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2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?

2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?

【原】一道数学题引发的动乱

万历五年(1577年)夏天,一场风暴席卷徽州。徽州六县中的歙[shè]县与其他五县(休宁、婺源、祁门、黟县、绩溪)之间,爆发激烈冲突。在婺源县,代理县事的官员被县民堵在路上,群情激愤的老百姓冲入县衙,见人就打。在休宁县,亲自前往调解的徽州知府徐成位看到县城已经聚集了数万人,他们“鸣金约党,竖旗结盟”,导致“道路禁阻,文移隔绝”,场面几乎失控。数月之内,歙县商人在五县的店铺屡屡被打砸抢夺,五县之人到了歙县也被殴打辱骂。整个徽州全乱了,而这场大规模民变的起因,竟是一道数学题。▲古徽州示意。图源:锦绣 更多

媒体评「上海中考数学题泄露」,称「中考题目如此轻易泄露,哪来什么公平可言」,该事件有哪些细节需要关注?

我不知道说一句不用那么震惊会不会挨打,因为这个事情没有大家想象的那么少见。比如湖南省就有一个判例:大家可以猜一下,这个第一被告人吴某某的刑期,想象不到的低。321答案是一年十个月,现在已经出狱四年了。当然,对比下面三个案子,上面的就是小巫见大巫了,当然首先声明没有地域歧视的意思,真的是正好找到三个案例都是广西的。第一个案子一审只判了一年,检察院抗诉后二审法院改判了四年六个月。这可比中考题厉害多了,按照大家现在宇宙尽头还是编制的理念,中考离编制还远着呢,反倒是这个考试,只要成功,一次上岸。第二个案 更多

深夜冒泡,看到了部分压轴题的题目,觉得有一道有意思的题目:

首先给一个简单的证明,一些细节需要补齐:

解答 设从左到右的交点分别为 x_1x_2x_3 ,则有 x_1<x_2<x_3 ,且

mathrm{e}^{x_1}-x_1=mathrm{e}^{x_2}-x_2=x_2-ln x_2=x_3-ln x_3.

注意到 mathrm{e}^{x_1}-x_1=mathrm{e}^{x_1}-ln(mathrm{e}^{x_1})=x_2-ln x_2 ,因此 x_2=mathrm{e}^{x_1}

注意到 x_3-ln x_3=mathrm{e}^{ln x_3}-ln x_3=mathrm{e}^{x_2}-x_2 ,因此 x_2=ln x_3

结合以上两条得到 x_1+x_3=mathrm{e}^{x_2}+ln x_2=2x_2 ,这便证明了原结论。

接下来,说明一下我做这个题的思路。

首先考虑曲线 y=mathrm{e}^x-x ,对其作变换 begin{cases} x'=mathrm{e}^x \ y'=y end{cases} ,即可得到曲线 y'=x-ln x

考虑到 y 坐标是不变的,因此 x_1 在变换后到达 x_2x_2 在变换后到达 x_3 ,自然就会注意到 x_2=mathrm{e}^{x_1}x_3=mathrm{e}^{x_2} 这便是前面所推的等式。

而本题中,很巧妙的是 x_1+x_3=ln x_2+mathrm{e}^{x_2} 恰好等于 2x_2 ,这便得到了所需证明的结论。

另外,本题也可以和不等式 mathrm{e}^xgeq x+1ln xle x-1 建立联系。

新高考 I 卷,考傻了。
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先声明一下,自从搓米问答上线 IP 显示后我已经赛博移民 US,质疑我的身份可以看主页动态, 不要无脑对着属地网暴了,很没品。
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我深一模二模都是 140+,平时考试题目难些有时掉到 120~130,但比较少。日常训练大部分依据当地模拟考和去年高考难度。
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这次起手看导数压轴,感觉比较新,但函数还算简单,第一问一眼秒,可能有机会。殊不知我未来并没有触碰它的机会……
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圆锥曲线看第二问形式挺简洁,似乎也不难。统计与概率题干长而新,可能是拦路虎。于是我就带着错误的印象开考了。
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选填做到 7、8 就开始卡了,第七题卡了几分钟做出来了,虽然不知道是不是对的。第八题按我的想法算了半天,跟四个选项都扯不上关系,有点蒙了,跳题。
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多选开头还算友善,后面两道又卡,多选压轴推了半天只得了一个选项,选了就跳了。
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填空半猜半证做了一道,压轴想了一会不会,又跳了。此时过去了半个多小时,平时题目简单选填已经写完了,而此时我跳了好几道题、好几道不确定,开始慌了。
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数列第一问小卡了一下,但还是解决了。第二问送分,几分钟干掉第一道大题,感觉还能挽救一下。
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三角第一问就卡了一会,后来稍微化简把答案写上去了,过程没时间好好写。第二问想了一会,不会,跳题,更加慌张。
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立体几何第一问顺利,第二问又卡了,跳。
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统计与概率第一问送分,第二问根据我开考的观察直接跳了。
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到圆锥曲线,第一问发现是一个结论,感觉没时间证明了,直接列式子假装解得,第二问用到角公式解斜率、设直线暴力解点尝试了一下,比较难算,先跳了。
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导数第一问简单,写完后第二问把图画了,分完类毫无思路,马上回去补题。
修改补充:NMD 我似乎图画错了,少画了 x<0 部分,不然可能还可以一战。
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立体几何又看了几分钟没看出来,倒是统计与概率没想象中那么难,紧张地写完了。回去看立体几何,看了半天才发现可以作一条辅助线(其实理当显然?),于是开始做,做到一半发现第一问算错了,反复算了几遍,磕磕绊绊地做完了。回去又尝试了一下圆锥曲线,尝试失败了。
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已经剩下不到十五分钟了,回去把选填的空想办法补上,第八题还是对不上,乱选了一个。第十六题尝试几何加暴算直接硬上,再随便猜个比较像的数,又乱写了一个答案。
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回去看三角,把正弦余弦定理写上去混公式分,然后随便猜了一种特殊情况写了个答案上去。
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至此每一道小题大题都已经留下了我做题的痕迹,虽然都拿不到什么分,也做得胆战心惊、很不确定。剩下一两分钟垂死挣扎已经没用了,坐定等收卷,脑中还在想象第八题的情况。
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没什么用,最后就收卷了。
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三角圆锥导数三道大题第二问都没做出来,但写了部分过程。选填肯定是血雨腥风凄凉一片,但我无能为力了。
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收完卷后,我头脑恍惚,似乎不太相信这是高考,考前几分钟的期待与紧张似乎是上个世纪悠长的回音,我眼中的现实大抵已经失真了。
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铃响完之后,我旁边的那个同学还在涂卡。老师提醒了两三次,他才意犹未尽地放弃。选择没涂完的可怜人。他排排桌子,表情阴郁,嗓子里发出些意味不明的声音。
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压抑与绝望笼罩着缓缓挪动的人群,熙熙攘攘、互相推搡的人流中,许多人大声咒骂,许多人带着苦涩的、讽刺的笑容,或许笑得更像哭一些。上午语文考完的喜悦已荡然无存,淅淅沥沥下着的小雨终于完成了情景交融的夙愿。
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缺乏照明的楼道上,彼此的面庞都如此漆黑。天空中淡淡的、浅浅的乌云,此时是不是渲染情感失力了?但我的心中没有多少悲伤。因为我知道,大家都一样。这是一场无差别的屠杀。
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我的一位考进过市前五十的同学呼喊着:「我使出浑身解数,还是败给了数学。骗分伪证蒙题……全都用上了。」
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我将准考证交给老师,笑着:「完蛋了。」哪怕我理当是班上数学名列前茅的尖子。
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出校门时,我的一位成绩平凡的同学咧着嘴:「明年再见。」
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校门口穿着红衣服的家长,似乎并不能抵挡灰蒙蒙的命运。我在路上遇到一位热爱数学的同学,他也曾在搓米问答上写文章,还领了一套高深莫测的数学丛书。他面无表情,直视前方,背着黑色的书包。
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我拍拍他的肩膀,笑笑,还没有开口,我就明白,他一定知道我想说什么了。于是他先开口了:「这卷子出得……肯定是什么结论……我觉得我一百二都上不了了。」
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是啊,我似乎还没有估计自己的分数,但已经无心估计了。我曾经参加北大的什么能力测验,那次数学单看分数可以说是我人生最差之一,好像是 110+。这次呢?我不知道。但我面对这套题的绝望,似乎并不弱于那套。此时此刻,恰如彼时彼刻。
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那位同学在搓米问答签名上写着冲清北。我扯着嘴角撑着伞哼哼两声,开着玩笑说道:「看来只能去中大了。」按照往年经验,我们班大概都能过中大线。
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他语调上扬,说:「去南科大呀。」
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几天之前,我们学校组织了一次适应性考试,数学出得很难,当然没有这次难。我一时不适应,损失惨重。于是几天里我买了一套所谓的「押题卷」,只是因为要找点试卷做,其实我平时不曾瞧得起押题这种无聊的说法。连刷四套,切瓜切菜,只有一点小失误,均分 145. 又想到去年的高考,我于是信心满满。
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未曾想,那「偏难怪」的适应性考试,最后竟还是温柔了些。
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考前同学们互相鼓励,说着:「今年是过渡年份、稳年」「今年有疫情影响」「看上午的语文」……
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是啊,可是……
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家长鼓励着:「大家都难就不怕。」可是我知道,会的大家都会,不会的大家都不会,哪怕是高手,做出了一些难题,可基础题一旦翻车就是血本无归。 当然,出难我是应该高兴才对,毕竟数学算是我较为喜欢的科目,但我从未预料会这样出,平时训练也并没有注重上难度。
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出题人他不讲武德,来骗,来偷袭?终归是我技不如人,甘拜下风。
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我于是又想起那年,我参加的最后一次 NOIP,赛前我的同学流连于一个个省队往上的知识点,而我想着:根据以往经验,这些知识点、这些题型是不考的……于是折戟沉沙,无缘省选。此时此刻,恰如彼时彼刻。
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高考前,我时时安慰自己:莫愁前路无知己,天生我材必有用,高考考差了算得了什么呢?我从未以清北为目标,哪怕在清华招生组的联络下报了其强基计划,也未尝认真。我从未向往星空,只因害怕跌落时的苦痛。我知道,无论如何,我都不会差到哪去。我还知道,数学,我做的差,别人也很难做的好。
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似乎有时,我那样厌恶内卷。但似乎有时,我又有些不甘躺平。更多时候,我以为可以顺心而行,水到渠成。可我带着自信与骄傲,走入数学考场,而又带着恍惚与迷惘,走出数学考场。我不由望向天空,这边是楼灯未开的昏暗,彼端是虚无缥缈的光明。我的路,究竟在何方?
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撑着伞,顶着淅淅沥沥的小雨。此时我想起,似乎上午时还没有下雨。而下午出门时便下着雨了,尽管很细微。回家路上,雨似乎大了些,但仍然是小雨。
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空调的冷气或者可以与我此时的冷静共鸣。我在想什么呢?我也不知道。我只是写下这篇文章。
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拉开窗帘,天晴了,雨停了,但寒冷依旧。我于是坐回来,任凭空调的冷气吹在我的手臂上,台灯暖黄色的芒光照清了眼睛上的模糊污痕。
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视线渐渐失去了焦点。透过这一片模糊,我怔怔的出神。明天,会更好吗?
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这罗罗嗦嗦、又臭又长的文章总是得有个结尾。我于是瘫坐在椅子上,久久无言,任凭屏幕上的光标,闪了又闪。
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新高考1卷

首先表明观点和身份:确实很难,可以和03竞争最难数学卷;我是某省03年高考理科状元、数学单科状元。

——所有说不难的人,我想问问看你数学多少分,我数学多少分,你觉得对高考数学的评价是经历过03的理科状元、数学状元可信,还是你?我写完了所有题,包括选填题的具体过程,横向比较,有的解法是现在网上所有公开解法中最优的,例如11C的放缩、22的条件概率表达式,有的则显得繁琐了,例如14题。总的来说,这只能算是呈现在答题卡上的步骤,其实有很多隐藏的计算量留在草稿纸上,你看到的计算量和复杂度其实已经是压缩过的。

03数学之前是1977恢复高考以来号称最难的试卷,许多省份最高分没有140,平均分50以下;我当时确实处于智力巅峰,70分钟写完,最后是全省唯一过140的。但是,03数学难点集中在选填,解答题只有立体几何有计算量,数列压轴有点挑战。

新高考1卷的难点和计算量很均匀,从选填到解答,而且涉及到二级结论:棱台体积公式、焦半径公式……不会二级结论可不可以强算?太花时间了。

选填题中应该有压轴题,但是这一次很离谱:涉及到圆锥曲线、函数导数的普遍需要大量计算,例如7、8、11、16,选填题中就这么频繁的联立方程、求导计算,大部分考生可能会和03年一样,1个半小时还没写完选填题。

前三道解答题按说是中档题,但是几乎处处反套路:17题难点全在第一问,而且不是常规的等差、等比数列;18题第一问无须边角互化,只需倍角、和角公式,第二问不是最值化边,而是化角后换元求解;19题第一问不是位置关系的证明,而是距离,当然也确实不难,第二问需要先求解边长,再求角度。这三道题每一道题都出的精彩,但是集中在一张试卷里面,而且是前三题,考生心态必然处于崩塌的边缘。

概率大题第一问是所有解答题中最友善的送分题,第二问的证明其实不难,但是很创新;圆锥曲线第一问与2020山东卷是类似的路数,但是人家是第22题第2问,这里仅仅是第一问,第二问还有大堆计算量等着你;导数论证三个零点的存在不难,最后的同构也不难,但是考场上做到这里不见得反应的过来。

总的来讲,这张试卷不正常。03年是因为原卷被盗,所有科目都被迫启用备用卷,而恢复高考以来从来没有用过备用卷,区分度合不合理鬼晓得,出题人完全是放飞自我的。这次不知道什么来头,唯一庆幸的是,只有语数外是教育部命题,选考科目是各地本省命题,不会像03年一样,所有科目都降分:清华北大在江西省02、04年的分数线分别为660、690,而03年是600分。

最后,放上我手写的所有题目解析,证明所言非虚,如果在我高考的时候,以当时最巅峰的状态,这份试卷有信心2小时完成,但是140就不一定能保证了。有的公众号宣称考的很基础,这就瞎扯了,在考场外不知多少人的团队分工不知多少时间做这张试卷,还嘴硬一点都不难,脑子大概一定坏掉了。

高三的同学在全部科目考完之前还是先别看了~

刚刚写完新全国Ⅰ卷,前来锐评一下:

与去年和前年相比,难度确实有所增加(简直上了一档),区分度极高,而且更为注重概念定义本身(例如12题),对于结论性的套路题回避不少,中档题比例和信息体量上调,算得上一套好题了。

只靠刷题拿分的时代过去了!

选择题的比较大小稍微还是需要思考一下构造,不只是单纯的估值能算出来了。

11题与16题的计算还是比以往麻烦点的,需要沉住气,

这次第一道大题不是解三角形,而是一道相貌平平的数列,较为常规。

第二道大题是一道考察三角恒等变换(实际上也没那么难,本质上还是二倍角公式的运用)的题目,不再是以往那种纯纯的面积或者周长最值问题了,更需要一点对三角的处理能力,不错。

第三道大题还是中规中矩的立体几何(空间向量)大题,没啥好说的,仔细算法向量就行。

20题有意思,这次的概率更为偏向于对条件概率理解的考察,希望考生能对假设检验有些了解。

21题,圆锥曲线,考察的对象是双曲线。这一次第一问以前有时候反而是某些模拟题的第二问,比常规的“送分题”还是要难一点的,不过也是设而不求,第二问其实是定值的问题,重点还是在方程的化简上,计算量不小。

22导数题,第一问实际上不太难,熟悉放缩的小伙伴一眼应该知道是哪个值,不熟悉的朋友也可以构造函数先求极值再令其相等解方程(实际上还要构造一次);第二问如果可以的话能画画图,会发现图像十分神奇,这道题本质上证明等差数列,也可以利用等差中项的概念转化为求两侧的交点横坐标之和等于中间交点横坐标的两倍。这里实际上就会需要极值点偏移的一些套路了——做一点点替换(所以哪怕有些老师认为不考极值点偏移类题目了,这类问题的方法还是有必要掌握)。

据 提醒,这道题和2009辽宁卷的12题类似(确实)。

之后不一定会单独写文章出整套卷子解析,但也许在之后的某些创作中加入今年高考题的一些解析。

还没参加高考的上海考生也可以康康北京的数列大题练练手。

对于之后的高考生朋友,我认为:掌握核心思想与方法,远比刷几十套模拟题有用的多(毕竟高考开始越来愈反套路了www)

祝君好运~

此外,关于所谓“泄题”一事:

泻药。高三班主任,学生反映确实有点难,比平时做的要难一些,有个别小女生刚出来就哭了。不过大部分同学心态比较良好。现在要做的是安抚学生情绪,动员明后两天的考试吧。保持良好心态,继续加油努力

ps1:其实不必太过担心,题难我难,大家都难,出分后还是得看全省排名,这时候比的就是细节了,做题步骤规范与否在题难的时候会显得更重要。当然,要是空着不写那肯定没法给你分的。手动狗头

我苦练本手,高考数学题目是妙手,而我写出来的全是俗手。

坐标广东,新高考一卷

6月8日早上更新:广东省教育考试院永远的神!我又有书读了!没有广东物理卷更简单的东西了,昨天数学考完觉得白复习是因为复习了啥也写不出,今天物理考完觉得白复习是因为不复习也能全写完!

就看今天下午,希望英语新高考一卷能做个人

同时怼一下那些说用手机的都是成绩差的,我们班(重点班)的最好的宿舍在高考前好几天就变成了男生宿舍楼第一大机厅,里面全是模考区排名第一第二的,最不济的也是和我一样的水平(模考区排100左右)至于哪个市哪个区保密,高考后解密

在搓米问答上写了一年的圆锥曲线的文章和回答了,

就浅谈一下对今年2022新高考圆锥曲线大题的看法吧。

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2022新高考一卷圆锥曲线大题

单单这第一小题的求斜率,

看起来就像往年的第二小题了。

boxed{Huge{color{red}{查重率50%}}}

2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?
2020新高考一卷圆锥曲线大题

2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?
2021八省联考圆锥曲线小题

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2021八省联考圆锥曲线小题

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2021新高考一卷圆锥曲线大题

知友@择梦舟曾写过两篇专门介绍这个二级结论的文章:

2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?
【解析几何】圆锥曲线中“斜率——定点”模型 – 择梦舟的文章 – 搓米问答

【解析几何】圆锥曲线中“斜率——定点”模型 – 择梦舟的文章 – 搓米问答

2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?
【奇技淫巧】拉格朗日中值定理在高中圆锥曲线的化简——导数与圆锥曲线的梦幻联动 – 择梦舟的文章 – 搓米问答

【奇技淫巧】拉格朗日中值定理在高中圆锥曲线的化简——导数与圆锥曲线的梦幻联动 – 择梦舟的文章 – 搓米问答

我在我的一篇回答里也提高过这个结论(不太严谨,第二张图应该加上对于圆锥曲线的标准方程):

2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?
这两个椭圆的问题能用纯几何解决吗? – 零典韦达定理的回答 – 搓米问答

2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?
这两个椭圆的问题能用纯几何解决吗? – 零典韦达定理的回答 – 搓米问答

而在我三个月前库存至今仍没发出来的稿子里,

也和这个有关:

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p1

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p4

在二次曲线boxed{G:ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0}上有一点boxed{H(x_0,y_0)}

直线boxed{MN}与该二次曲线交于boxed{M,N}两点,

其中boxed{a,b,c,d,e,finmathbb{R};a^2+b^2+c^2ne0}

记直线的斜率boxed{k_{HM}=k_1,k_{HN}=k_2}

且满足boxed{p(k_1·k_2)+q(k_1+k_2)+s=0}

即直线MN过定点:

K(frac{color{blue}{(sc-pa)x_0}color{red}{+(2qc-pb)y_0}color{green}{+(qe-pd)}}{pa-qb+sc},frac{color{red}{(pa-sc)y_0}color{blue}{+(2qa-sb)x_0}color{green}{+(qd-se)}}{pa-qb+sc})

注意到这个定点K的坐标的分子都为pa-qb+sc=0

pa-qb+sc=0时,

因为分子有界最后计算出的结果为常数(即分子in(-infty,+infty)),

所以K(infty,infty)

即过符合pa-qb+sc=0的直线都过无穷远点(infty,infty)

用射影几何的角度来解释的话就是符合pa-qb+sc=0直线都互相平行

所以不会过有界平面上的定点,

而是斜率k或斜率的倒数t=frac1k为定值

今年的高考题中begin{cases}frac{x^2}2-y^2=1Rightarrowbegin{cases}a=frac12\b=0\c=-1end{cases}\k_1+k_2=0Rightarrowbegin{cases}p=0\q=1\s=0end{cases}end{cases}

符合pa-qb+sc=0

所以不过定点而是直线斜率为定值。

如果要往一般二次曲线推广的话,

先求H点的切线:

begin{aligned}ax_0x+bfrac{x_0y+y_0x}{2}+cy_0y+dfrac{x+x_0}{2}+efrac{y+y_0}{2}+f=0end{aligned}

再写出两条对称轴的二次曲线形式:

begin{aligned}&bx^2+2(c-a)xy-by^2+2[(a+c)y_{center}+e]x\-&2[(a+c)x_{center}+d]y+dy_{center}-ex_{center}\=&0end{aligned}

使得另一条斜率固定的直线与对称轴的夹角,

和点H处的切线的夹角大小相同。

下面是刷题刷久了形成了惯性思维后的思路:

看到斜率之积斜率之和为定值

就开始设第三条直线PQ当作操作目标了,

先求双曲线方程:

begin{aligned}&frac{2^2}{a^2}-frac{1^2}{a^2-1}=1\Rightarrow&(a^2-2)=0\Rightarrow&a^2=2\Rightarrow&frac{x^2}2-y^2=1end{aligned}

既然我们用的这种传统的方法已经有足够的刷题经验了,

那么我们也不是一定要“硬算到尾”,

而应该充分运用我们的刷题经验来发挥刷够题的优势

遇到这种“开局雷击”的题,

我们也“无耻一点”:

先用二级结论:

2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?
这两个椭圆的问题能用纯几何解决吗? – 零典韦达定理的回答 – 搓米问答

求点A切线方程:

begin{aligned}&frac{2x}2-frac{1y}1=1\Rightarrow&k_A=1end{aligned}

所以k_l=-1

接着联立后把韦达定理都写一下:

begin{aligned}&begin{cases}C:frac{x^2}2-y^2=1\l:y=kx+m\A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)end{cases}\Rightarrow&(1-2k^2)x^2-4mkx-2m^2-2=0\Rightarrow&begin{cases}x_1+x_2=frac{4mk}{2k^2-1}\x_1·x_2=frac{2m^2+2}{2k^2-1}end{cases}end{aligned}

接着展开条件:

begin{aligned}k_1+k_2&=frac{y_1-1}{x_1-2}+frac{y_2-1}{x_2-2}\&=frac{(x_2-2)(y_1-1)+(x_1-2)(y_2-1)}{(x_1-2)(x_2-2)}\&=frac{(x_2y_1+x_1y_2)-(x_1+x_2)-2(y_1+y_2)+4}{x_1x_2-2(x_1+x_2)+4}\&=0end{aligned}

最后再用已知条件和我们以前做过的那么多斜率之积与斜率之和的题目的经验来分解:

因为引出两条直线的点是A(2,1)

所以最后因式分解必有1=k·2+mRightarrow2k+m-1=0

而我们又用二级结论算出了k=-1Rightarrow k+1=0

所以我们直接写


代入韦达定理后化简,

因式分解可得:(k+1)(2k+m-1)=0

k=-1或直线过点(2,1)(舍去),

所以l的斜率为-1

这样通常阅卷人最多只能扣我们1sim2分步骤分,

也不用担心方法到底会不会被给分。

刚看到斜率之和为定值我也被带进去惯性思维了,

不过后来写完又回想起以前学校测验的一道题(学校出的这道题是搬运的别的地方(唐山)的模考题的,测试原卷找不到了,这是公众号截的图):

2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?
2021唐山一模

以前这道题我是先联立直线l和抛物线E

再用-k代换掉k来算的,

再回到这道高考题,

设直线AP:y-1=k(x-2)Rightarrow y=kx+1-2k

注意到:k^2=(-k)^2

联立消y之后的二次项x^2前的系数1-2k^2=1-2(-k)^2

所以韦达定理之后的处理的坐标begin{cases}(x_1-2,y_1-1)\(x_2-2,y_2-1)end{cases}分母相同,

不需要通分就能操作下去,

所以只需算联立一种的情况求出一点坐标后,

就可以直接用-k代换k来算出另一点的坐标了

联立得:(1-2k^2)x^2+(8k^2-4k)x+(8k-8k^2-4)=0

韦达定理:x_1·2=frac{8k-8k^2-4}{1-2k^2}Rightarrow x_1=frac{4k-4k^2-2}{1-2k^2}

代入得:

begin{aligned}y_1&=k(x_1-2)+1\&=frac{k(4k-4k^2-2-2+4k^2)+1-2k^2}{1-2k^2}\&=frac{2k^2-4k+1}{1-2k^2}end{aligned}

-k代换掉k得:x_2=frac{-4k-4k^2-2}{1-2k^2},y_2=frac{2k^2+4k+1}{1-2k^2}

所以:

begin{aligned}k_l&=frac{y_2-y-1}{x_2-x_1}\&=frac{frac{2k^2+4k+1-2k^2+4k-1}{1-2k^2}}{frac{-4k-4k^2-2-4k+4k^2+2}{1-2k^2}}\&=frac{8k}{-8k}\&=-1end{aligned}

计算量很小,

就看能不能跳出惯性思维了。

聪明的知友@择梦舟给出了一种不用联立的很巧妙的方法:

点差法巧解2022年新高考一卷的圆锥曲线大题 – 择梦舟的文章 – 搓米问答

求出PQ的方程(有点小计算量,自己去求一下)后,

用下面的方法算:

begin{aligned}S_{triangle APQ}&=frac12·d_{Arightarrow PQ}·|PQ|\&=frac12·frac{|kx_A-y_A+m|}{sqrt{1+k^2}}·sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\&=frac12·|k·2-1+m|·sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\&=frac12·|(-1)·2-1+frac53|·sqrt{left(frac{4·frac53·(-1)}{2·(-1)^2-1}right)^2-4·frac{2·(frac53)^2·+2}{2·(-1)^2-1}}\&=frac12·frac43·sqrt{frac{400-68·4}9}\&=frac23·frac{8sqrt2}3\&=frac{16sqrt2}9end{aligned}

用这个公式:S_{triangle APQ}=frac12|AP||AQ|sinangle APQ

由三角恒等式sin^2theta=frac{tan^2theta}{1+tan^2theta}tantheta=frac{sintheta}{costheta}=frac{u}{sqrt{1-u^2}}(thetain[0,fracpi2))

解得:sinangle APQ=frac{2sqrt2}3

用到角公式求一下k=k_{AP}>0

begin{aligned}&tanangle APQ=frac{(-k)-k}{1-k·(-k)}=frac{-2k}{1+k^2}=2sqrt2\Rightarrow&k=sqrt2>0  text{or}  k=-frac{sqrt2}2<0\Rightarrow&k=sqrt2end{aligned}

所以:

begin{aligned}S_{triangle APQ}&=frac12·|AP|·|AQ|·sinangle APQ\&=frac12·sqrt{1+k^2}|x_1-2|·sqrt{1+(-k)^2}|x_2-2|·frac{2sqrt2}3\&=frac12·3·|frac{4sqrt2-4(sqrt2)^2-2}{1-2(sqrt2)^2}-2|·|frac{4(-sqrt2)-4(-sqrt2)^2-2}{1-2(-sqrt2)^2}-2|·frac{2sqrt2}3\&=frac{16sqrt2}9end{aligned}

昨天看到有群友用到角公式、面积向量叉乘公式和点乘双根法来简化运算,

计算量挺小的,

就是有用超纲知识被扣分的风险。

高考前一个多月,

我和知友@择梦舟都感觉今年高考很可能考面积,

2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?
聊天记录已征得本人同意

在高考前一天,

我就加班加点赶了一篇面积计算的回答:

2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?
可以为 2022 高考生预测一道数学题吗?

没想到高考居然让直接计算三角形面积而不是证面积定值或是求面积最值,

到头来只有下面这个人尽皆知的公式:

2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?
面积公式

还有这个配合二级结论的切线公式:

2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?2022 高考数学题难度如何?哪道题印象深刻?
切线公式

用得上。

后面交流题目时又交流到了今年高考题的第一小问的椭圆形式:

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聊天记录已征得本人同意

还有我以前因为“时间不够”+“觉得去年高考才考过应该不会再考”的缘故鸽掉的一篇文章:

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高考数学中,解析几何大题计算量很大,得分率不高,有没有方法可以减小计算量,快速解答题目?

也和这次高考有一点联系。

今年的圆锥曲线大题确实要足够冷静才能做出来。

虽然第一问考的知识点已经考烂了,

但也有它的特点。

从第一问开始就分了两个大方向:

斜率之和为定值斜率代换

如果用第一种方法,

进入了思维的惯性区

没有足够的经验和熟练度

那多半是寄了

而第二种方法也让没陷入惯性思维的同学从中获益(很小的计算量)。

第二问创新在不再是要我们求定值或最值,

而是新颖地给出一个正切值tan

直接让我们算面积,

第一问走的两个不同的大方向

对应选取的面积公式也是完全不同的。

这种方向不同方法就大不相同的题,

走错了路计算量就特别大,

也就体现了区分度,

特别是总体难度较以往偏高的情况下,

题目有些数据的计算过程中出现的几个根号又有点怪异,

要想保持冷静地解决也不容易,

总体得分率肯定是偏低的(有些同学第一问就寄了)。

高考生考完了就放松一下,

还没高考的同学就好好加油,

珍惜三年高中时光,

别让自己后悔就行啦。

我在搓米问答的圆锥曲线领域已经创作了一年,

也只是把以前做过的题、记下的笔记整理完用尽量通俗易懂的语言解释分享给大家,

估计到今年年底,

在圆锥曲线领域的创作应该就会告一段落了(题和笔记还差几篇就发完了),

在这期间认识了挺多有趣的知友,

也学了挺多有趣的知识,

也在前不久完成了自己的一个小目标:

到时整理好在发出来,

给自己的圆锥曲线创作画上圆满的句号。

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这里推荐一位用心创作的知友 @择梦舟 的群聊:

smallboxed{mathbf{彩蛋}:\ 筹备群聊啦,感兴趣的可以加入组织鸭~\ 群号:839481146\ 初生的幼苗 ,需要你我共同呵护。}

里面有对数学感兴趣的朋友可以交流探讨互相学习。

俺大学狗写了二十多分钟

应邀写了一下第七题

概率题比较简单

6.10

应邀写了全国乙卷(文)导数题,题型是常规的对系数分情况讨论,只不过在证明零点存在的时候,无法取点说明,只能定性说明。

已经拿到全国甲卷的试题,难度挺大。

看大家的评论,全国乙卷的考生也哀嚎声一片,各种抱怨试题难。

现在已经交卷,抱怨也毫无意义了。

现在最重要的是考完一科放下一科,不要再去纠结哪道题有没有算错,有没有蒙对

马上进入明天考试科目的复习,让自己集中注意力,不要去想已经考完的科目了。

为什么每年高考作文被讨论的热火朝天?!因为毕业这么多年了,除了这个,也看不懂别的了啊!

尤其是数学!友谊会走散,爱情会变淡,困难会让你痛苦,生活会使你屈服……只有数学不会,因为数学不会就是不会。

今年数学的难度在江西考生的这首原创小诗中被展现得淋漓尽致:(这位考生放宽心,你语文一定能拉分)

这时候也只能说一句:“大家都难就是不难”了。

吐槽过后,赶紧记起老班强调N次的“考一科忘一科”,别为已经无法改变的过去浪费时间,把精力转移到接下来的考试上来。

包括夸克在内的各种学习APP里应该都有考试时间表和提醒功能,千万别因为记错时间影响考试。

①选择题优先排除违背基本史实的选项。

②选择对题干信息包含最完整的选项。

③认真认真认真读题,圈关键词+分层提炼主要信息。

④大题答案逻辑:

横向:政治、经济、思想 、文化、对外、民族、军事、交通、地理、推动者+纵向:国内因素、国际因素、历史因素、历史趋势。

可对照找出答题方向,自查答案是否完整。

这两个晚上,可以适当回归课本,回顾最最基础的知识点,一定不要一头扎进本来就做不出来的偏题难题邪门题,考到的概率不大还徒增自己的烦恼,消磨自己的信心。

高考是选拔性的考试,对于大部分不是学神的同学们来说,把基础的分数拿到,就已经跑赢很多人了。

每年都有考到一半丢身份证准考证的,今天也有准考证掉厕所惊动特警叔叔的。高考是我们人生中面对的第一道坎,从此开始,我们要学会为自己负责了。

管理好自己的随身物品和重要证件是第一步。

至于第二步,就是开始了解一些志愿填报的相关信息。

太多的时候,选择是比努力重要得多的。

往年很多同学在报志愿这一步都选错了,有些同学可能一味听从父母的建议和安排,有些同学没有认识清楚自己的喜好和想要填报的专业,就一股脑往所谓的“热门专业”挤。

在我看来,高考的这个时间点,同学们正处于18岁这个从青少年迈进成年人世界的年龄阶段。在填报志愿的时候,应该要学会自己做决定,也学会为自己的决定负责了。

填报志愿之前,要做到心中有数。这个专业到底是什么?

有一些专业的名字十分相近,但学的课程和未来的就业方向却有很大差别。大家可以在夸克APP中搜【高考】进入专门的夸克高考版块,然后在【查专业】中详细了解这些专业的具体情况。

夸克高考中还整理了一些文理易混淆的专业开设课程和就业情况的对比,由于图片较大发在这里会有压缩,所以和张雪峰老师的志愿填报课程打包放在夸克网盘里了,直接点击下面的链接就可以保存下载哦~

每年的高考数学题。

今年考试的:好难啊,比去年难多了。

网络:今年考生遇史上最难高考数学题!

高二学生:在家跟着做了,感觉不难啊,不知道网上在哀嚎什么。

数学好像很多人都崩了

这个时候比的就是心态

全部题目已更完,并做了详细具体的分析和应对建议,一张一张上传图片太辛苦,直接发成文章了:

选填已更完,都使用最基础直接的思路,不一定是最简便的,但不会是根本想不到的。简答题等后面有空了再陆续更新

蹲个今年的真题,刚结束工作最繁忙的阶段,刷几套真题放松一下。

更新。。。。打字排版太费时间了

大一学生,看这次一群学生出来鬼哭狼嚎的,还是得说:

放轻松,当年八省联考出来我们一样鬼哭狼嚎

最后数学考个110都能排个省前2k

对于广东靠前的考生,现在的得分区间基本固定住了,再提升机会不大,只要英语稳定发挥,物理冲满,两个小科不出大岔子,就是最好的结果

现在拼的就是接下来的考试平稳发挥了,只要能基本发挥出自己的水平,最终的排名不会太差

PS:学过数学竞赛的学生注意一点嘴脸,知道你们能拉分了(手动狗头)

乐观点想,除非上面又说要改革,你们师弟师妹的卷子只会比你们难不会比你们简单的hhh(

现在5点已经过了,大家数学已经考完了,但是我知道大家都想看看各位考生对数学的吐槽,希望也能滑到这个回答,看看对明天要面对的物理考试的最后叮嘱。

有关物理考试前的一些注意事项:

1、做物理大题的时候,切记回答规范,要写明正方向、写明研究对象是谁。平常如果不注意答题细节的同学,最好在最后这一段时间,可以看看参考答案是怎么样写的。我们争取在高考的时候也这样去写答案。规范的书写,容易让老师在改卷的时候赏心悦目。实际上高考改卷是在电脑上批改的。你的字迹是经过扫描一遍再批改的。所以扫描在电脑上,加上显示器很有可能不是很高级的,最终导致影响你的答题区域的清晰度。如果字迹整洁,答题规范有逻辑,老师改卷会很舒服。虽然不至于多给你几分,但是至少不会出现误判的情况

2、求矢量时,要搞清题目要你求矢量的大小还是矢量,如果是矢量的大小,只需要算数,如果是矢量,则需要大小与方向都写清楚

3、高考物理如果遇到作图的问题,千万不要直接用签字笔去绘制,而应该先用铅笔,再用签字笔去描。不要省钱,铅笔不要用涂卡笔代替

4、在做题时,尤其是涉及到符号运算的问题,切记在读题目的过程中,标出物理量(比如电流I,电阻R等等)。如果连物理量都搞不清楚,那么最后的计算是没有意义的。所以我们需要搞清楚一道题目里面到底出现了哪一些“字母”(物理量)

5、涉及到实验题的时候,尤其是遇到一些开放性回答的问题时,如果暂时想不出,可以放在最后再来思考。后面的大题计算,基础性的小问可不少,容易拿到很多基础性分数。比如一般第一道计算大题,一般就是直接基础性送给你的

6、说到物理大题,由于高考给分是分步骤给的,因此建议大家列写方程清楚规范。如由于洛伦兹力提供向心力,我们应该先写qvB=mv^2/R,再去写其他变形式,如求解轨迹半径R=mv/qB。实际上有时候看压轴题最后的给分,很有可能最后一个答案只占2-3分

7、在进入下一类问题前,如选择到实验,实验到大题。不妨稍微休息几秒钟,喝一口水,让自己更加淡定地进行下一个问题。喝水就好像给大脑洗个澡,让自己考试的时候稍微喘口气调整一下心情。我经常就是在喝水的时候,想到某一些问题的破解办法。

PS:水记得放在地上,轻拿轻放,不要打翻了搞得草稿纸湿了。每一次喝水,喝一小口就好。不过物理考试时间不是很长。这个倒还好。

8、在物理最后复习的时候,可以适当地看一看一些常见的模型,实际上大多数的物理问题,比数学还是套路地多我个人一直认为高中物理就是靠模型驱动的一门学科

比如考察电磁感应下的安培力的时候,经常结合斜面模型一起考察。将动力学(牛二)+能量(动能定理/能量守恒)+动量(动量守恒/动量定理)的问题全部结合起来。

9、物理是一个非常考察细节的学科,一些平常总结的细节,在考试最后,不妨也稍微注意一下之前回答过的一些问题。但是需要注意的是,一些犹豫不决的问题,如果真的不确定,不妨保持之前的作答,因为之前的作业时,自己的体力和精力较好。正确的可能性更大。除非特别有把握的问题,可以改正。

所以真正改正的地方,主要是一些明显错误的地方,比如物理量写错了,或者计算上的粗心,这些才是我们需要重点检查的地方。而一些非常涉及概念的问题,在最后修改的时候,需要慎重考虑。

最后祝福大家明天考物理的时候,考的都会,会的都对!

PS:本来上一个版本有一道压轴题分析,这里就删掉了,不给大家添堵。

【原】一道数学题引发的动乱

万历五年(1577年)夏天,一场风暴席卷徽州。徽州六县中的歙[shè]县与其他五县(休宁、婺源、祁门、黟县、绩溪)之间,爆发激烈冲突。在婺源县,代理县事的官员被县民堵在路上,群情激愤的老百姓冲入县衙,见人就打。在休宁县,亲自前往调解的徽州知府徐成位看到县城已经聚集了数万人,他们“鸣金约党,竖旗结盟”,导致“道路禁阻,文移隔绝”,场面几乎失控。数月之内,歙县商人在五县的店铺屡屡被打砸抢夺,五县之人到了歙县也被殴打辱骂。整个徽州全乱了,而这场大规模民变的起因,竟是一道数学题。▲古徽州示意。图源:锦绣 更多

媒体评「上海中考数学题泄露」,称「中考题目如此轻易泄露,哪来什么公平可言」,该事件有哪些细节需要关注?

我不知道说一句不用那么震惊会不会挨打,因为这个事情没有大家想象的那么少见。比如湖南省就有一个判例:大家可以猜一下,这个第一被告人吴某某的刑期,想象不到的低。321答案是一年十个月,现在已经出狱四年了。当然,对比下面三个案子,上面的就是小巫见大巫了,当然首先声明没有地域歧视的意思,真的是正好找到三个案例都是广西的。第一个案子一审只判了一年,检察院抗诉后二审法院改判了四年六个月。这可比中考题厉害多了,按照大家现在宇宙尽头还是编制的理念,中考离编制还远着呢,反倒是这个考试,只要成功,一次上岸。第二个案 更多

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