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【第777期】高一 |理解函数对应法则

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高一物理 20 分,还有救吗?

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对函数符号的理解

函数是一个重要的数学概念,伴随着数学学习不断深化,虽然我们遇到很多的具体函数,如一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,三角函数等等,这些函数都是比较具体的函数,更多的是集中精力研究这些函数的特点,对于抽象函数的理解则需要回归到定义上,特别是抽象函数的一些性质运算更需要对函数概念有深刻的理解,才能在解题时得心应手。

一、函数的概念

函数(function)的定义通常分为传统定义和近代定义,函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。

传统定义:在变化过程中,有两个变量xy,如给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y x的函数,其中x是自变量,y是因变量.其中x的取值范围为函数的定义域,y的取值范围为函数的值域.

近代定义:给定两个非空数集AB,如果按照某个对应法则f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作:f:AB,y=f(x),xA。习惯上我们称yx的函数.

现行高中教材采用的是近代定义,常常将其提炼出函数三要素,即定义域、对应法则、值域,其实定义域和对应法则确定后值域也就随之确定,严格来说函数只要有定义域和对应法则就可以确定值域,即两个要素就可以确定函数.

二、对函数符号的理解

函数符号f(x)表示的是一个整体,是一个函数.其中x表示的是这个函数的自变量,f 是对应关系,表示的是对x施加的某种法则(或运算),它可以是一个或几个解析式,也可以是图象,表格,还可以是文字叙述,当然也可以是人为规定的某种抽象法.即对应法则是根据需要而定义,是一个符号,这就像我们初中学习过的用字母代替数一样.如我们用x可以代替3,5,10这样的常数,也可以用x代替a+1,2a-3等代数式,甚至还可以用字母代替不动事物.类似我们的姓名(汉字)在一定的场合代表一个人,破冰行动代表了一件事情.在不同的情境下代替的方式不同,含义不同而已.我们数学中用f 来表示对应关系其本质就是这样的一层含义,要准确的理解,不要看到一个字母,一个抽象的关系感到很恐惧,变换方式来理解,加强对符号的认识.

三、常量与变量

在一个变化过程中,发生改变的量是变量,有些量不随变量的改变的而变化,我们称之为常量.这在函数中要特别留意,因为在一个具体的函数中,可能会出现许多字母,我们要认真观察,发现其中的变量和常量进行区分.有时也会出现多个变量,这时我们就会确立一个主变量作为研究对象,如f(x)=x+a中出现了两个字母,我们可以发现x是变量,a在这里是参数(可以视为常量).值得注意的是变量和常数一般来说是确定的,但是有时也会根据实际情况选择不同的字母表示变量,不一定都是x作为变量.

四、函数与映射

映射的概念就是将函数近代定义中的A,B数集换成非空集合,同时将集合A中的元素称为原像,集合B中的元素称为像,其余没有多少变化.对比之后就可以发现函数是特殊的映射,特殊在对集合的限制约束只能为数集,显然映射范围更广、更具有一般性.

五、复合函数

若函数y=f(t)的定义域为A,函数t=g(x)的定义域为D,值域为C,则当CA的子集时,称函数y=f(g(x))y=f(t)t=g(x)D上的复合函数,其中t叫作中间变量,t=g(x)叫作内层函数,y=f(t)叫作外层函数.

函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围,而不是g(x)的取值范围.另外,要注意同一字母在不同表达式中的含义,如f(x)f(g(x))x的含义是不同的,它是用同一个字母来表示两个不同的函数的自变量,因此他们的取值范围不一定相同,但它们之间又有联系,即f(x)中的xf(g(x))中的g(x)的值相同时,它们所对应的函数值相等.

已知f(x)的定义域为A,求f(g(x))的定义域,其实质是已知g(x)的取值范围(值域)为A,求出x取值范围.

六、概念理解常见题型

题型一:相同函数的判断

对于给定的两个函数进行判断其是否为同一个函数,其实质就是判断三要素是否相同一致,实际操作时只需要判断定义域和对应法则即可.此类问题一般相对简单.

题型二:函数求值
函数求值就是利用已知所给的函数关系,遵循对应法则进行操作,这其实就是机械的模仿.对应抽象函数则需要灵活变化.
题型三:函数关系的判断
对于初学者,往往会将对应法则f与字母的关系区分不清,在理解函数关系时就会出现思维混乱.
结束语:理解函数概念,要抓住灵魂,即两个数集之间的一种对应关系,不要被对应关系所用的字母迷惑,坚守初心!
路虽远,行必至!
高一物理 20 分,还有救吗?

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