=1}^nq_i-sumlimits_{i=1}^np_i=1-1=0. end{aligned}$

等号成立当且仅当 $dfrac{q_i}{p_i}=1(i=1,2,cdots,n)$ , 即 $p_i=q_i(i=1,2,cdots,n)$ .

综上, $H(X)le -sumlimits_{i=1}^np_iln q_i$ , 等号成立当且仅当 $p_i=q_i(i=1,2,cdots,n)$ .

(3)取 $q_i=dfrac{1}{n}(i=1,2,cdots,n)$ , 由(2), $H(X)le -sumlimits_{i=1}^np_ilndfrac{1}{n} =ln nsumlimits_{i=1}^np_i=ln n,$ 等号成立当且仅当 $p_i=q_i=dfrac{1}{n}(i=1,2,cdots,n)$ .

由于领导完全不确定每个学校各个班的具体情况, 所以要取不确定性最大(即熵最大)的抽取方式, 由最大熵原理, 只需要每个班等可能会被抽到(比如简单随机抽样就是等可能的抽取方法), 即可使得对学校的教学质量评估结果最客观.

(第(3)问证明最大熵原理得2分, 说明抽取方式得2分, 只要抽取方式是满足每个班级等概率被抽到的, 例如系统抽样等皆可酌情给分).

6. (1)为了让 $A$ 正碰 $C$ , 只需要让 $A_1Bbot A_1C$ . 记 $A_1(2costheta,-2sintheta)$ , 则 $A_1Bbot A_1C$ 相当于 $A_1B$ 与 $A_1C$ 斜率之积为 $-1$ , 即 $dfrac{0-(-2sintheta)}{0-2costheta}cdotdfrac{2-(-2sintheta)}{2sqrt{3}-2costheta}=-1$ . 化简得

$(2+2sintheta)sintheta=(2sqrt{3}-2costheta)costheta,$

即 $sqrt{3}costheta-sintheta=1$ , 即 $cosleft(theta+dfrac{pi}{6}right)=dfrac{1}{2}$ . 由于 $thetainleft(0,dfrac{pi}{2}right)$ , 故解得 $theta=dfrac{pi}{6}$ .

(2)(i)由于圆 $B$ 与圆 $A_1$ 外切, 而两个圆的半径为1, 所以 $A_1$ 到原点的距离恒为2, 即 $Gamma$ 是一段半径为2的圆弧. (2分)

(ii) 设冰壶 $A$ 的碰撞位置为 $A_1(2costheta,2sintheta)$ , 由于 $A_1$ 在第四象限, 则 $thetainleft(-dfrac{pi}{2},0right)$ , 并且 $AA_1$ 的斜率为 $tantheta$ . 这样, 假设可以使得冰壶 $A$ 碰撞到冰壶 $C$ 的 $theta$ 的取值范围是 $[x_1,x_2]$ , 则 $Gamma_m$ 的长度为 $f(m)=4pi cdot dfrac{x_2-x_1}{2pi}=2(x_2-x_1)$ . 我们下面只需要把 $theta$ 的取值范围(跟 $m$ 有关)求出来.

设 $A_2(3costheta,3sintheta)$ , $A_3(costheta,sintheta)$ , 过 $A_2$ 且与 $AA_1$ 垂直的直线方程为

$y-3sintheta=-dfrac{1}{tantheta}(x-3costheta),$

即 $xcostheta+ysintheta=3$ . 同理, 过 $A_3$ 且与 $AA_1$ 垂直的直线方程为 $xcostheta+ysintheta=1$ . 由题意, 如果冰壶 $A$ 能碰到冰壶 $C$ , 那么需要满足 $C(m,2)$ 到直线 $AA_2$ 的距离不超过1或者 $C(m,2)$ 到直线 $AA_3$ 的距离不超过1, 即

$begin{aligned} d_2&=dfrac{|mcostheta+2sintheta-3|}{sqrt{cos^2theta+sin^2theta}}le 1, \ text{或} qquad d_3&=dfrac{|mcostheta+2sintheta-1|}{sqrt{cos^2theta+sin^2theta}}le 1, \ end{aligned}$

化简得

$0le mcostheta+2sinthetale 4.$

假设 $varphiinleft(0,dfrac{pi}{2}right)$ 满足 $sinvarphi=dfrac{m}{sqrt{m^2+4}}$ , 于是上式等价于

$0le sin(theta+varphi)le dfrac{4}{sqrt{m^2+4}}. qquad (*)$

由于 $thetainleft(-dfrac{pi}{2},0right)$ , 所以 $theta+varphiinleft(-dfrac{pi}{2},dfrac{pi}{2}right)$ , 由函数 $y=sin x$ 在区间 $left(-dfrac{pi}{2},dfrac{pi}{2}right)$ 单调递增, 则上面不等式 $(*)$ 的左侧可以化为 $theta+varphige 0$ , 即 $thetage-varphi$ , 即

$sinthetage -sinvarphi=-dfrac{m}{sqrt{m^2+4}}.$

①当 $0 < m le 4$ 时, 有不等式

$sin(theta+varphi)le sinvarphi le dfrac{4}{sqrt{m^2+4}}$

所以不等式 $(*)$ 的右侧恒成立, 于是 $sintheta$ 的取值范围是 $left[-dfrac{m}{sqrt{m^2+4}},0right]$ , 从而 $sin 2f(m)=dfrac{m}{sqrt{m^2+4}}=dfrac{1}{sqrt{1+tfrac{4}{m^2}}}$ , 从而函数 $y=sin 2f(m)$ 关于 $m$ 在区间 $(0,4]$ 上单调递增. 由复合函数的单调性可知 $f(m)$ 在区间 $(0,4]$ 上单调递增.

②当 $m>4$ 时, 取 $alphainleft[0,dfrac{pi}{2}right]$ 使得 $sinalpha=dfrac{4}{sqrt{m^2+4}}$ , 此时 $sin alphalesin varphi$ , 所以 $alphalevarphi$ . 则由 $(*)$ 可得 $0le theta+varphilealpha$ , 即 $theta$ 的取值范围是 $[-varphi,alpha-varphi]$ , 所以 $sin(2f(m))=alpha=dfrac{4}{sqrt{m^2+4}}$ , 函数 $y=sin(2f(m))$ 关于 $m$ 在区间 $(4,12)$ 上单调递减. 由复合函数的单调性可知 $f(m)$ 在区间 $(4,12)$ 上单调递减.

注：这一题在最后用到了如下复合函数单调性的结论: 如果函数 $y=f(g(x))$ 关于 $x$ 在区间 $I$ 上单调递减, $g(x)$ 在区间 $I$ 上的值域为 $J$ , 函数 $y=f(x)$ 在区间 $J$ 上单调递增, 则函数 $y=g(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减.

证明非常简单: 若 $x_1 < x_2$ , 则 $f(g(x_1))>f(g(x_2))$ . 由 $f$ 在 $J$ 上单调递增, 则 $g(x_1)>g(x_2)$ . 所以函数 $y=g(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减.

7. (1) $f'(x)=2x+cos x$ , 设 $g(x)=2x+cos x$ , 则 $g'(x)=2-sin x>0$ , 所以 $g(x)$ 在 $(-infty,+infty)$ 上单调递增.

由于 $g(0)=1$ , $g(-dfrac{1}{2})=-1+cosdfrac{1}{2}< 0$ , 所以存在 $x_0inleft(-dfrac{1}{2},0right)$ 使得 $g(x_0)=0$ , 并且当 $x< x_0$ 时, $f'(x)=g(x)< 0$ ; 当 $x>x_0$ 时, $f'(x)=g(x)>0$ .

所以 $f(x)$ 在区间 $(-infty,x_0)$ 单调递减, 在 $(x_0,+infty)$ 单调递增, 从而 $f(x)$ 可以取到最小值.

(2)(i)由(1)可得 $x_0< 0$ , 所以 $-x_0>0$ , 所以 $sin (-x_0)< -x_0$ 即 $sin x_0>x_0$ . 从而 $f(x_0)=x_0^2+sin x_0>x_0^2+x_0=left(x_0+dfrac{1}{2}right)^2-dfrac{1}{4}ge-dfrac{1}{4}$ . 另一方面, 由于 $x_0$ 是最小值点, 所以 $f(x_0)< f(0)=0$ . 综上, $-dfrac{1}{4}< f(x_0)< 0$ .

(ii)注意到 $f'(x_0)=2x_0+cos x_0=0$ , 并且 $2-sin x_nge 1$ , 所以

$begin{aligned} |x_{n+1}-x_0|&=left|dfrac{-x_nsin x_n-cos x_n}{2-sin x_n}-x_0right| \ &=left|dfrac{-x_nsin x_n-cos x_n-2x_0+x_0sin x_n}{2-sin x_n}right| \ &=left|dfrac{-x_nsin x_n-cos x_n+cos x_0+x_0sin x_n}{2-sin x_n}right| \ &=left|dfrac{-(x_n-x_0)sin x_n+2sintfrac{x_n+x_0}{2}sintfrac{x_n-x_0}{2}}{2-sin x_n}right| \ &le |x_n-x_0||sin x_n|+2|sintfrac{x_n+x_0}{2}||sintfrac{x_n-x_0}{2}| \ &le |x_n-x_0|+2|tfrac{x_n-x_0}{2}| = 2|x_n-x_0|. end{aligned}$

注: 其实可以证明 $|x_{n+1}-x_0|le |x_n-x_0|$ . 但是这就需要先证明 $2-sin x_nge 2$ , 从而要用数学归纳法来证明 $x_{n}le x_{n+1}le x_0$ , 此题就会变得过于复杂.
本题背景是用牛顿迭代的方法求函数的零点.

从去年开始就准备写一些如何命题的文章，奈何自己水平其实也是一般，怕误人子弟！经过一年时间的洗礼，我就如何命题这方面学习了一点，现在就在搓米问答上面发发自己命的题，有的还写上了命题思路。写得多了准备整理成一本书，通篇全是如何命题的，怎么命题的！

以下是我给高三学生写的。

这个题目解决起来其实并不麻烦，也就是考查了学生三个方面的知识点

$1.$ 切线方程的求解；

$2.$ 已知零点个数，求参数范围，这个是全国卷考查的较多。虽然得到结果简单，但是难点在于如何寻找点确定就是两个零点；

$3.$ 极值点偏移问题，我这里其实就是对其稍微加强了一点。

以下就是我的命制过程，可以帮助你解决问题

解析过程

现在我们原创几个隐零点问题先给大家练练手(考试考不到)

解析过程

再来一道

解析过程

这里我就简单出个题，来表述一下我基本的一个想法

命题思路：主要是要会由数量关系得到位置关系，然后第二问在你建系的时候你会感觉有点别扭的感觉。

命题思路：出这题只是为了和上面的一道题在数据处理上面产生异同，难度撑死也就中档题难度，利用相似比得出平行，第二问很常规的问题。

命题思路：学生此前会遇到这么个题目，形式是这样子的：根据 $S_{n+1}-S_{n}=a_{n}(nge 2)$ 的形式得到一个式子，然后因式分解得到 $(a_{n+1}+a_{n})(a_{n+1}-a_{n}-1)=0$ 的形式，然后学生会根据题干说什么“各项都是正数的数列”来消掉 $a_{n+1}+a_{n}$ ，然后就剩下 $a_{n+1}-a_{n}-1=0$ .那我这里直接换个形式，写成完全平方就好，这个形式相对而言学生遇到的比较少，一看到 $a_{n+1}^2+1-a_{n}^2-2a_{n+1}=0$ 有可能不会立马就想到怎么处理，这也是设置的一个难点。第二问就是增加了一个 $(-1)^n$ ，需要简单的讨论一下，并不难。

本题命制结束之后使用搜题软件发现有个和我题干相同的， $GIAO!$

命题思路：想到出这个题目是因为之前做过半角模型，但是 $45^circ$ 我给改成 $30^circ$ ，然后就利用 $30^circ$ 的角来做文章，使用 $tan30^circ=frac{sinA}{cosA}$ 来进行反向操作，同时结合 $sinC=sin(A+B)$ ，这样就可以得到 $sqrt {3}acosB+3asinB=sqrt{3}c$ 了。第二问你画出图形，拥有初中知识就可以做的，你这里可以使用 $tan$ 的恒等变化来做。

命题思路：先写个 $cosB=frac{1}{2}Leftrightarrow cosBsinB=sinB$ ，再变形以下即为 $2bcosBsinB=sin(A+C)$ ,就得到 $2bcosB=acosC+ccosA$ ，我们这里令 $b=1$ ，这个操作就在学生准备对题干进行角化边的时候认为碰壁，进行不下去，从而达到扣分的效果！第二问就实在是简单了，不用多余讲解。

命题思路：就是先设想出一种求解的思路，然后套背景，我这里套用的是“某 $1nm$ 芯片流水线员工于年前举行团建”。第一问很正常，就是简单分一下情况，然后相加就行了；第二问添加了一个小细节，就是“从获奖人员中”，学生大意一下那就错了，整个题目属于很简单的一类，只是简单考察一下大家这个知识点，带着回顾回顾！

命题思路：利用中线长定理用到的那个小结论来做的，即若 $alpha+beta=pi$ ，则 $cosalpha+cosbeta=0$ 。这里我只是说了我的想法，你说是用其他思路出的也对！其实我们可以使用很多其他的公式来做，比如我们都知道 $sin(frac{pi}{2}-alpha)=cosalpha$ ，我们就令 $alpha=frac{pi}{3}-2x$ 不就行了，即“已知 $sin(frac{pi}{6}+2x)=frac{1}{3}$ ，求 $cos(frac{pi}{3}-2x)=$ ”，一个小题目就完成了，命起来十分简单。

命题思路：来源于对初中一道二次函数中求面积最大值问题的灵感，在初中比较难，但是我们现在到了高中，这类题目相对而言就简单得多了。

结帖，不想再写了，祝各位高考顺利！

去年的回答还可以继续用

可以为 2021 年高考生预测一道数学题吗？

后面再放些新题上来。

近两年的高考中经常出现使用高等背景知识做题干的情况，但解答还是用的初等方法。本题的题目背景是概率论中的带反射壁的随机游走模型，同时结合了布朗运动中的粒子上窜的概念。题目思路不难，但难在事件的表示。

这一题是我去年出的一套试卷中的。引入了代数中的“封闭”的概念，要求考试把抽象概念理解并快速运用。主要的坑在于举例。

来源于凸优化中仿射集和凸集的定义。按定义判断即可。

老题新翻，我挺喜欢这一题的。改成选择题后更能考察函数意识。

今天都四号了，才看到这个问题。。。

就不押题了，押几个知识点吧：

感觉这些知识点好久没考了，就讲了讲，权当是考前查漏补缺，复习一下了。

视频里的知识点：1. 对称性与反函数；2. 诱导公式与中线的处理；3. 球面距离；4. 点差法；；5. 二项分布与超几何分布

1.棱长为2的正方体ABCD-A’B’C’D’，BB’上靠近B’点的三等分点为M，B’C’中点为N，则面MND与面AA’CC’的交线长为_______

2.李华非常喜欢观赏纸片人，现有10个一样的纸片人，李华每天至少观赏一个，问有多少种观赏完这些纸片人的方案（）

A.256 B.512 C.1024 D.2048

最后再来道导数题，没啥创新的题，熟练掌握双变量的童鞋应该一下就写出来了

3.f(x)=e^x-ax,有两个零点x1,x2（x1<x2）

(1)证明：2×1+x2>e

(2)证明：lna+1<x1+x2<(4lna+2)/3

——————更新——————

田忌赛马，三局两胜制，田忌打探到齐王第一场派出上等马，为使自己获胜概率最大，采取了相应策略，则其获胜最大概率为______

需要安排5名记者前往A、B、C三个地点，每个地点必须有一名记者，每名记者只去一个地点，记者甲不去A处，记者乙不去B处，则有_______种安排方式

22.已知双曲线 $C:frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 焦距为 $2sqrt{2}$ ，离心率为 $sqrt{2}$ .

（1）求双曲线 $C$ 的标准方程；

（2）设双曲线上有 $A、B$ 两点， $A$ 关于原点的对称点为 $A'$ ，且直线 $AB、AA'$ 的斜率之和为0. 记 $Delta AA'B$ 的外接圆圆心为 $P$ ，求点 $P$ 的轨迹方程.（用只含 $x、y$ 和数字的方程表示）

浙江

最后一年

题1:

则有

题2:

出过一份高考不考的数学题，继续写两道。

以下说法错误的是:

A.sin? 37°< cos? 37° B.cos?37 < cos?37°

C.sin? 37 < cos?37 D.sin?37 < sin?37°

方程(7x^4+1)/(x^4+7)=x^3的正实数解共有几个？(不计重根)

过平面内一点，最多能作y=ln x的几条法线？

已知实数a,b满足a?+b?=1,则(5a+9)(b+1)的取值范围为多少？

r=-4/5+23i/4,复数z在第四象限且满足r?=z?-2,则z=

{a_n}满足a_1=1，a_(n+1)=(2+a_n)/(1+a_n)

(1)试证对任意v>0均存在正整数N满足对任意n>N均有|a_n-√2|<v

(2)试证{x|x?<2且x∈Q}中无最大元素。

在分析中有一个不著名的不等式:{a_n}为正项数列，若存在b使得对于足够大的n，均有((1+a_(n+1))/a_n)^n≤b，则b≥e。

(1).若b<e，则对足够大的n，有b<(1+1/n)^n。

(2).若b<e，试证b_n=a_n/n满足对足够大的n有对任意m>n均有b_n+ln(n+1)>b_m+ln(m+1)，并证明b≥e。

(3).试给出一个数列满足b=e，不需要证明。

第一道题提示:333=37×9

第二道题提示:均值不等式

第三道题是经典题改编

第四道题是拉格朗日乘子凑出来的数，需要解三次方程

第五道题背景:C?上椭圆曲线y?=x?-2用(3,5)和(1,i)加出来的，高中生其实可以了解一下椭圆曲线，蛮好玩的。

第六道题第一问是连分数理论，第二问是分析习题。

第七道题是就是分析里面选的不等式，重点是证明调和级数发散。

预测题在最后

2022高考——数学选做题历年分析与内容预测

大概是原创的：

19.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知a=sin?B,b=sin?C.

(I)若cos?B=3/4, 求cos?Acos?C.

(II)证明: b^4+(a^2)(b^2)<2(a^3)b+a^4.

题目经过了验证，恳请大家斧正。

预测题我不会，也预测不到，反正反反复复都是那几种题型，不如教点有用的，我可能会准确的蒙答案！

先来点蒙题小技巧（此方法适用于有基础的同学，用来蒙选择填空题的压轴题）：首先，你需要准备一把尺子，一张演草纸。

考试前，请你把所有常见的函数图像熟背于心，实在记不住也没多大问题，用描点法慢慢描。

此方法适用于选择题带图像的但是计算难度大的（例如：选择的11，12等压轴题）

你只需要根据题目，把题干中描述的函数，线等等尽你最大努力精准的画出来，能多精准就多精准，如果碰到e，Π，等等，考虑小数点后两位就行（多了你也记不住）

最后，看选项！把选项中的表达式化成数字，这就比较考察你的计算能力了，找到与你画出来的图结果最接近的那一个，直接选它！5分就到手了！（当然你得把图画对）

举个例子：比如说让你求两条曲线在某点处的距离？

你把那两条曲线画出来，找准点，用尺子把距离量出来。

然后，把选项中的分式化简成数字，跟你测量得出来的最接近的就是正确答案！

填空题这个方法你也可以尝试一下，毕竟如果真的把图画出来，填空的答案也比较容易蒙，（比如：1，0，多少/Π，-1，根号几几几等）

题型

函数与导数

导数是微积分的初步知识考察主要是以下几个方面:

1.导数的常规问题:

(1)刻画函数(比初等方法精确细微);

(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);

(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的

导数问题属于较难类型。

2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快

捷简便。

3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

三角函数或数列

数列是高考必考的内容之一。每年都会有等差数列，等比数列的考题，而且经常以综合题出现，也就是说把数列知识和指数函数、对数函数和不等式等其他知识点综合起来。

关于数列方面的考题题主要包含以下几个方面:

(1)数列基本知识考查，主要包括基本的等差数列和等比数列概念以及通项公式和求和

公式。

(2)把数列知识和其他知识点相结合，主要包括数列知识和函数、方程、不等式、三角、几何等其他知识相结合。

(3)应用题中的数列问题，一般是以增长率问题出现。

立体几何

高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，

选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查几何中的逻辑推理型问题。

简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门

话题。

最后祝大家都能考上心仪的学校！

已知我国经济稳中向好

求我国今年能否实现5.5%的经济增长目标

本人高二在校生，自己出的一道拙题，依据高考的命题方向来说，导数会越来越偏向于基础和新颖方面，虽然幂指函数为大学内容，但是在x＞0的部分，用高中数学是完全可以解决的，

对函数f（x）＝x?，一种思路就是

变为f（x）＝e^xlnx，

还有一种思路是取对数，

令g（x）＝ln（f（x）），

g（x）＝xlnx，

也是可以利用求解的；

思路一主要是体现了指数恒等式的应用

而思路二体现了复合函数单调性同增异减的关系

这道题看似形式复杂，实则也是纸老虎

今年冬奥会，参考2019还是2020全国一卷的概率大题，我觉得很大可能出，如果谁有类似原创或者好题可以分享一下，毕竟那种高质量的题很难构思

可以为 2022 高考生预测一道数学题吗？

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